秀屿区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 函数y=ax+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（ ）

A．（0，1） B．（0，3） C．（1，0） D．（3，0）

2． 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（ ）A．

B．

C．

D．

3． 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

D1 C1 A1 B1 P D C A B

A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 4． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（ ） A．8πcm2

43B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2

25135． a2,b4,c25，则（ ）

A．bac B．abc C．bca D．cab

26． 已知角的终边经过点(sin15,cos15)，则cos的值为（ ）

A．

13133 B． C. D．0 24244B．2

C．3

D．4

7． 等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ） A．1

8． 已知函数f(x)sinx2x，且af(ln),bf(log2),cf(20.3)，则（ ） A．cab B．acb C．abc D．bac

3213第 1 页，共 14 页

【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力． 9． 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．8 C． D．16

10．已知g(x)(ax取值范围是（ ）

bb2a)ex(a0)，若存在x0(1,)，使得g(x0)g'(x0)0，则的 xaA．(1,) B．(1,0) C. (2,) D．(2,0)

11

11．设f（x）＝（e－x－ex）（x－），则不等式f（x）＜f（1＋x）的解集为（ ）

2＋12

1

A．（0，＋∞） B．（－∞，－）

2

11

C．（－，＋∞） D．（－，0）

22

1x2,x1,31x的零点个数为（ ） 12．若函数f(x)则函数yf(x)32lnx,x1,A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且x(0,2)14．已知函数f（x）=与i的夹角，则

+

2时f(x)x21，则f( 7)的值为 ▲ ．

+

，点O为坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N），向量=（0，1），θn是向量

+…+= ．

15．已知fx12x8x11,则函数fx的解析式为_________.

16．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4。

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（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn。

18．已知函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数． （1）求实数m的取值范围； （2）设向量不等式

19．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．

的α的取值范围．

，求满足

x＝1＋3cos α

在直角坐标系中，曲线C1：（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

y＝2＋3sin α

标系，C2的极坐标方程为ρ＝

2πsin（θ＋）

4

.

（1）求C1，C2的普通方程；

3π

（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C3与C1交于点M，N，P是C2上一点，求△PMN的面

4积．

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20．已知Aa2,a1,3,Ba3,3a1,a21,若A

21．已知：函数f（x）=log2

，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．

B3，求实数的值.

（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点； （2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数f(x)3sinxcosxcosx（1）求函数yf(x)在[0,2

1. 2]上的最大值和最小值； 2（2）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足c2，a3，f(B)0，求sinA的值.1111]

第 4 页，共 14 页

秀屿区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】B 过点（0，3）， 故选B．

x x

【解析】解：由于函数y=a（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a+2（a＞0且a≠1）图象一定

【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．

2． 【答案】C

【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1， 故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H， 则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=AO1=3故选：C．

，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=

，

，

【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．

3． 【答案】D.

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第Ⅱ卷（共110分）

4． 【答案】B

【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2R=

2

，S=4πR=12π

=2R，

故选B

5． 【答案】A 【解析】

试题分析：a4,b4,c5，由于y4为增函数，所以ab.应为yx为增函数，所以ca，故

232523x23bac.

考点：比较大小． 6． 【答案】B 【解析】

考

点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义. 7． 【答案】B

【解析】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2， 故选B．

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8． 【答案】D

9． 【答案】B

【解析】解：由三视图知：几何体是三棱柱，且三棱柱的高为4， 底面是直角边长为2的等腰直角三角形， ∴几何体的体积V=×2×2×4=8． 故选：B．

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．

10．【答案】A 【解析】

考

点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.

【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数fx的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数fx的定义域；②对fx求导；③令fx0，解不等式得的范围就是递增区间；令fx0，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数fx的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的

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大小）.

11．【答案】

【解析】选C.f（x）的定义域为x∈R，

11

由f（x）＝（e－x－ex）（x－）得

2＋1211

f（－x）＝（ex－e－x）（x－）

2－＋12－11

＝（ex－e－x）（x＋）

2＋1211

＝（e－x－ex）（x－）＝f（x），

2＋12∴f（x）在R上为偶函数，

∴不等式f（x）＜f（1＋x）等价于|x|＜|1＋x|，

1

即x2＜1＋2x＋x2，∴x＞－，

2

1

即不等式f（x）＜f（1＋x）的解集为{x|x＞－}，故选C.

