不等式的证明

　　第四课时

　　教学目标

　　1.掌握分析法证明不等式；

　　2.理解分析法实质——执果索因；

　　3.提高证明不等式证法灵活性.

　　教学重点  分析法

　　教学难点 分析法实质的理解

　　教学方法 启发引导式

　　教学活动

　　（一）导入  新课

　　（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评.

　　（学生活动）回答和思考教师提出的问题.

　　［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？

　　［问题 2］能否用比较法或综合法证明不等式：

　　[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法.（板书课题）

　　设计意图：复习已学证明不等式的方法.指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，

　　激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入  本节课学习内容：用分析法证明不等式.

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索、建立新知】

　　（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评.帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系.投影分析法证明不等式的概念.

　　（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知.

　　[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式.

　　［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？

　　［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？

　　［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？

　　［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立.就是分析法的逻辑关系.

　　[投影]分析法证明不等式的概念.（见课本）

　　设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究.建立新的知识；分析法证明不等式.培养学习创新意识.

　　【例题示范、学会应用】

　　（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题.

　　（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证.

　　例1 求证

　　[分析］此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法.

　　证明：（见课本）

　　[点评]证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难.此例中，我们很难想到从“ ”入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此.

　　例2 已知： ，求证： （用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？

　　［投影］证法一：因为 ，所以 、去分母，化为 ，就是 .由已知 成立，所以求证的不等式成立.

　　证法二：欲证 ，因为

　　只需证 ，

　　即证 ，

　　即证

　　因为 成立，所以 成立.

　　（证法二正确，证法一错误.错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误.）

　　[点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是：

　　（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）

　　分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反.②用分析法证明时要注意书写格式.分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是：

　　要证命题B为真，

　　只需证明 为真，从而有……

　　这只需证明 为真，从而又有……

　　……

　　这只需证明A为真.

　　而已知A为真，故命题B必为真.

　　要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.

　　[投影] 例3  证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

　　［分析］设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为 ，则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形边长为 ，截面积为 ，所以本题只需证明：

　　证明：（见课本）

　　设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位.掌

　　握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系.灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.

　　【课堂练习】

　　（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正.点评练习中存在的问题.

　　（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.

　　【字幕】练习1.求证

　　2.求证：

　　设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学.

　　【分析归纳、小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法.

　　（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记.

　　1.分析法是证明不等式的一种常用基本方法.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的.

　　2.用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式.

　　设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法.

　　（三）小结

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识.

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.

　　本节课主要学习了用分析法证明不等式.应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：

　　通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等.在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质.另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.理解分析法和综合法是对立统一的两个方面.有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程.

　　设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.

　　（四）布置作业 

　　1.课本作业 ：P17  4、5.

　　2.思考题：若 ，求证

　　3.研究性题：已知函数 ， ，若 、 ，且 证明

　　设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题.

　　（五）课后点评

　　教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程.本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决.一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务.总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态.

　　本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合.在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化.教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括.在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法.

　　在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构.

　　作业 答案：

　　思考题：

　　.因为 ，故 ，所以 成立.

　　研究性题：令 ， ，则：

　　， ，

　　故原不等式等价于

　　由已知有 . 。所以上式等价于 ，即 。所以又等价于 .因为 ，上式成立，所以原不等式成立。                                           

　　不等式的实际解释

　　题目：不等式： 是正数，且 ，则 。可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质则浓度增加，即 个单位溶液中含有 个单位的溶质，其浓度小于加入 个单位溶质后的溶液浓度，请你仿照此例，给出两个不等式的解释。

　　分析与解

　　1.先看问题中的不等式，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的条件变好。

　　设地板面积为 平方米，窗户面积为 平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的 平方米，住宅的采光条件变好了，即有

　　2. 是正数，不等式 可以推出 ，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。

　　3.电阻串并联。电阻值为 、 的电阻，串联电阻为 ，并联电阻为 ，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式 ，即

　　说明 许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。