2021年初中数学各种公式(完整版)

数学各种公式及性质

1．

欧阳光明（2021.03.07）

2． 乘法与因式分解

①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；

④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab。

3． 幂的运算性质

①am×an＝am+n；②am÷an＝am-n；③(am)n＝amn；④(ab)n＝anbn；

a⑤(ban)n＝nb；

1⑥a-n＝na，特别：()-n＝()n；⑦a0＝1(a≠0)。

4． 二次根式

①()2＝a(a≥0)；②b≥0)。

5． 三角不等式

＝丨a丨；③＝×；④＝(a＞0，

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）；

加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b） |a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b ； |a-b|≥|a|-|b|； -|a|≤a≤|a|；

6． 某些数列前

n项之和

；

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2；

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6； 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4；

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；

7． 一元二次方程

；

对于方程：ax2＋bx＋c＝0：

bb24ac①求根公式是x＝2a，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根。

②若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)。

③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0。

8． 一次函数

一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，称为截距)。

①当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)； ②当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)；

③特别地：y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，当b＝0时，图象必过原点。

9． 反比例函数

反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线。

①当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；

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*欧阳光明*创编 2021.03.07 ②当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)。10． 二次函数

（1）.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数。

（2）.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 ①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0。 （3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) yax2 yax2k yaxh 2x0（y轴） 当a0时 开口向上 当a0时 开口向下 x0（y轴） xh xh bx 2ayaxhk 2yaxbxc 2b4acb2，() 2a4a（4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：

b4acb2yaxbxcax2a4a22，∴顶点是

b4acb2b（，），对称轴是直线x。

2a4a2a②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxh2k的

形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图

形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

(x2,y)（及y值相同） 若已知抛物线上两点(x1,y)、，则对称轴方程

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xx可以表示为：x12

22（5）.抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用

①a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样。

②b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线。

bb

，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）2aa

b时，对称轴在y轴左侧；③0（即a、b异号）时，对称轴在

axy轴右侧。

③c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴

交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴

在y轴右侧，则

b0。 a（6）.用待定系数法求二次函数的解析式

①一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

②顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

③交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2。

（7）.直线与抛物线的交点

①y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0, c)。 ②抛物线与x轴的交点。

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，

是对应一元二次方程

ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

a有两个交点(0)抛物线与x轴相交；

b有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切； c没有交点(0)抛物线与x轴相离。

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③平行于x轴的直线与抛物线的交点

同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两

交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根。 ④一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图

像G的交点，由方程组

ykxnyaxbxc2的解的数目来确定：

a方程组有两组不同的解时l与G有两个交点； b方程组只有一组解时l与G只有一个交点； c方程组无解时l与G没有交点。

⑤抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两

0，Bx2，0，则ABx1x2 交点为Ax1，11．

统计初步

（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．

（2）公式：设有n个数x1，x2，…，xn，那么： ①平均数为：xx1x2......nxn；

②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据

的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；

③方差：数据x1、x2……, xn的方差为s2，

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2221则s2= x1xx2x.....xnxn④标准差：方差的算术平方根。 数据x1、x2……, xn的标准差s，

则s=

1nx1x2x2x2.....xnx2

一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。

12．

频率与概率

（1）频率

频率=频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于

总数1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。 （2）概率

①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1； P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。

③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；

13． 锐角三角形

①设∠A是△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝的余弦：cosA＝＋cos2A＝1。

，∠A的正切：tanA＝

，∠A．并且sin2A

0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。

②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，cos(90º－A)＝sinA。 ③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝sin60º＝cos30º＝

，

，

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tan30º＝，tan45º＝1，tan60º＝。

h l

铅垂高度④斜坡的坡度：i＝＝

水平宽度．设坡角为α，则i＝tanα＝。 α 14． 正（余）弦定理

（1）正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中 R 表示三角形的外接圆半径。

正弦定理的变形公式：(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c

（2）余弦定理 b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC；

注：∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

15． 三角函数公式 （1） 两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

（2） 倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

（3） 半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

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cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

（4） 和差化积

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

（5） 积化和差

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

16． 平面直角坐标系中的有关知识

（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），P关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）。

（2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）.如：点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）。

17． 多边形内角和公式

多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)180º（n≥3，n是正

整数），外角和等于360º

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*欧阳光明*创编 2021.03.07 18． 平行线段成比例定理

（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对

应线段成比例。

如图：a∥b∥c，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C和D、E、F， 则有

ABDEABDEBCEF,,BCEFACDFACDF。

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），

所得的对应线段成比例。如图：△ABC中，DE∥BC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：19． 直角三角形中的射影定理

ADAEADAEDEDBEC ,,DBECABACBCABACC直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，

ADB则有：（1）CD2ADBD（2）AC2ADAB（3）BC2BDAB

20． 圆的有关性质

（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：

①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径。 （2）两条平行弦所夹的弧相等。

（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半。 （6）同弧或等弧所对的圆周角相等。

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦。、

（9）圆内接四边形的对角互补。

21． 三角形的内心与外心

（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点。

（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．

常见结论：①Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径rabc； 2②△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆的半径为r，

1Slr2 则

22． 弦切角定理及其推论

（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠PAC为弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。

A B

O C 如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则

PAC11ACAOC 22P 推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等） 如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则PACABC

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*欧阳光明*创编 2021.03.07 23． 相交弦定理、割线定理和切割线定理

（1）相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。

如图①，即：PA·PB = PC·PD

（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆

交点的两条线段长的积相等。如图②，即：PA·PB = PC·PD （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到

割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC2 = PA·PB

①

② ③

24． 面积公式

①S正△＝

×(边长)2．

⑦弧长L＝

．

②S平行四边形＝底×高．

③S菱形＝底×(对角线的积)， 高＝×④

⑧S扇形nr21lr 3602⑨S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh， S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr2 ⑩S圆锥侧＝×底面周长×母线＝πrb， S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr2

1S梯形(上底下底)高中位线高

2⑤S圆＝πR2．

⑥l圆周长＝2πR．

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