教学目的：1、使学生了解多边形，凸多边形的概念；
2、使学生认识多边形的内角和的表示方法及外角和为360 ；
3、让学生体会转化（把未知化已知）等数学思想；
4、培养学生合作、表达等能力情感。
教学重点与难点：多边形内角和与外角和特点是重点
利用化归思想归纳多边形内角和与外角和特点是难点。
教学过程：
一、创设情境
1、 多边形定义
师出示一个三角形，问：这是什么图形？它是怎样定义的？
生：三条线段首尾顺次连接而成的图形。
师：以次类推，你能告诉我什么样的图形叫做四边形？五边形？……n边形呢？
这些图形我们都叫做多边形。
2、 多边形记法
3、 凸多边形概念
师：屏幕上的这一类多边形我们称为凸多边形，还有一类如：
我们叫做凹多边形，不在我们今天的研究范围之内。
二、探究新知
1、 确立研究范围
师：请大家观察这些多边形，结合我们已学过的三角形，大家认为有哪些部分值得我们研究？
生1：它的角。
生2：多边形的边。
师：那么今天我们不妨先来研究一下多边形的角。（出示课题：多边形的内角和与外角和）
2、 自主探究多边形的内角和
一、素质教育目标 （一）知识教学点 1.使学生掌握四边形的有关概念及四边形的内角和外角和定理. 2.了解四边形的不稳定性及它在实际生产，生活中的应用. （二）能力训练点 1.通过引导学生观察气象站的实例，培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力. 2.通过推导四边形内角和定理，对学生渗透化归思想. 3.会根据比较简单的条件画出指定的四边形. 4.讲解四边形外角概念和外角定理时，联系三角形的有关概念对学生渗透类比思想. （三）德育渗透点 使学生认识到这些四边形都是常见的，研究他们都有实际应用意义，从而激发学生学习新知识的兴趣. （四）美育渗透点 通过四边形内角和定理数学，渗透统一美，应用美. 二、学法引导 类比、观察、引导、讲解 三、重点·难点·疑点及解决办法 1.教学重点：四边形及其有关概念；熟练推导四边形外角和这一结论，并用此结论解决与四边形内外角有关计算问题. 2.教学难点 ：理解四边形的有关概念中的一些细节问题；四边形不稳定性的理解和应用. 3.疑点及解决办法：四边形的定义中为什么要有“在平面内”，而三角形的定义中就没有呢？根据指定条件画四边形，关键是要分析好作图的顺序，一般先作一个角. 四、课时安排 2课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、四边形模型、常用画图工具 六、师生互动活动设计 教师引入新课，学生观察图形，类比三角形知识导出四边形有关概念；师生共同推导四边形内角和的定理，学生巩固内角和定理和应用；共同分析探索外角和定理，学生阅读相关材料. 第2课时 七、教学步骤 【复习提问】 1.什么叫四边形？四边形的内角和定理是什么？ 2.如图4－9， 求 的度数（打出投影）. 【引入新课】 前面我们学习过三角形的外角的概念，并知道外角和是360°.类似地，四边形也有外角，而它的外角和是多少呢？我们还学习了三角形具有稳定性，而四边形就不具有这种性质，为什么？下面就来研究这些问题. 【讲解新课】 1.四边形的外角 与三角形类似，四边形的角的一边与另一边延长线所组成的角叫做四边形的外角，四边形每一个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，所以它们是相等的.四边形的外角与它有公共顶点的内角互为邻补角，即它们的和等于180°，如图4－10. 2.外角和定理 例1 已知：如图4－11，四边形ABCD的四个内角分别为 ，每一个顶点处有一个外角，设它们分别为 . 求 . (1)向学生介绍四边形外角和这一概念(取四边形的每一个内角的一个邻补角相加的和). (2)教给学生一组外角的画法——同向法. 即按顺时针方向依次延长各边，如图4—11，或按逆时针方向依次延长各边，如图4－12，这四个外角和就是四边形的外角和. (3)利用每一个外角与其邻补角的关系及四边形内角和为360°. 证得： 360° 外角和定理：四边形的外角和等于360° 3.四边形的不稳定性 ①我们知道三角形具有稳定性，已知三个条件就可以确定三角形的形状和大小，已知一边一夹角，作三角形你会吗？ （学生回答） ②若以 为边作四边形ABCD. 提示画法：①画任意小于平角的 . ②在 的两边上截取 . ③分别以A，C为圆心，以12mm，18mm为半径画弧，两弧相交于D点. ④连结AD、CD，四边形ABCD是所求作的四边形，如图4－13. 大家比较一下，所作出的图形的形状一样吗？这是为什么呢？因为 的大小不固定，所以四边形的形状不确定. ③（教师演示：用四根木条钉成如图4－14的框）虽然四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形没有稳定性. 教师指出，“不稳定”是四边形的一个重要性质，还应使学生明确： ①四边形改变形状时只改变某些角的大小，它的边长不变，因而周长不变它仍为四边形，所以它的内角和不变.