一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（ ）
A．{0，1，2，6，8} B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 2．下列直线中与直线x﹣2y+1=0平行的一条是（ ） A．2x﹣y+1=0 B．2x﹣4y+2=0 C．2x+4y+1=0 D．2x﹣4y+1=0 3．下列各式错误的是（ ）
A．30.8＞30.7 B．log0.50.4＞log0..50.6 C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．lg1.6＞lg1.4
4．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象为（ ）
A． B． C．
D．
5．若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，则圆C的方程是（ ） A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+（y+2）2=1 D．（x+1）2+（y﹣2）2=1
6．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β； ③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
7．如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是（ ）
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A． B． C． D．
8．函数
f（x）=x的解的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程
9．如果函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间
上是减函数，那么实数a的取值范围
是（ ）
A．a≤2 B．a＞3 C．2≤a≤3 D．a≥3
10．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．已知y=loga（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．[2，+∞）
12．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数y=
的定义域为 ．
14．已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a= ． 15．一个长方体的顶点在球面上，它的长、宽、高分别为、、3，则球的体积为 ．
16．已知P是直线3x+4y+8=0的动点，PA、PB是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点，且平行于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．
第2页（共15页）
18．已知集合A={x|y=lg
，B={x|23x﹣1＞2x}，C={x|log0.7（2x）＜log0.7（x﹣1）}，
求A∩B，B∪C． 19．PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点． （Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．
20．圆心在直线5x﹣3y﹣8=0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．
21．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，PB=BC=CA=4，∠BCA=90°，E为PC的中点．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求二面角E﹣AB﹣C的正弦值．
22．已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
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2015-2016学年广西来宾市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（ ）
A．{0，1，2，6，8} B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 【考点】交、并、补集的混合运算．
Y的公共元素写出X∩Y， ∪Z．【分析】根据交集的含义取X、再根据并集的含义求（X∩Y）
【解答】解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}， 故选C
2．下列直线中与直线x﹣2y+1=0平行的一条是（ ） A．2x﹣y+1=0 B．2x﹣4y+2=0 C．2x+4y+1=0 D．2x﹣4y+1=0 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由两直线平行的判定，逐个选项验证即可．
【解答】解：选项A，1×（﹣1）﹣2×（﹣2）=3≠0，故不与已知直线平行； 选项B，方程可化为x﹣2y+1=0，以已知直线重合，故不正确； 选项C，1×4﹣2×（﹣2）=8≠0，故不与已知直线平行；
选项D，1×（﹣4）﹣2×（﹣2）=0，且1×1﹣1×2≠0，与已知直线平行． 故选D
3．下列各式错误的是（ ）
A．30.8＞30.7 B．log0.50.4＞log0..50.6 C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．lg1.6＞lg1.4 【考点】不等式比较大小．
【分析】利用对数函数和指数函数的增减性进行选择．
【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确； B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确； C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误； D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确； 故选C．
4．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象为（ ）
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A． B． C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】当a＞1时，根据函数y=a﹣x在R上是减函数，而y=logax的在（0，+∞）上是增函数，结合所给的选项可得结论．
【解答】解：当a＞1时，根据函数y=a﹣x在R上是减函数，故排除A、B；
而y=logax的在（0，+∞）上是增函数，故排除D， 故选：C．
5．若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，则圆C的方程是（ ） A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+（y+2）2=1 D．（x+1）2+（y﹣2）2=1 【考点】圆的标准方程．
