一、单选题(共15题;共30分)
1.(2017•黔南州)如图,在正方形ABCD中,AB=9,点E在CD边上,且DE=2CE,点P是对角线AC上的一个动点,则PE+PD的最小值是( )
A. 3 B. 10 C. 9 D. 9
2.如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是( )
A. 30 B. 34 C. 36 D. 40
3.(2017•河北)求证:菱形的两条对角线互相垂直. 已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O. 求证:AC⊥BD. 以下是排乱的证明过程:
①又BO=DO;②∴AO⊥BD,即AC⊥BD;③∵四边形ABCD是菱形;④∴AB=AD. 证明步骤正确的顺序是( )
A. ③→②→①→④ B. ③→④→①→② C. ①→②→④→③ D. ①→④→③→②
4.下列命题中,真命题是( ).
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
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5.(2017•内江)如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA、OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0,3 ),∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为( )
A. ( , ) B. (2, ) C. ( , ) D. ( ,3﹣ )
6.AE⊥BD,(2017•泸州)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,垂足为F,则tan∠BDE的值是( )
A. B. C. D.
7. ∠ , , 是 的中点.(2017•苏州)如图,在菱形 中,过点 作 ,
′ 分别是 、 ′ 垂足为 .将 沿点 到点 的方向平移,得到 ′ ′ .设 、
的中点,当点 ′ 与点 重合时,四边形 ′ 的面积为( )
A. B. C. D.
8.(2017•枣庄)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(﹣3,4),顶点C在x轴的负半轴
上,函数y= (x<0)的图象经过顶点B,则k的值为( )
A. ﹣12 B. ﹣27 C. ﹣32 D. ﹣36
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9.(2017•广元)如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为F,连结DF,下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②tan∠CAD= ;③DF=DC;④CF=2AF,正确的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 10.(2017•莱芜)如图,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是( )
A. B.
C. D.
11.(2017•佳木斯)如图,在矩形ABCD中,AD=4,∠DAC=30°,点P、E分别在AC、AD上,则PE+PD的最小值是( )
A. 2 B. 2 C. 4 D.
12.(2017•兰州)如图,在正方形ABCD和正方形DEFG中,点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°,得到正方形DE′F′G′,此时点G′在AC上,连接CE′,则CE′+CG′=( )
A. B. C. D.
13.(2017•德州)如图放置的两个正方形,大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),M在BC边上,且BM=b,连接AM,MF,MF交CG于点P,将△ABM绕点A旋转至△ADN,将△MEF绕点F旋转至△NGF,给出以下五个结论:①∠MAD=∠AND;②CP=b﹣
;③△ABM≌△NGF;④S四边
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形AMFN
=a2+b2;⑤A,M,P,D四点共圆,其中正确的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14.(2017•宁波)如图,四边形ABCD是边长为6的正方形,点E在边AB上,BE=4,过点E作EF∥BC,分别交BD、CD于G、F两点.若M、N分别是DG、CE的中点,则MN的长为 ( )
A. 3 B. C. D. 4
15.(2017·台州)如图,矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上,BE=BF,将△AEH,△CFG分别沿边EH,FG折叠,当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时,则 为( )
A. B. 2 C. D. 4
二、填空题(共6题;共6分)
16.(2017•宜宾)如图,在菱形ABCD中,若AC=6,BD=8,则菱形ABCD的面积是
________.
17.(2017•常德)如图,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上.若设AE=x,正方形EFGH的面
积为y,则y与x的函数关系为________.
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18.(2017•内江)如图,正方形ABCD中,BC=2,点M是边AB的中点,连接DM,DM与AC交于点P,
点E在DC上,点F在DP上,且∠DFE=45°.若PF= ,则CE=________.
19.(2017•东营)如图,已知菱形ABCD的周长为16,面积为8 ,E为AB的中点,若P为对角线BD上一动点,则EP+AP的最小值为________.
20.(2017•成都)如图1,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠ADC的平分线DE折叠,如图2,点C落在点C′处,最后按图3所示方式折叠,使点A落在DE的中点A′处,折痕是FG,若原正方形纸片的边长为6cm,则FG=________cm.
21.(2017•桂林)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E,若AB=3,BC=4,则 的值为________.
三、综合题(共4题;共41分)
22.(2017•黑龙江)在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.若四边形ABCD是正方形如图1:则有AC=BD,AC⊥BD. 旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置,AC′与BD′有什么关系?(直接写出) 若四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,旋转Rt△COD至图3所示的位置,AC′与BD′又有什么关系?写出结论并证明.
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23.(2017·丽水)如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连接BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连结AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设 =n.
(1)求证:AE=GE;
(2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示 的值;
(3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值.
24.(2017•吉林)如图①,BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,AD=1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置,使B'为BD中点,连接AB',C'D,AD',BC',如图②.