②对四条边长固定的四边形任何一个角固定或者一条对角线的长一定，四边形的形状就固定了，如教材P125中2的第H问，为克服不稳定性提供了理论根据. （4）举出四边形不稳定性的应用实例和克服不稳定的实例，向学生进行理论联系实际的教育. 【总结、扩展】 1.小结： （1）四边形外角概念、外角和定理. （2）四边形不稳定性的应用和克服不稳定性的理论根据. 2.扩展：如图4－15，在四边形ABCD中， ，求四边形ABCD的面积 八、布置作业 教材P128中4. 九、板书设计 十、随堂练习 教材P124中1、2 补充：（1）在四边形ABCD中， ， 是四边形的外角，且 ，则 度. （2）在四边形ABCD中，若分别与 相邻的外角的比是1：2：3：4，则 度， 度， 度， 度 （3）在四边形的四个外角中，最多有_______个钝角，最多有_____个锐角，最多有____个直角. 一、 教学目标： 1. 让学生经历探索多边形外角和公式的过程，培养学生主动探究的习惯. 2. 能灵活的运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题. 二、 教材分析 本节的主要内容是多边形的外角定义和公式.多边形的外角和是三角形的一个重要性质，与前面的内角和公式综合运用能解决一些较难的问题.为提供三角形的外角提供了一种方法. 三、 教学重点、难点 1. 多边形的外角和公式及公式的探索过程. 2. 能灵活运用多边形的内角和与外角和公式解决有关问题. 四、 教学建议 关于外角和公式关键要让学生理解它是不随多边形边数的增加而增大，因此在教学中应设置由特殊到一般的题目，让学生亲身体会这个外角和是360°. 五、 教具、学具准备 投影仪、题板、画图工具 六、 教学过程 1.复习提问： （1） 多边形的内角和是多少？ （2） 正八边形的每一个内角为 度？ 2.创设问题情景，引入新课： 教师投放课本51页图9-35时，并出示以下问题： 小明沿一个五边形广场周围的小路，按顺时针方向跑步 （1） 小明从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们. （2） 观察∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的两边分别与它相邻的五边形的内角的边有何关系？ （3） 问题：你能计算小明跑完一圈，身体转过的角度和吗？如何计算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5呢？ 点拨： 请填写下题： 如图，oa‘∥ae，ob‘∥ab，oc‘∥bc，od‘∥cd，oe‘∥de，则∠α= ，∠β= ，∠γ= ，∠δ= ∠θ= . 因为∠α+∠β+∠γ+∠δ+∠θ= . 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= . 由此可得：五边形的外角和是360° （4） 你能借助内角和来推导五边形的外角和吗？ 点拨： 因五边形的每一个内角与它相邻的外角是邻补角， 所以五边形的内角和加外角和等于5180° 所以外角和等于5180°-（5-2）180°=360° （5） 你用第二种方法推导下列多边形的外角和 三角形的外角和 四边形的外角和 五边形的外角和 n边形的外角和是 . 得出结论：多边形的外角和都等于360°. 4.应用举例： 例 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 点拨： 设出未知数，根据相等关系： 内角和=3外角和列出方程 5.练习： 见学案练习一和练习二 6.达标检测 见学案达标检测 7.小结 本节课你学到了什么？有什么收获？ 8.作业 学生口答，并计算出度数 学生独立观察分析思考找出特征，试概括所得结论，从而引出多边形的外角定义及外角和定义及引入新课从而板书课题. 学生质疑思考，一时找不到方法，可按点拨的引导继续思考. 生充分思考，认真分析，小组讨论交流得出答案. 学生找关系，小组积极讨论、交流，小组汇报结果. 学生独立探究，很快得出答案. 学生独立解决 让学生先总结、交流谈体会 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课作为第七章第三节，起着承上启下的作用。在内容上，从三角形的内角和到多边形的内角和，再将内角和公式应用于平面镶嵌，环环相扣，层层递进，这样编排易于激发学生的学习兴趣，很适合学生的认知特点。通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要的思想方法。 2、教学重点和难点 重点：多边形的内角和与外角和 难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。 二、教学目标分析 1、知识与技能：掌握多边形的内角和与外角和，进一步了解转化的数学思想。 2、数学思考：能感受数学思考过程的条理性，发展能力推理和语言表达能力，并体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、解决问题：让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。 