球面的距离公式及其应用

第３２卷第３期２０１３年３月　数学教学研究　３９　球面的距离公式及其应用　刘凡俊，李登有　（四川省资中县第三中学６４１２００）　ＡＢ—Ｒ・　本文应用空间向量知识推导出计算地球　上两点间的球面距离公式，并举例说明公式　的应用．　１球面距离公式　地球球面上有Ａ，Ｂ两地，设Ａ，Ｂ的北　纬纬度、东经经度分别为Ａ（ａ。，ｍ。），Ｂ（　，　。），地球的半径为Ｒ，求Ａ，Ｂ两地的球面距　离．　解如图１，取球　心０为原点，经度为　Ｏ。的大圆与赤道平面　的交线为ｚ轴，赤道　平面内过球心Ｏ且与　轴垂直的直线为　图１　轴，过球心Ｏ与北极　Ｎ的直线为２轴，建立空间直角坐标系，则　点Ａ，Ｂ的坐标分别为Ａ（Ｒｃｏｓ口。ＣＯＳ　ｍ。，　Ｒｃｏｓ　ａ。ｓｉｎ　ｍ。，Ｒｓｉｎ　ａ。），Ｂ（Ｒｃｏｓ　ｙｃｏｓ咒。，　Ｒｃｏｓ／￣ｓｉｎ　。，Ｒｓｉｎ　），所以　．磅　＝Ｒ０ＣＯＳ　ａ。ＣＯＳ　ｒｎ。ｃｏｓ　ｆｓｉｎ　＋Ｒ０　ＣＯＳ口。ｓｉｎ　ｍ。ｃｏｓ　ｓｉｎ　ｍ。　＋Ｒ　ｓｉｎ口。ｓｉｎ　一Ｒ。Ｅｃｏｓ　Ｏ／￣ＣＯＳ　ｙｃｏｓ（ｍ￣－．。）　十ｓｉｎ口。ｓｉｎ　］．　设￣ＡＯＢ－－－Ｏ，则　ｃｏｓ　＝　需　－－ＣＯＳ　Ｏｒ￣ＣＯＳｇ＇ｃｏｓ（，　－－ｒｔ。）　＋ｓｉｎ　ａ。ｓｉｎ　，　故Ａ，Ｂ两地的球面距离为：　一Ｒ・ａｒｃｃｏｓＥｏｏｓ　ｏ：￣ｅｏｓ　ｆｃｏｓ（ｍ＊－ｎ￣）　＋ｓｉｎ　Ｏｔ￣ｓｉｎ　］，　或　一　…ｃｃ。ｓＥＣＯＳ　ｏｃ。ｓ　ｃｏｓ（ｍ。　－ｎ￣）＋ｓｉｎ口。ｓｉｎ　］．　注这里ａ。，　为０。纬线（赤道）的同侧　纬度，ｍＯ　７２。为０。经线的同侧经度．　若纬度，经度可为异侧时，Ａ，Ｂ两地的　球面距离为：　ＡＢ＝Ｒ・ａｒｃｃｏｓ｛ＣＯＳ口。ＣＯＳ　ｌｏｏｓｅｎ。　一（一１）　。］＋（一１）　Ｓｉｎ口。ｓｉｎ　｝．　或　一　…ｃｃ。ｓ（ＣＯＳ　ｏｃ。ｓ　ｃ。ｓＥｍ。　一（一１）　。］＋（一１）　ｓｉｎ口。ｓｉｎ　｝．　公式中ｋ，ｔ的取法：当Ａ，Ｂ两地为Ｏ。纬　线的同侧纬度时，￡＝Ｏ；异侧纬度时，　一１．当　Ａ，Ｂ两地为０。经线的同侧经度时，ｋ＝Ｏ；异　侧经度时，ｋ＝１．　１）两地的纬度差的计算规则是：　当Ａ，Ｂ两地为赤道（Ｏ。纬线）的同侧纬　度时，取ｔ＝Ｏ，纬度差是ｌａ。一　Ｉ；　‘当Ａ，Ｂ两地为赤道的异侧纬度时，取ｔ　一１，纬度差是ｌａ。＋　Ｉ．　２）两地的经度差的计算规则是：　当Ａ，Ｂ两地为０。经线的同侧经度时，取　ｋ－－Ｏ，得ｌｍ。一　。Ｉ．　当Ａ，Ｂ两地为Ｏ。经线的异侧经度时，取　ｋ＝ｌ，得ｒｎ。＋咒。有如下两种情况：　①若ｍ。＋　。≤１８０。时，则为／ｎ。＋　。；　②若ｒｎ。＋ｎ。＞１８０。时，则为３６０。一（ｍ。　＋　。）．　４０　数学教学研究　第３２卷第３期２０１３年３月　推论１同纬度不同经度两地间的球面　＋ｓｉｎａ　４５。）一去　，　距离（含两地在赤道上的特殊情况）：由于ｔＺ　＝口，取ｔ＝Ｏ，得　ａｒｃＣＯＳＡＢ＝Ｒ・ａｒｃｃｏｓ｛ｃｏｓ。