不定积分典型题型

1. 原函数 2.积分公式 3.第一类换元积分法(也称凑微分法） 4.第二类换元积分法 5. 分部积分法

原函数

1. 若F’(x)=f(x), G’(x)=f(x), 则

f(x)dx（ ）

A. G（x） B. F（x） C. F（x）+C

分析：此题考查不定积分和原函数之间的关系。

2. 下列函数中，是同一个函数的原函数的为（ ） A.lnx,ln(x+2) B.arcsinx,arccosx C.lnx,ln2x

分析：验证两个函数的差是否为常数。运用对数函数的运算。Ln2x=ln2+lnx

积分公式 1.3xexdx

分析：运用公式

axdx=

1xxa+C， 把3e看做一个整体,化为(3e)。 lna3xexC 答：

1ln3

3x2dx 2.21x分

析

：

对

函

数

进

行

“

加

一

项

减

一

项

”

处

理

，

则

3x2x2111dx33(11x21x21x2)dx3(xarctanx)C

3.tan2xdx

22分析：运用三角恒等式tanxsecx1,则tanxdx(secx1)dxtanxxC

22 4.

1cos2xsin2xdx

析

：

运

用

三

角

恒

等

式

sin2x+cos2x=1,

则

分

1sin2xcos2x22dxdx(secxcscx)dxtanxcotxC cos2xsin2xcos2xsin2x.

1cos2xdx 5.1cos2x分析：运用三角恒等式1+cos2x=2cos2x 答： 6.2sin1(tanxx)C 22xdx 22分析：运用三角恒等式2sinx1cosx 2答：x-sinx+C

第一换元积分法（凑微分法）

利用凑微分法求不定积分，往往要作多次试探，总结一些规律性的东西，如果题目不复杂，可以省去写中间变量而直接写出积分结果。对于稍复杂的题目，有时候不能直接想到如何凑成微分形式，可以写出中间变量，最后一定要换回原来的积分变量。 1.求

31dx 32x分析：运用dx1d(axb)进行凑微分，令u=3-2x. a23答：(32x)3C

4 2.求

192x2dx

11x2dxarctanxC

分析：转化为形式：

答：

132arctan2xC 33.求x1xdx 分析：运用xdx=

212dx 23122答：(1x)C

34.求

1dx

x(1x)分析：运用

1dx2dx和 12dxarctanxC

1xx答：

2arctanxC

5. 求1dx

exexxx分析：运用edxd(e)和

1dxarctanxC1x2

arctanexC答：

6.求

cosxdx3cos2x

cos2x12sin2x分析：运用cosxdx=d(sinx)和

和

11x2dxarcsinxC

22arcsin(sinx)C2答：2

1dx227.求sinx2cosx

dxdtanx 12dxarctanxC2分析：运用cosx和1x 22arctan(tanx)C22答：

1dx2x2x48.求

分析：运用完全平方公式和

3x1arctanC3答：3

11xdxarctanC2axaa

29.求

x532xx2dx

分析：注意分子为x的一次式，可以凑出分母中所含二次式的导函数2-2x,可分化。

32xx26arcsin答：

x1C2

cscxdx10.求

解：

cscx(cscxcotx)csc2xcscxcotxcscxdxcscxcotxdxcscxcotxdx1 d(cscxcotx)lncscxcotxCcscxcotx

sinxdx11.求1sinx

sinxsinx(1sinx)sinxsin2x1sinxdx1sin2xdxcos2xdx解：sinxdxtan2xdx1tanxxCcos2xcosx

12. 已知



f(x)dxF(x)C,则f(lnx)dx()x

分析：运用凑微分法。

答：F(lnx)+C

13.设f(x)=e3x,求

f'(lnx)dx3x

分析：方法一，运用直接代入求解法。

方法二，运用换元积分法，令u=lnx

13xC答：3

2cos2xdx14.求

解：被积函数中，cos2x是一个由cos2x=cosu,u=2x复合而成的复合函数，常数因子恰好

是中间变量u的导数。因此变换u=2x,便有

2cos2xdxcos2xd(2x)cosudusinuC

再以u=2x代入，即得

2cos2xdxsin2xC

x2315.求(x2)

解：令u=x+2,则x=u-2,dx=du.于是

x2(u2)223du(u4u4)udu(x2)3u3(u14u24u3)dulnu4u12u2Clnx2

第二换元积分法（去根号）

mn（1）被积函数为 f(mx,nx),令xt。

42

Cx2(x2)2（2）被积函数为 f(naxb,),令tnaxb。

（3）被积函数为 f(a2x2),令xasint。运用sinxcosx1。

22

A x

a2x2

（4）被积函数为 f(a2x2),令xatant。运用1tantsect。

22（5）被积函数为 f(x2a2),令xasect。运用sect1tant。

22

1dx1.求x221x

t1x分析：被积函数含有根号，运用换元法去掉根号。令

.

2ln1x1答：

2C1x1

2.求

1xx4dx

t4x分析：被积函数含有根号，运用换元法去掉根号。令

.

2x44x4ln(4x1)C答：

3.求

a2x2dx

xxasint,tarcsin.a. 分析：用三角代换去根号，运用换元法去掉根号。令a2x1arcsinxa2x2Ca2答：2

4.求

1(x2a)322dx

xatant分析：用三角代换去根号，运用换元法去掉根号。令

x答：a

2ax22C

分部积分法

当函数u(x),v(x)可微时，根据微分的乘法法则，我们有d(uv)=udv+vdu,等式两端关于x求不定积分，可得，duvudvvdu，从而有udvuvvdu.称为分部积分公式，当我们面对一个难于处理的积分时们我们可以用这个公式谋求一个更容易求出的积分来代替

它。

解题口诀：反 对 幂 三 指，谁在前面谁不动。

lnxdx1.求

分析：被积函数为对数函数，运用分部积分法。 答：xlnx-x+C 2.求

2xln(1x)dx

分析：先凑微分，被积函数为幂函数与对数函数的乘积，可分部积分。

11(1x2)ln(1x2)x2C2答：2

3.求

3xxedx2

分析：被积函数为多项式和指数函数的乘积。分部积分

2112x2exexC2答：2

x4.求

2sin2xdx

分析：被积函数为幂函数与三角函数的乘积，运用分部积分法

111x2cos2xxsin2xcos2xC24答：2

e5.求

解：

xsinxdx

xxxxesinxdxsinxdeesinxecosxdx等式右端的积分和等式左端的积分是同一类型的，对右端的积分再用一次分部积分法，得

由于上式右端的第三项就是所求积分，把它移到等号左端去，等式两端再同除以2，便得

exsinxcosxdexexsinxexcosxexsinxdx1xxesinxdxe(sinxcosx)C2

因上式右端已不包括积分项，所以必须加上任意常数C。

简单有理函数积分

有理函数的一般形式为F(x)=

pn(x)，其中Pn(x),Qm(x)分别为n,m次多项式。

Qm(x)

11.求(2x1)(3x1)

解：先将被积分式恒等变形再积分

113(2x1)2(3x1)(2x1)(3x1)5(2x1)(3x1)dx1321()dx(ln3x1ln2x1)C 53x12x15