212．【答案】D 【

解

析

】

考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画

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两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】2 【解析】1111]

试题分析：f(x4)f(x)T4,所以f(7)f(1)f(1)2. 考点：利用函数性质求值 14．【答案】

【解析】解：点An（n，

=

∴

+． ，

+…+

=

+

）（n∈N），向量=（0，1），θn是向量

．

与i的夹角，

，…，=

=， +…+

=1﹣

=

，

故答案为：

【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

215．【答案】fx2x4x5 【解析】

试题分析：由题意得，令tx1，则xt1，则ft2(t1)8(t1)112t4t5，所以函数fx22的解析式为fx2x4x5.

2考点：函数的解析式.

16．【答案】 4+ ．

【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图， ∵底面边长为6，∴BC=则∴

∴正四棱柱容器的高的最小值为4+故答案为：4+

．

．

，

，

=

，

，

球O的半径为3，球O1 的半径为1， 在Rt△OMO1中，OO1=4，

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【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．【答案】

【解析】（1）由a1=10，a2为整数，且Sn≤S4得 a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得﹣∴d=﹣3，

∴{an}的通项公式为an=13﹣3n。 （2）∵bn==

，

≤d≤﹣，

∴Tn=b1+b2+…+bn=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）

=

18．【答案】 ∴x=≤1 ∴m≤2

。

2

【解析】解：（1）∵函数f（x）=x﹣mx在[1，+∞）上是单调函数

∴实数m的取值范围为（﹣∞，2]； ∵∵

∴2﹣cos2α＞cos2α+3 ∴cos2α＜∴

，

2

（2）由（1）知，函数f（x）=x﹣mx在[1，+∞）上是单调增函数

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∴α的取值范围为转化为具体不等式．

19．【答案】

．

【点评】本题考查函数的单调性，考查求解不等式，解题的关键是利用单调性确定参数的范围，将抽象不等式

x＝1＋3cos α

【解析】解：（1）由C1：（α为参数）

y＝2＋3sin α

得（x－1）2＋（y－2）2＝9（cos2α＋sin2α）＝9. 即C1的普通方程为（x－1）2＋（y－2）2＝9， 由C2：ρ＝

2π

sin（θ＋）

4

得

ρ（sin θ＋cos θ）＝2， 即x＋y－2＝0，

即C2的普通方程为x＋y－2＝0.

（2）由C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9得 x2＋y2－2x－4y－4＝0，

其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0， 3π

将θ＝代入上式得

4ρ2－2ρ－4＝0， ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4，

∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝32. 3

C3：θ＝π（ρ∈R）的直角坐标方程为x＋y＝0，

4

2

∴C2与C3是两平行直线，其距离d＝＝2. 2

11

∴△PMN的面积为S＝|MN|×d＝×32×2＝3.

22即△PMN的面积为3. 20．【答案】a【解析】

2． 3第 11 页，共 14 页

考点：集合的运算. 21．【答案】

+2x，

【解析】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2=log2（1﹣∵y=1﹣

）+2x；

在（1，+∞）上是增函数，

故y=log2（1﹣

）在（1，+∞）上是增函数；

又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数； ∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增； 而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0， h（2）=﹣log23+4＞0；

同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；

故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，

同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点， 故函数h（x）有两个零点；

（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为 1﹣故a=

=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；

；

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结合函数a=

＜a＜0；

即﹣1＜a＜0．

的图象可得，

【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．

22．【答案】（1）最大值为，最小值为【解析】

3213；（2）.

142试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简f(x)sin(2x再利用f(x)Asin(x)b(0,||6)1

)的性质可求在[0,]上的最值；（2）利用f(B)0,可得B,

22再由余弦定理可得AC,再据正弦定理可得sinA.1

试题解析：

第 13 页，共 14 页

（2）因为f(B)0，即sin(2B

611∵B(0,)，∴2B(,)，∴2B，∴B

666623又在ABC中，由余弦定理得，

1b2c2a22cacos492237，所以AC7. 3232173ba由正弦定理得：，即，所以sinA. sinA14sinBsinAsin3考点：1.辅助角公式；2.f(x)Asin(x)b(0,||)1

2)性质；3.正余弦定理.

【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.

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