【分析】求出已知圆的圆心关于原点对称的点的坐标，可得要求的圆的方程． 【解答】解：由于圆（x+2）2+（y﹣1）2=1的圆心C′（﹣2，1），半径为1， 圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，故C（2，﹣1）、半径为1， 故圆C的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=1， 故选：A．
6．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β； ③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】对于①当α⊥β，m∥α时，m⊥β不一定成立；
对于②可以看成m是平面α的法向量，n是平面β的法向量即可； 对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；
对于④m∥α，n∥β，且m∥n，α，β也可能相交．
【解答】解：①当α⊥β，m∥α时，m⊥β不一定成立，所以错误； ②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；
③因为m∥α，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥β可得出n⊥β，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，故成立；
第5页（共15页）
n∥β，④m∥α，α，β也可能相交，且m∥n，如图所示，，
所以错误，
故选B．
7．如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】首先由几何体的三视图断定原几何体是一个圆锥和圆柱的组合体，分析四个答案可得结论．
【解答】解：由已知可得原几何体是一个圆锥和圆柱的组合体， 上部分是一个圆锥， 下部分是一个圆柱，
而且圆锥和圆柱的底面积相等， 故此几何体的直观图是：
故选：D 8．函数
，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程
f（x）=x的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象． 【分析】由f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2得关于b和c的两个方程，求出b、c，再分x≤0和x＞0两段，分别解方程f（x）=x即可． 【解答】解：由题知
，
第6页（共15页）
解得b=4，c=2故，
当x≤0时，由f（x）=x得x2+4x+2=x，
解得x=﹣1，或x=﹣2，即x≤0时，方程f（x）=x有两个解． 又当x＞0时，有x=2适合，故方程f（x）=x有三个解． 故选C．
9．如果函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间是（ ）
A．a≤2 B．a＞3 C．2≤a≤3 D．a≥3
【考点】二次函数的性质；函数单调性的性质． 【分析】求出函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴x=的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴x=∵函数在区间（，1）上是减函数， ∴（，1）在对称轴的左侧， ∴
≥1，得a≥3．
， ，令
≥1，即可解出a
上是减函数，那么实数a的取值范围
故选D．
10．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90° 【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】连接B1G，EG，先利用长方形的特点，证明四边形A1B1GE为平行四边形，从而A1E∥B1G，所以∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角，再在三角形B1GF中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小 【解答】解：如图：连接B1G，EG ∵E，G分别是DD1，CC1的中点，
∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形
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∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角 在三角形B1GF中，B1G=FG=B1F=
==
==
=
=
∵B1G2+FG2=B1F2 ∴∠B1GF=90°
∴异面直线A1E与GF所成角为90° 故选 D
11．已知y=loga（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．[2，+∞） 【考点】对数函数的单调区间．
【分析】本题必须保证：①使loga（2﹣ax）有意义，即a＞0且a≠1，2﹣ax＞0．②使loga（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logau，u=2﹣ax，其中u=2
﹣ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=loga（2﹣ax）定义域的子集．
【解答】解：∵f（x）=loga（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数， ∴f（0）＞f（1）， 即loga2＞loga（2﹣a）． ∴
，
∴1＜a＜2． 故答案为：B．
12．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞） 【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果． 【解答】解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 故选A．
第8页（共15页）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数y=
的定义域为 （﹣1，2） ．
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【分析】求函数的定义域，根据分母不等于0，及对数函数和根号有意义的条件进行求解．【解答】解：求函数y=
的定义域，
∴⇒﹣1＜x＜2，
∴函数的定义域为{x|﹣1＜x＜2}
故答案为（﹣1，2）．
14．已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a= ． 【考点】点到直线的距离公式．
【分析】由点到直线的距离公式表示出已知点到直线l的距离d，让d等于1列出关于a的方程，求出方程的解，根据a大于0，得到满足题意的a的值． 【解答】解：点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离d=化简得：|a+1|=，解得a=﹣1或a=﹣﹣1， 又a＞0，所以a=﹣﹣1不合题意，舍去， 则a=﹣1． 故答案为：﹣1
15．一个长方体的顶点在球面上，它的长、宽、高分别为
3，、、则球的体积为
．
=1，
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由已知得球的该球的半径R为长方体体对角线长的一半，由此能求出该球的体积．
【解答】解：∵一个长方体的顶点在球面上，它的长、宽、高分别为、、3， ∴该球的半径R=
=2，
第9页（共15页）
∴球的体积V=故答案为：
．
==．
16．已知P是直线3x+4y+8=0的动点，PA、PB是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为 2 ． 【考点】圆的切线方程．