(1)求证:四边形AB'C'D是菱形; (2)四边形ABC'D′的周长为________;
(3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所有可能拼成的矩形周长.
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25.(2017•扬州)如图,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上,连结AA'.
(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;
(2)在△ABC中,∠B=90°,A B=24,cos∠BAC=
,求CB'的长.
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答案解析部分
一、单选题 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】A 6.【答案】A 7.【答案】A 8.【答案】C 9.【答案】C 10.【答案】A 11.【答案】B 12.【答案】A 13.【答案】D 14.【答案】C 15.【答案】A 二、填空题 16.【答案】24
17.【答案】y=2x2﹣4x+4 18.【答案】
19.【答案】2 20.【答案】 21.【答案】 三、综合题
22.【答案】解:图2结论:AC′=BD′,AC′⊥BD′,∴AO=OC,BO=OD,AC⊥BD, ∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′, ∴OD′=OD,OC′=OC,∠D′OD=∠C′OC, ∴AO=BO,OC′=OD′,∠AOC′=∠BOD′,
在△AOC′与△BOD′中, ,∴△AOC′≌△BOD′, ∴AC′=BD′,∠OAC′=∠OBD′,
理由:∵四边形ABCD是正方形,第 8 页 共 12 页
∵∠AO′D′=∠BO′O,∠O′BO+∠BO′O=90°, ∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°, ∴AC′⊥BD′; 图3结论:BD′=
AC′,AC′⊥BD’
理由:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO, ∵∠ABC=60°, ∴∠ABO=30°, ∴OB=
OA,OD=
OC,
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′, ∴OD′=OD,OC′=OC,∠D′OD=∠C′OC, ∴OD′=
OC′,∠AOC′=∠BOD′,
∴ = ,
∴△AOC′∽△BOD′, ∴
=
=
,∠OAC′=∠OBD′,
∴BD′= AC′,
∵∠AO′D′=∠BO′O,∠O′BO+∠BO′O=90°, ∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°, ∴AC′⊥BD′.
23.【答案】(1)证明:由对称得AE=FE,∴∠EAF=∠EFA,∵GF⊥AE,∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°, ∴∠FGA=∠EFG,∴EG=EF. ∴AE=EG.
(2)解:设AE=a,则AD=na, 当点F落在AC上时(如图1), 由对称得BE⊥AF, ∴∠ABE+∠BAC=90°, ∵∠DAC+∠BAC=90°, ∴∠ABE=∠DAC, 又∵∠BAE=∠D=90°, ∴△ABE~△DAC , ∴
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∵AB=DC,∴AB2=AD·AE=na·a=na2, ∵AB>0,∴AB= . ∴
.
(3)解:设AE=a,则AD=na,由AD=4AB,则AB=
. 当点F落在线段BC上时(如图2),EF=AE=AB=a, 此时
,∴n=4. ∴当点F落在矩形外部时,n>4.
∵点F落在矩形的内部,点G在AD上, ∴∠FCG<∠BCD,∴∠FCG<90°,
若∠CFG=90°,则点F落在AC上,由(2)得
,∴n=16. 若∠CGF=90°(如图3),则∠CGD+∠AGF=90°, ∵∠FAG+∠AGF=90°, ∴∠CGD=∠FAG=∠ABE, ∵∠BAE=∠D=90°, ∴△ABE~△DGC, ∴
,
∴AB·DC=DG·AE,即(
2 )=(n-2)a·a.
解得 或 (不合题意,舍去), ∴当n=16或 时,以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形.
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24.【答案】(1)解:∵BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°, ∴∠ADB=60°,
由平移可得,B'C'=BC=AD,∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°, ∴AD∥B'C'
∴四边形AB'C'D是平行四边形, ∵B'为BD中点,
∴Rt△ABD中,AB'= BD=DB', 又∵∠ADB=60°, ∴△ADB'是等边三角形, ∴AD=AB',
∴四边形AB'C'D是菱形; (2)4
(3)解:将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下:
∴矩形周长为6+ 或2 +3.
25.【答案】(1)解:四边形ACC'A'是菱形.理由如下: 由平移的性质得到:AC∥A′C′,且AC=A′C′, 则四边形ACC'A'是平行四边形. ∴∠ACC′=∠AA′C′,
又∵CD平分∠ACB的外角,即CD平分∠ACC′,
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∴CD也平分∠AA′C′, ∴四边形ACC'A'是菱形.
(2)解:∵在△ABC中,∠B=90°,A B=24,cos∠BAC=
, ∴cos∠BAC=
= ,即 = , ∴AC=26.
∴由勾股定理知:BC= = =7 . 又由(1)知,四边形ACC'A'是菱形, ∴AC=AA′=26.
由平移的性质得到:AB∥A′B′,AB=A′B′,则四边形ABB′A′是平行四边形,∴AA′=BB′=26,
∴CB′=BB′﹣BC=26﹣7 .
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