口。ｃｏｓＥｍ。　｛－￣ｃｏｓ［ｍ。一（一１）　１０。］＋吉｝　一（－－１）　。］＋ｓｉｎ２。），　一百，　或　一番・ａｒＣＣＯＳ｛ｃｏｓ２　ａ。ｃ。ｓ　。　丢ｃｏｓ［　一（－Ｉ）　１０。７　．＇１２　１，　一（一１）　，ｚ。］＋ｓｉｎ　口。｝　ｃｏ￣Ｄ，。一（一１）　１０。］＝Ｏ．　推论２同经度不同纬度两地问的球面　因为ｍ。一（一１）　１０。＜１８Ｏ。，所以　距离：由于７，ｌ一７ｚ，取ｋ＝Ｏ，所以　ｍ。一（一１）　１０。：９０。。　ｃｏｓ（ｍ。一　。）一Ｉ，　当ｋ＝０时，Ａ，Ｂ在Ｏ。经线的同侧，得ｍ。　ＡＢ＝Ｒ・ａｒｃｃｏｓ［ｃｏｓ　Ｏ￣￣ＣＯＳ　一１０。－－－９０。，ｍ—ｉ００。，Ｂ在东经１００。；　＋（－－１）‘ｓｉｎ口。ｓｉｎ　］　当愚一１时，Ａ，Ｂ在Ｏ。经线的同侧，得ｍ。　一Ｒ・ａｒｃｃｏｓ［ｃｏｓ￣￣ＣＯＳ　ｆ－ｔ－ｓｉｎ口。ｓｉｎ　］　＋１０。＝９０。，　一８Ｏ。，Ｂ在西经８Ｏ　．　一Ｒ・ａｒｅｃｏｓ［ｃｏｓ（￣。＋　）］　故点Ｂ在北纬４５。东经１００。或北纬４５。　：尺ｌａ。士　Ｉ，　西经８０。．　或ＡＢ＝ＲＩａ。土　１．击．　例３地球上Ａ，Ｂ两地，Ａ在西经１Ｏ。，　北纬４５。，Ｂ在东经１２５。的赤道上，求Ａ，Ｂ两　在赤道同侧时取“一”号，异侧时取“＋”号．　地的球面距离．　２应用举例　解由题意　例ｌ设地球半径为Ｒ，甲地位于北纬　度４５。东经１０５。，乙地位于南纬３Ｏ。东经　ＡＢ＝Ｒ・ａｒｃｃｏｓ，ＣＯＳ　４５。ＣＯＳ　０￣ｃｏｓ［１２５。　一１０５￣，则甲、乙两地间的球面距离是（　）．　（一１）　ｌｏ。］＋（一１）。ｓｉｎ　４５。ｓｉｎ　０。｝　（Ａ）　（Ｂ）ｑＲ　一Ｒ￣ａｒｃｃｏｓ｛譬ｃｏｓ　。）　（ｃ）铷　（Ｄ）　Ｒ　＝Ｒ￣ａｒｃｃｏｓ｛譬（一　）｝　解设Ａ点表示甲地，Ｂ点表示乙地，则　一Ｒ・ａｒｃｃｏｓ（一吾）　ＡＢ一Ａ　Ｄ＝．．　（４５＋３　。。　０。）。、　。番　兀Ｒ一　３　‘　一　＝　所以Ａ，Ｂ两地的球面距离为　．　故选Ａ．　例２地球上同在北纬４５。的两点Ａ，Ｂ　例４我国领土的最北端漠河位于北纬　５３。，东经１２２．４。，最南端曾母暗沙位于北纬　的球面距离为寺兀Ｒ，且Ａ在东经１０。处，求Ｂ　４ｏ，东经１１３￣，求我国南北相距多少公里？　点的位置．　解设Ａ点表示曾母暗沙，Ｂ点表示漠　解由题意得　河，则　Ｒ・ａｒｃｃｏｓ｛ＣＯＳ。４５。ｃｏｓ［Ｔｎ。一（一１）　ｌ０。］　（下转第４３页）　第３２卷第３期２０１３年３月　数学教学研究　４３　在打开解题思路，探求解题方法和途径中起　题思维，实现了知识点与问题和方法之间的　到非常关键的作用，是一种可操作性强且极　有效转换，让学生体会到活化的数学和流动　为有效的解题方法，由模式识别将问题转化，　的思维．在平时的教学，特别是在高三教学　归类就会使问题变得简单、熟悉，可以使解题　中，应充分利用模式识别来开阔学生的视野，　者明确“从何处下手？