07初三数学..直升班..第4讲 一元二次方程的特殊根问题(学生版)

一元二次方程的 特殊根问题

模块一 一元二次方程的公共根

模块二 一元二次方程的整数根

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模块一 一元二次方程的公共根

1．一元二次方程公共根问题的一般解法：

（1）如果公共根可以根据其中一个方程求出，则先求出公共根，代入另外一个方程，得到某一个参数的一个方程，解得参数．

（2）如果公共根不能直接求出，则先设出公共根，然后代入原方程，通过恒等变形求出参数的值和所有方程的根．

模块二 一元二次方程的整数根

1．判断整系数一元二次方程是否有整数根的思路：

判断整系数一元二次方程axbxc是否有整数根问题的过程中，整除的性质、求根公式、判别式与根系关系起十分重要的作用．

2．解整系数一元二次方程整数根问题的常用方法

（1）直接求根法：当一元二次方程的根很容易通过分解因式求出时，我们可以直接利用整除的性质讨论当根为整数时参数的取值（能因式分解优先考虑）．

（2）利用判别式法：在一元二次方程有整数根的前提下，利用判别式△必须是完全平方式，且△，利用这条性质可以确定整参数的值，但需要验证这些值是否使方程的根为整数．

（3）利用韦达定理：由韦达定理（根系关系）得到用待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母得出不定方程来求解，或利用“和与积必须是整数”，结合整除性分析求解．但后者必须进行检验所求的参数值要满足判别式△．（一般用于实参数）

0 模块一 一元二次方程的公共根

例题 1

xx已知关于x的方程xkx的一个解与方程的解相同．

x（1）求k的值

（2）求方程xkx的另一个解．

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例题 2

（1）求k的值，使得关于x的一元二次方程xkx，xx(k)有相同的根，并求两个方程的根．

（2）已知x1为方程xkx的根，x为方程xkx的根，且xx，求k的值． 0 模块二 一元二次方程的整数根

例题 3

（南充市外地生招生考试）关于x的一元二次方程为(m)xmxm，m为何整数时，此一元二次方程的两个根都为整数？

例题 4

已知关于x的方程(k)(k)x(k)x的解都是整数，求整数k的值．

例题 5

当m为何整数时，方程xmxm有整数解．

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例题 6

（全国初中联赛）已知方程xxnn的根都是整数，求整数n的值．

例题 7

（1）当m是什么整数时，关于x的方程x(m)xm的两根都是整数?

（2）已知关于x的方程x(a)xa的两根都是整数，求a的值．

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演练 1 的某个根，也是一元二次方程x(k)x的根，则k的值为C．k或 或 1．一元二次方程xx（ ）． A．   B． D．k演练 2 2．已知m为非负实数，当m__________时，关于x的方程xmx与xxm仅有一个相同的实根．

演练 3

3．方程和方程xkx有一个根互为倒数，则k的值为__________． xkx、

演练 4

4．关于x的二次方程(kk)x(kk)xk的两根都是整数．求满足条件的所有整数k的值．

演练 5

5．当m是何整数时，关于x的一元二次方程mxx与xmxmm的根都是整数．

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演练 6

6．已知关于x的方程x(a)xa（a）的两根都是整数，求a的值．

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