4、情感态度：让学生体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造。 三、教法和学法分析 本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，我确定如下教法和学法： 1、教学方法的设计 我采用了探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。 2、活动的开展 利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。 3、现代教育技术的应用 我利用课件辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性认识，增强直观效果，提高课堂效率。 四、教学过程分析 五、评价分析 1、注意评价内容的多元化 通过课堂中学生展示自己对所学内容的理解，交流对某一问题的看法，动手操作的表演，各种问题尝试解答等活动，使教师从学生思维活动、有关内容的理解和掌握，以及学生参与活动的程序等多层面地了解学生。 2、注重对学生学习过程的评价 在整个教学过程中，通过对学生参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识以及独立思考的习惯，发现问题的能力进行评价，并对学生中出现的独特的想法或结论给予鼓励性评价。 六、设计说明 1、指导思想 根据义务教育阶段数学课程的要求，结合教材的编写意图，在本节课设计时，我遵循以下原则：情境引入激发兴趣，学习过程体现自主，知识建构循序渐进，思想方法有机渗透。 2、关于教材处理 本教案设计时，我对教材作了如下改变：①将教材例1作为练习中的“想一想”，由学生自已尝试解答;②将例2中的求“六边形”的外角和，改为练习中的“算一算”，先让学生求“四边形”的外角和，再探索“五边形、六边形，以及n边形的外角和”。这样处理仍然是为了体现学生的自主探索，使学生学习变“被动”为“主动”。 ③作业采取分组竞赛的形式合作完成。这样，在情感上，本节课学生由好奇到疑惑，由解决单个问题的一点点快感，到解决整个问题串的极大兴奋，产生了强烈的学习激情。这时，一次有效的教学竞赛活动，使学生的学习激情得到释放，学科个性得以张扬，教师可稍加点拨，适可而止，把更多的思考空间留给学生。 以上是我对本节课的设计说明，不足之处，请各位指正，谢谢! 《多边形的内角和》公开课教案 北京市第五中学 曹自由 教学任务分析 教学目标 知识与技能 掌握多边形内角和公式及外角和定理,并能应用. 过程与方法 1.经历把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题的过程,体会转化思想在几何中的应用,同时体会从特殊到一般的认识问题的方法; 2.经历探索多边形内角和公式的过程,尝试从不同角度寻求解决问题的方法.训练学生的发散性思维,培养学生的创新精神. 情感态度价值观 通过猜想、推理等数学活动,感受数学充满着探索以及数学结论的确定性,提高学生学习数学的热情. 重点 多种方法探索多边形内角和公式 难点 多边形内角和公式的推导 教学流程安排 活动流程 活动内容和目的 活动1学生自主探索四边形内角和 活动2教师引导学生探索总结把四边形转化为三角形添加辅助线的基本方法 活动3探索n边形内角和公式 活动4师生共同研究递推法确定n边形内角和公式 活动5多边形内角和公式的应用 活动6小结 作业 从对三角形及特殊四边形(正方形、长方形)内角和的认识出发,使学生积极参加到探索四边形内角和的活动中. 加深对转化思想方法的理解, 训练发散思维、培养创新能力. 通过把多边形转化为三角形体会转化思想,感受从特殊到一般的数学思考方法. 学生提高动手实操能力、突破“添”的思维局限 综合运用新旧知识解决问题. 回顾本节内容,培养学生的归纳概括能力. 反思总结,巩固提高. 课前准备 教具 学具 补充材料 教师用三角尺 课件 剪刀 复印材料 三角形纸片 教学过程设计 问题与情景 师生行为 设计意图 [活动1、2] 问题1.三角形的内角和是多少? 与形状有关吗? 问题2.正方形、长方形的内角和是多少? 由此你能猜想任意凸四边形内角和吗? 动脑筋、想办法,说明你的猜想是正确的. 问题3添加辅助线的目的是什么,方法有没有什么规律呢? 学生回答: 三角形内角和是180°,与形状无关;正方形、长方形内角和是360°(4×90°),由此猜想任意凸四边形内角和是360°. 学生先独立探究,再小组交流讨论. 教师深入小组指导,倾听学生交流.对于通过测量、拼图说明的,可以引导学生利用添加辅助线的方法把四边形转化为三角形. 学生汇报结果. ①过一个顶点画对角线1条,得到2个三角 形,内角和为2×180°; ②画2条对角线,在四边形内部交于一点,得到4个三角形,内角和为4×180°-360°; ③若在四边形内部任取一点,如图,也可以得到相应的结论; ④这个点还可以取在边上(若与顶点重合,转化为第一种情况——连接对角线;否则如图4) 内角和为3×180°-180°; ⑤点还可以取在外部,如图5、6.