2015届高考数学(理)一轮总复习讲义：2.11导数在研究函数中的应用(人教A版)

1． 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则

(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′ (x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数． 2．函数的极值与导数

(1)函数的极小值与极小值点：(2)函数的极大值与极大值点： 3．函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

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1．(人教A版教材习题改编)当x＞0时，f(x)＝x＋的单调减区间是( )

x

2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( ) 3．设函数f(x)＝xe，则( )

A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是( )

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x考向1 利用导数研究函数的单调性 【例1】 已知函数f(x)＝

xx2＋b，其中b∈R.

(1)若x＝－1是f(x)的一个极值点，求b的值； (2)求f(x)的单调区间．

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变式训练1 已知函数f(x)＝mln x－x(m∈R)，求函数f(x)的单调区间．

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考向2 利用导数研究函数的极值

【例2】 已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值．

变式训练2 设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点．

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考向3 用导数研究函数的最值

【例3】 已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．

变式训练1 已知函数f(x)＝(x－k)ex，求f(x)的单调区间；

2．若函数f(x)＝x2

＋ax＋1x在1

2，＋∞

是增函数，则a的取值范围是( A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞)

3、若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是( )

A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)

4、已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.

(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．

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