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来源:飒榕旅游知识分享网
第1节 命题及其关系、充分条件与必要条件

一、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

二、四种命题及其关系 1.四种命题

命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 2.四种命题间的逆否关系

表述形式 若p,则q 若q,则p 若 p,则 q 若 q,则 p

3.四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 三、充分条件与必要条件

1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 2.如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件. [知识能否忆起]

1.(教材习题改编)下列命题是真命题的为( )

11

A.若=,则x=y B.若x2=1,则x=1C.若x=y,则x=y

xy则x2π

2.(2012·湖南高考)命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是( )

4

πππ

A.若α≠,则tan α≠1B.若α=,则tan α≠1C.若tan α≠1,则α≠ D.若tan α≠1,

444π

则α= 4

3.(2012·温州适应性测试)设集合A,B,则A⊆B是A∩B=A成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

D.若x4.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为:____________________. 5.下列命题中所有真命题的序号是________.

①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.

典题导入

[例1] 下列命题中正确的是( )

①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题;

③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题; 1

④“若x-3是有理数,则x是无理数”的逆否命题.

2A.①②③④ B.①③④ C.②③④

D.①④

[例2] (1)(2012·福州质检)“x<2”是“x2-2x<0”的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)(2012·北京高考)设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[例3] 已知p:-41.(2012·福建高考)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )

1

A.x=-

2

B.x=-1 C.x=5 D.x=0

2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )

A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

a+b

3.(2013·武汉适应性训练)设a,b∈R,则“a>0,b>0”是“>ab”的( )

2

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知p:“a=2”,q:“直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切”,则p是q的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.(2012·广州模拟)命题:“若x2<1,则-1A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1 B.若-11或x<-1,则x2>1 D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1

6.(2011·天津高考)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.下列命题中为真命题的是( )

A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 B.命题“x>1,则x2>1”的否命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题

8.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( )

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.命题“若x>0,则x2>0”的否命题是________命题.(填“真”或“假”)

10.已知集合A={x|y=lg(4-x)},集合B={x|x第2节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、简单的逻辑联结词

1.用联结词“且”联结命题p和命题q,记作p∧q,读作“p且q”. 2.用联结词“或”联结命题p和命题q,记作p∨q,读作“p或q”.

3.对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作綈p,读作“非p”或“p的否定”. 4.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断:

p∧q中p、q有一假为假,p∨q有一真为真,p与非p必定是一真一假. 二、全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.

(3)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

2.存在量词与特称命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.

(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.

(3)特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,P(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.

三、含有一个量词的命题的否定

命题 ∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,p(x0) 命题的否定 ∃x0∈M,非p(x0) ∀x∈M,非p(x) 典题导入 1.(2011·北京高考)若p是真命题,q是假命题,则( )

A.p∧q是真命题 C.非p是真命题

B.p∨q是假命题 D.非q是真命题

2.(教材习题改编)下列命题中的假命题是( )

1

A.∃x0∈R,x0+=2

x0C.∀x∈R,x2>0

B.∃x0∈R,sin x0=-1 D.∀x∈R,2x>0

3

3.(2012·湖南高考)命题“∃x0∈∁RQ,x0∈Q”的否定是( )

A.∃x0∉∁RQ,x30∈Q C.∀x∉∁RQ,x3∈Q

B.∃x0∈∁RQ,x30∉Q D.∀x∈∁RQ,x3∉Q

4.(教材习题改编)命题p:有的三角形是等边三角形.命题綈p:__________________. 5.命题“∃x0∈R,2x20-3ax0+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为________.

[例1] (2012·齐齐哈尔质检)已知命题p:∃x0∈R,使tan x0=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(非q)”是假命题;③命题“非p)∨q”是真命题;④命题“(非p)∨(非q)”是假命题.其中正确的是( )

A.②③ B.①②④ C.①③④ [例2] 下列命题中的假命题是( )

A.∀a,b∈R,an=an+b,有{an}是等差数列 B.∃x0∈(-∞,0),2x0<3x0 C.∀x∈R,3x≠0 D.∃x0∈R,lg x0=0 练习

1.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是( )

A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2 B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2 C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2 D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2

π2.(2012·山东高考)设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:函数y=cos x的图

象关于直线x=对称.则下列判断正确的是( )

2

A.p为真 B.q为真 C.p∧q为假

D.p∨q为真 D.①②③④

3.(2013·广州模拟)已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )

A.(非p)∨q

B.p∧q C.(非p)∧(非q)

D.(非p)∨(非q)

4.下列命题中,真命题是( )

A.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)`都是偶函数 D.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 5.(2012·福建高考)下列命题中,真命题是( )

A.∃x0∈R,ex0≤0 B.∀x∈R,2x>x2

a

C.a+b=0的充要条件是=-1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件

b

2

6.(2012·石家庄质检)已知命题p1:∃x0∈R,x20+x0+1<0;p2:∀x∈[1,2],x-1≥0.以下

命题为真命题的是( )

A.(非p1)∧(非p2) B.p1∨(非p2) C.(非p1)∧p2 7.(2012·“江南十校”联考)下列说法中错误的是( )

11

A.对于命题p:∃x0∈R,使得x0+>2,则非p:∀x∈R,均有x+≤2

x0x

D.p1∧p2

B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件

C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2-3x+2≠0” D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题

8.(2013·石家庄模拟)已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x0∈R,x20+2ax0+2-a=0,若“p且q”为真命题,则实数a的取值范围是( )

A.a=1或a≤-2 B.a≤-2或1≤a≤2 C.a≥1 D.-2≤a≤1 9.命题“存在x0∈R,使得x20+2x0+5=0”的否定是________.

1

10.已知命题p:“∀x∈N*,x>”,命题p的否定为命题q,则q是“________”;q的真

x假为________(填“真”或“假”).

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