由图5,内角和为3×180°-180°;由图6,内角和为2×180°; 教师重点关注:①学生能否借助辅助线把四边形分割成几个三角形;②能否借助辅助线找到不同的分割方法. 教师总结:利用辅助线把四边形的内角和转化为三角形的内角和,体现了化未知为已知的转化思想. .以上这些方法同样适用于探究任意凸多边形的内角和.为方便起见,下面我们可以选用最简单的方法——过一点画多边形的对角线,来探究五边形、六边形,甚至任意n边形的内角和. 通过回忆三角形的内角和,有助于后续问题的解决. 从四边形入手,有利于学生探求它与三角形的关系,从而有利于发现转化的思想方法. 通过动手操作寻找结论,让他们积极参加数学活动、主动思考、合作交流,体验解决问题策略的多样性. 通过寻求多种方法解决问题,训练学生发散思维能力、培养创新意识. [活动3] 问题4怎样求n边形的内角和?(n是大于等于3的整数) 学生归纳得出结论:从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,它们将n边形分割成(n-2)个三角形,(凸)n边形的内角和等于(n-2)×180°. 特点:内角和都是180°的整数倍. 通过归纳概括得出任意凸多边形的内角和与边数关系的表达式,体会数形之间的联系,感受从特殊到一般的数学推理过程和数学思想方法. [活动4] 每名同学发一张三角形纸片 问题5一张三角形纸片只剪一刀,能不能得到一个四边形,在这一过程中内角发 《多边形的内角和》公开课生了怎样的变化 问题6由四边形得到五边形呢? 依此类推能否猜想n边形内角和公式 将三角形去掉一个角可以得到四边形,如图7,四边形内角和为 180°+2×180°-180°=2×180°. 每个图形都是前一个图形剪去一个三角形,每次操作内角和增加180°,n边形是三角形经过(n-3)次操作得到的,所以n边形内角和公式为(n-2)×180° (严谨的证明应在学习数学归纳法后) 学生突破常规,学会逆向思维,变以往的“把多边形转化成三角形”为“把三角形转化成多边形”同样使问题得到解决 [活动5] 知道了凸多边形的内角和,它可以解决哪些问题呢? 问题6:六边形的外角和等于多少? n边形外角和是多少? 学生自己画图、思考.叙述理由:六边形的六个外角与六个内角构成6个平角,结合内角和公式,因此得到 6×180°-(6-2)×180°=360° 学生思考,回答. n边形中,每个顶点处的内角与一个外角组成一个平角,它们的和,即n边形内角和与外角和的和为n×180°,而内角和为(n-2)×180°,因此外角和为360°. 利用内角和求外角和,巩固了内角和公式. 如时间允许,此时还可补充利用“转角”求多边形外角和的方法,这样就变成了可以利用外角和来推导内角和,这又是一种逆向思维 练习 一个多边形各内角都相等,都等于150°,它的边数是 ,内角和是 . 练习.解:(n-2)180=150n,n=12; 或360÷(180-150)=12(利用外角和) 150°×12=1800°. 巩固内角和公式,外角和定理. [活动5] 小结 下面请同学们总结一下这节课你有哪些收获. 学生自己小结,老师再总结. 1. 多边形内角和公式(n-2)180°,外角和是360°; 2. 由特殊到一般的数学方法、转化思想. 学会总结,培养归纳概括能力. 作业: 课后思考题. 一同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为1125°,可能吗? 当他发现错了之后,重新检查,发现少算了一个内角,你能求出这个内角是多少度?他求的是几边形的内角和吗? 多边形内角和与不等式的综合应用题,一题多解,提高学生的综合应用能力. 作业: 解法1.设这是n边形,这个内角为x°,依题意:(n-2)180=1125+x x=(n-2)180-1125 ∵0<x<180 ∴0<(n-2)180-1125<180 解得:<n< ∵n是整数, ∴n=9. x=(9-2)180-1125=135 注:方程(n-2)180=1125+x中有两个未知数,解法1用n表示x,根据x的取值范围解不等式组求出了n;如果用x表示n,你能解出来吗? 解法2.设这是n边形,这个内角为x°,依题意:(n-2)180=1125+x ∵n是整数, ∴45+x是180的倍数. 又∵0<x<180 ∴45+x=180,x=135,n=9 还可以根据内角和的特点,先求出内角和. 解法3.设此多边形的内角和为x°,依题意:1125<x<1125+180 即:180×6+45<x<180×7+45 ∵x是多边形内角和的度数 ∴x是180的倍数 ∴x=180×7=1260 边数=7+2=9, 这个内角=1260°-1125°=135° 解法4(极值法).设这是n边形,这个内角为x°,则0<x<180,依题意:(n-2)180=1125+x 令x=0,得:n=,令x=180,得:n= ∴<n< 其余同解法1. 此作品为天津市人教版初中数学课标实验教材研讨会公开课教学设计多边形的内角和 篇14
多边形的内角和 篇15
多边形的内角和 篇16
多边形的内角和 篇17
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