第32卷第3期2013年3月 数学教学研究 39 球面的距离公式及其应用 刘凡俊,李登有 (四川省资中县第三中学641200) AB—R・ 本文应用空间向量知识推导出计算地球 上两点间的球面距离公式,并举例说明公式 的应用. 1球面距离公式 地球球面上有A,B两地,设A,B的北 纬纬度、东经经度分别为A(a。,m。),B( , 。),地球的半径为R,求A,B两地的球面距 离. 解如图1,取球 心0为原点,经度为 O。的大圆与赤道平面 的交线为z轴,赤道 平面内过球心O且与 轴垂直的直线为 图1 轴,过球心O与北极 N的直线为2轴,建立空间直角坐标系,则 点A,B的坐标分别为A(Rcos口。COS m。, Rcos a。sin m。,Rsin a。),B(Rcos ycos咒。, Rcos/ ̄sin 。,Rsin ),所以 .磅 =R0COS a。COS rn。cos fsin +R0 COS口。sin m。cos sin m。 +R sin口。sin 一R。Ecos O/ ̄COS ycos(m ̄-.。) 十sin口。sin ]. 设 ̄AOB---O,则 cos = 需 --COS Or ̄COSg'cos(, --rt。) +sin a。sin , 故A,B两地的球面距离为: 一R・arccosEoos o: ̄eos fcos(m*-n ̄) +sin Ot ̄sin ], 或 一 …cc。sECOS oc。s cos(m。 -n ̄)+sin口。sin ]. 注这里a。, 为0。纬线(赤道)的同侧 纬度,mO 72。为0。经线的同侧经度. 若纬度,经度可为异侧时,A,B两地的 球面距离为: AB=R・arccos{COS口。COS loosen。 一(一1) 。]+(一1) Sin口。sin }. 或 一 …cc。s(COS oc。s c。sEm。 一(一1) 。]+(一1) sin口。sin }. 公式中k,t的取法:当A,B两地为O。纬 线的同侧纬度时,£=O;异侧纬度时, 一1.当 A,B两地为0。经线的同侧经度时,k=O;异 侧经度时,k=1. 1)两地的纬度差的计算规则是: 当A,B两地为赤道(O。纬线)的同侧纬 度时,取t=O,纬度差是la。一 I; ‘当A,B两地为赤道的异侧纬度时,取t 一1,纬度差是la。+ I. 2)两地的经度差的计算规则是: 当A,B两地为0。经线的同侧经度时,取 k--O,得lm。一 。I. 当A,B两地为O。经线的异侧经度时,取 k=l,得rn。+咒。有如下两种情况: ①若m。+ 。≤180。时,则为/n。+ 。; ②若rn。+n。>180。时,则为360。一(m。 + 。). 40 数学教学研究 第32卷第3期2013年3月 推论1同纬度不同经度两地间的球面 +sina 45。)一去 , 距离(含两地在赤道上的特殊情况):由于tZ =口,取t=O,得 arcCOSAB=R・arccos{cos。口。cosEm。 {- ̄cos[m。一(一1) 10。]+吉} 一(--1) 。]+sin2。), 一百, 或 一番・arCCOS{cos2 a。c。s 。 丢cos[ 一(-I) 10。7 .'12 1, 一(一1) ,z。]+sin 口。} co ̄D,。一(一1) 10。]=O. 推论2同经度不同纬度两地问的球面 因为m。一(一1) 10。<18O。,所以 距离:由于7,l一7z,取k=O,所以 m。一(一1) 10。:90。。 cos(m。一 。)一I, 当k=0时,A,B在O。经线的同侧,得m。 AB=R・arccos[cos O ̄ ̄COS 一10。---90。,m—i00。,B在东经100。; +(--1)‘sin口。sin ] 当愚一1时,A,B在O。经线的同侧,得m。 一R・arccos[cos ̄ ̄COS f-t-sin口。sin ] +10。=90。, 一8O。,B在西经8O . 一R・arecos[cos( ̄。+ )] 故点B在北纬45。东经100。或北纬45。 :尺la。士 I, 西经80。. 或AB=RIa。土 1.击. 例3地球上A,B两地,A在西经1O。, 北纬45。,B在东经125。的赤道上,求A,B两 在赤道同侧时取“一”号,异侧时取“+”号. 地的球面距离. 