【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．
【解答】解：∵圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（1，1），半径r=1． 根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，
切线长PA，PB最小． ∵圆心到直线的距离为d=
=3，∴PA=PB=2
．
．
故四边形PACB面积的最小值为 2S△PAC=2××PA×r=2
故答案为：2．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点，且平行于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】联立
，解得P（3，2），设与直线4x﹣3y﹣7=0平行的直线方程为：
4x﹣3y+m=0，把P（3，2）代入解出m即可得出． 【解答】解：联立
，解得P（3，2），
设与直线4x﹣3y﹣7=0平行的直线方程为：4x﹣3y+m=0，
把P（3，2）代入可得：4×3﹣3×2+m=0，m=﹣6． ∴直线l的方程为：4x﹣3y﹣6=0．
18．已知集合A={x|y=lg
，B={x|23x﹣1＞2x}，C={x|log0.7（2x）＜log0.7（x﹣1）}，
求A∩B，B∪C．
【考点】交集及其运算；并集及其运算．
【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B与C中不等式的解集分别确定出B与C，求出A与B的交集，B与C的并集即可． 【解答】解：由A中y=lg
，得到4﹣x＞0，即x＜4，
第10页（共15页）
∴A={x|x＜4}，
由B中不等式变形得：3x﹣1＞x，即x＞， ∴B={x|x＞}，
由C中不等式变形得：，即x＞1，
∴C={x|x＞1}，
则A∩B={x|＜x＜4}，B∪C={x|x＞}．
19．PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点． （Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（Ⅰ）要证明：EF∥平面PAD，只需证明EF∥AD即可．
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．只需求出底面△ABC的面积，再求出E到底面的距离，即可．
【解答】解（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB， PC的中点，∴EF∥BC． 又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， ∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）连接AE，AC，EC， 过E作EG∥PA交AB于点G， 则EG⊥平面ABCD，且EG=PA． 在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2， ∴AP=AB=
，EG=
．
×2=
×
， =．
第11页（共15页）
∴S△ABC=AB•BC=×
∴VE﹣ABC=S△ABC•EG=×
20．圆心在直线5x﹣3y﹣8=0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程． 【考点】圆的切线方程．
【分析】与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，结合圆心在5x﹣3y﹣8=0上，求出圆心坐标，可得圆的半径，从而可得圆的标准方程．
【解答】解：与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，所以x=y或x=﹣y 又圆心在5x﹣3y﹣8=0上
若x=y，则x=y=4；若x=﹣y，则x=1，y=﹣1 所以圆心是（4，4）或（1，﹣1）
因为半径就是圆心到切线距离，即到坐标轴距离 所以圆心是（4，4），则r=4；圆心是（1，﹣1），则r=1
所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=16和（x﹣1）2+（y+1）2=1．
21．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，PB=BC=CA=4，∠BCA=90°，E为PC的中点．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求二面角E﹣AB﹣C的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出AC⊥AB，AC⊥CB，从而AC⊥平面PBC，进而AC⊥BE，再由BE⊥PC，能证明BE⊥平面PAC．
（2）过E作EF⊥BC，F为垂足，则EF∥PB，过F作FM⊥AB，M为垂足，连结EM，则∠EMF为二面角E﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角E﹣AB﹣C的正弦值． 【解答】证明：（1）∵PB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴AC⊥AB，
又∵∠BCA=90°，∴AC⊥CB，
∵CB⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，PB∩CB=B， AC⊥平面PBC， 又BE⊂平面PBC， ∴AC⊥BE，
∵E为PC中点，且PB=PC，∴BE⊥PC，
第12页（共15页）
PC⊂平面PAC，AC⊂平面PBC，PC∩AC=C， ∴BE⊥平面PAC．
（2）过E作EF⊥BC，F为垂足，则EF∥PB， ∵PB⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， ∵AB⊂面ABC，∴EF⊥AB， 过F作FM⊥AB，M为垂足，
连结EM，∵EF∩FM=F，∴AB⊥面EFM， ∵EM⊂面EFM，∴AB⊥EM，
∴∠EMF为二面角E﹣AB﹣C的平面角， 在Rt△EFM中，EF=EM=sin
===， ，
．
，FM=FBsin∠B=
，
∴二面角E﹣AB﹣C的正弦值为
22．已知定义域为R的函数
是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围． 【考点】指数函数单调性的应用；奇函数． 【分析】（Ⅰ）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求a，b的值； （Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2
﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0， 即
又由f（1）=﹣f（﹣1）知所以a=2，b=1． 经检验a=2，b=1时，
．
是奇函数．
第13页（共15页）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数． 又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2． 即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0， 从而判别式
所以k的取值范围是k＜﹣．
．
第14页（共15页）
2016年7月31日
第15页（共15页）
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