向何方前进”．　积累学生的解题经验，发展学生的数学思维，　解题从本质上讲就是化归与转化，虽然　提高他们的迁移反馈能力．应用模式识别法　转化的方法有很多，但都遵循其基本原　进行解题教学，可破解学生对数学的畏难情　则…熟悉化原则、简单化原则、直观化原　绪，使他们体会成功的喜悦，从而产生对学习　则、正难则反原则．而这些原则的核心思想都　数学的浓厚兴趣。因此，笔者认为“模式识别”　是围绕模式识别来实施的，高中数学教学中，　会使“冰冷美丽”的数学问题唤起学生对解题　注重对学生模式识别思想方法的渗透和培　的“火热思考”．　养，会大大提高学生分析、处理和解决数学问　参考文献　题的能力，这种转化思想，既体现了数学各种　［１］罗增儒．数学解题中的“模式识别”口］．中学数　内容、知识和问题问的内在联系，又打破了墨　学教学参考（下半月初中），２００６，（１Ｏ－１１）．　守成规、坚守表象的陋习，也活跃了数学的解　（收稿日期：２０１２—１０—０５）　（上接第４０页）　ＡＢ＝Ｒ・ａｒＣＣＯＳ｛ＣＯＳ　４。ｃｏｓ　５３。ｃｏｓ￣１２２．４。　解（１）设上海、大连两地分别为Ａ，　～（一１）。１１３。］＋（一１）。ｓｉｎ　４￣ｓｉｎ　５３。｝　Ｂ，则　一Ｒ・ａｒｃｃｏｓ　ｆ　ＣＯＳ　４。ＣＯＳ　５３。ｃｏｓ（１２２．４。　Ａ　一　Ｂ一６３７１Ｘ￣Ｘ　３９。一３１。一１　１３。）＋ｓｉｎ　４。ｓｉｎ　５３。）　一Ｒ・ａｒｃｃｏｓ（０．６４８５）　￣．８８９．５６（千米），　一Ｒ・（４９。３４　）　８８９．５６－－７２０￣１。２（小时）．　３．１４×６３７０Ｘ４９．５７。　故从上海到大连的最短飞行时间为约　一一———１丽　—一　１．２小时．　一５５０７（Ｋｍ）．　（Ⅱ）设里斯本为点Ｃ，则　所以，我国南北相距５５０７　Ｋｍ．　ＢＣ＝Ｒ・ａｒｃｃｏｓ　ＣＯＳ　３９。ｃｏｓ［１２１。　例５（２０１０年上海春季高考题）已知地　一（一１）　１ｏ。］＋ｓｉｎ　３９。）　球的半径约为６３７１米，上海的位置约为北纬　＝Ｒ・ａｒｃｃｏｓ［ｃｏｓ２３９。ｃｏｓ１３１。＋ｓｉｎ２３９。］　３１。，东经１２１。；大连的位置约为北纬３９。，东　一Ｒ・ａｒｃｃｏｓ［１－－ｃｏｓ　３９。（１－－ｃｏｓｌ３１。）］　经１２１。；里斯本位置约为北纬３９。，西经１Ｏ。。　一Ｒ・ａｒｃｃｏｓ［－－１．８７ｘ　１０叫］　（Ｉ）若飞机以平均速度７２０千米／小时　＝６３７１＞＜耳ｘ　飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为　多少？（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到　≈１ｏ００９（千米）．　０．１小时）　故大连与里斯本之间的球面距离为　（１Ｉ）求大连与里斯本之间的球面距离　１０００９千米．　（结果精确到１千米）．　（收稿日期：２０１２—０３—０４）