2应用举例 解由题意 例l设地球半径为R,甲地位于北纬 度45。东经105。,乙地位于南纬3O。东经 AB=R・arccos,COS 45。COS 0 ̄cos[125。 一105 ̄,则甲、乙两地间的球面距离是( ). (一1) lo。]+(一1)。sin 45。sin 0。} (A) (B)qR 一R ̄arccos{譬cos 。) (c)铷 (D) R =R ̄arccos{譬(一 )} 解设A点表示甲地,B点表示乙地,则 一R・arccos(一吾) AB一A D=.. (45+3 。。 0。)。、 。番 兀R一 3 ‘ 一 = 所以A,B两地的球面距离为 . 故选A. 例2地球上同在北纬45。的两点A,B 例4我国领土的最北端漠河位于北纬 53。,东经122.4。,最南端曾母暗沙位于北纬 的球面距离为寺兀R,且A在东经10。处,求B 4o,东经113 ̄,求我国南北相距多少公里? 点的位置. 解设A点表示曾母暗沙,B点表示漠 解由题意得 河,则 R・arccos{COS。45。cos[Tn。一(一1) l0。] (下转第43页) 第32卷第3期2013年3月 数学教学研究 43 在打开解题思路,探求解题方法和途径中起 题思维,实现了知识点与问题和方法之间的 到非常关键的作用,是一种可操作性强且极 有效转换,让学生体会到活化的数学和流动 为有效的解题方法,由模式识别将问题转化, 的思维.在平时的教学,特别是在高三教学 归类就会使问题变得简单、熟悉,可以使解题 中,应充分利用模式识别来开阔学生的视野, 者明确“从何处下手?向何方前进”. 积累学生的解题经验,发展学生的数学思维, 解题从本质上讲就是化归与转化,虽然 提高他们的迁移反馈能力.应用模式识别法 转化的方法有很多,但都遵循其基本原 进行解题教学,可破解学生对数学的畏难情 则…熟悉化原则、简单化原则、直观化原 绪,使他们体会成功的喜悦,从而产生对学习 则、正难则反原则.而这些原则的核心思想都 数学的浓厚兴趣。因此,笔者认为“模式识别” 是围绕模式识别来实施的,高中数学教学中, 会使“冰冷美丽”的数学问题唤起学生对解题 注重对学生模式识别思想方法的渗透和培 的“火热思考”. 养,会大大提高学生分析、处理和解决数学问 参考文献 题的能力,这种转化思想,既体现了数学各种 [1]罗增儒.数学解题中的“模式识别”口].中学数 内容、知识和问题问的内在联系,又打破了墨 学教学参考(下半月初中),2006,(1O-11). 守成规、坚守表象的陋习,也活跃了数学的解 (收稿日期:2012—10—05) (上接第40页) AB=R・arCCOS{COS 4。cos 53。cos ̄122.4。 解(1)设上海、大连两地分别为A, ~(一1)。113。]+(一1)。sin 4 ̄sin 53。} B,则 一R・arccos f COS 4。COS 53。cos(122.4。 A 一 B一6371X ̄X 39。一31。一1 13。)+sin 4。sin 53。) 一R・arccos(0.6485)  ̄.889.56(千米), 一R・(49。34 ) 889.56--720 ̄1。2(小时). 3.14×6370X49.57。 故从上海到大连的最短飞行时间为约 一一———1丽 —一 1.2小时. 一5507(Km). (Ⅱ)设里斯本为点C,则 所以,我国南北相距5507 Km. BC=R・arccos COS 39。cos[121。 例5(2010年上海春季高考题)已知地 一(一1) 1o。]+sin 39。) 球的半径约为6371米,上海的位置约为北纬 =R・arccos[cos239。cos131。+sin239。] 31。,东经121。;大连的位置约为北纬39。,东 一R・arccos[1--cos 39。(1--cosl31。)] 经121。;里斯本位置约为北纬39。,西经1O。。 一R・arccos[--1.87x 10叫] (I)若飞机以平均速度720千米/小时 =6371><耳x 飞行,则从上海到大连的最短飞行时间约为 多少?(飞机飞行高度忽略不计,结果精确到 ≈1o009(千米). 0.1小时) 故大连与里斯本之间的球面距离为 (1I)求大连与里斯本之间的球面距离 10009千米. (结果精确到1千米). (收稿日期:2012—03—04)