曲线拟合最小二乘法的案例式教学探索

线拟合最小二乘法的案例式教学探索◎李珍珍　（郑州轻工业大学数学与信息科学学院，河南　郑州　４５０００２）

　　【摘要】曲线拟合最小二乘法是工程实践和统计研究中律，因此考虑寻找一个简单函数，使其曲线不必经过所有数常用的一种数据处理方法，本文为提升学生的学习效果采据点，但尽可能接近每个数据点，这类问题称为曲线拟合问用案例式教学法，首先给出一个教学案例，通过案例分析，题，这个简单函数称为拟合函数．

引出曲线拟合最小二乘法的一般原理，再给出练习题来加为了找到这个简单函数，将表１中的数据在坐标系中强学生对最小二乘法的理解．

标出来（见图１）．根据图１数据点的分布情况，考虑用直线【关键词】计算方法；曲线拟合；最小二乘法；案例教学拟合这组数据，即选｛１，ｔ｝作为基函数，求线性函数ｐ（ｔ）＝【基金项目】郑州轻工业大学第五批青年教师教学改革ａ＋ｂｔ，其中ａ，ｂ是待定参数．为使ｐ（ｔ）的图形尽可能接近每与研究项目

个数据点，我们令函数

∑５

（ｐ（ｔｉ）－ｃ（ｔｉ））２最小，即寻找ａ，ｂ使

ｉ＝０计算方法又称数值分析，是理工类本科和研究生的一门重要课程，主要为工程计算中出现的各类数学问题提供Ｉ（ａ，ｂ）＝

适合计算机处理的算法，并进行误差分析．该课程的特点是达到最小值．由取极值的必要条件

∑５

ｉ＝０

（ａ＋ｂｔ

ｉ

－ｃ（ｔｉ））２（１）

需要扎实的基础知识；内容多，理论性强；实践应用性强［１］．

ìï在传统的讲授型教学过程中我们发现学生学习兴趣不大，ï∂∂ａＩ＝

∑５

ｉ＝０２（ａ＋ｂｔ

ｉ

－ｃ（ｔｉí））＝０，学习效率不高，学习效果不佳，因此需要探索更加有效的教ïï５

ｉ

－ｃ（ｔｉ学方法．案例式教学模式是基于教学目标的要求，依托案例，î

∂∂Ｉｂ＝））ｔｉ＝０，

（２）

ｉ＝０

ａ＋ｂｔ

由教师引导学生学习、研究以及提升能力的教学方法［２］．本整理，得

∑２（文以曲线拟合的最小二乘法为例，进行案例式教学探索，旨ìï５

５

５

在激发学生的学习兴趣，提升教学效果．

ï

ａí∑ｉ＝０１＋ｂ∑ｉ＝０ｔｉ＝∑ｉ＝０ｃ（ｔｉ），ï一、提出案例

ïａ在教学中教师首先提出给药案例：假设向患者静脉注将表１中数据代入∑５

ｔ５５

（３）

îｉ＝０

ｉ＋ｂ（３）∑ｉ＝０ｔ２ｉ＝式，解得∑ｉ＝０

ｃ（ｔｉ）ｔｉ．ａ＝７１．１９，ｂ＝－１０．１８８６，射某种药物３００ｍｇ剂量，在ｔｉ预测４．５３３５ｈ后血药浓度下降到２５μｇ／ｍＬ，拟合结果见ｍＬ如表１（一组虚拟数据）所示ｈ，后测得血药浓度ｉ＝０，１，２，３，４，５．

ｃ（ｔｉ）μｇ／图１．

表１　血药浓度的测定数据

ｔｉ／ｈｃ（ｔ１１．５２２．５３４ｉ（μｇ／ｍＬ））／

６０．８

５６．０

５２．１

４５

３９．５

３１．１

为保证药物的疗效，血药浓度应保持在最小有效浓度２５２５μｇμｇ／／ｍＬｍＬ？

以上．请预测：当给药多久后，血药浓度会下降到二、案例分析

表１中的血药浓度ｃ（ｔｉ）是通过测量得到的，其本身具有一定的测量误差，如果用这组数据通过插值法得到插值多项式，那么该插值多项式保留了这些误差，不符合原有规

图１　线性拟合结果

数学学习与研究　２０２１􀆰８

.com.cn. All Rights Reserved.　　三、曲线拟合的最小二乘法

将上述用直线拟合的思路拓宽，我们也可以选曲线拟合，最简单的是拟合函数采用ｎ次多项式，比如多取一个基函数ｔ２，则拟合函数为ｐ＝ａ＋ｂｔ＋ｃｔ２．

　　ＧＡＯＪＩＡＯＳＨＩＹＥ四、练习题

　　　　　高教视野　２１库的流量Ｑ（ｔｉ）（１０２ｍ３／ｓ）如表２，试用最小二乘法拟合表中数据．

表２　流入水库的流量

ｔｉ／ｈ（１０２ｍ３／ｓ）Ｑ（ｔｉ）／

６３２

１２５４

１８７６

２４８２

３０８０

３６７０

４２４８

４８３５

某县水库上游河段降暴雨，根据测算在ｔｉｈ上游流入水

更一般地，若只知函数ｙ＝ｆ（ｘ）在离散点ｘ０＜ｘ１＜…＜ｘｍ

处的值，求函数ｓ（ｘ），使其曲线尽可能接近所给数据点｛（ｘｉ，ｆ（ｘｉ）），ｉ＝０，１，…，ｍ｝．我们首先将数据点在坐标系中标出，通过观察数据点的分布情况，确定ｎ＋１个线性无关基函数｛φｋ（ｘ）｝ｎｋ＝０（ｎ＜ｍ），则ｓ（ｘ）＝ａ０φ０（ｘ）＋ａ１φ１（ｘ）＋…＋ａｎφｎ（ｘ）．接下来如何求待定系数ａ０，ａ１，…，ａｎ？为使ｓ（ｘ）误差平方和最小，即求ａ０，ａ１，…，ａｎ使多元函数

Ｉ（ａ０，ａ１，…，ａｎ）＝

＝

尽可能接近每个数据点，我们令ｓ（ｘ）与ｆ（ｘ）在各离散点的

观察数据点的分布，考虑用二次多项式进行拟合，即选１，ｔ，ｔ２作为基函数，则拟合函数是ｐ＝ａ＋ｂｔ＋ｃｔ２，用最小二乘法建立法方程解得ａ＝０．７３２１４２９，ｂ＝５．９８７１０３２，ｃ＝－０．１１１９３７８，拟合结果见图２．

∑（ｓ（ｘ）

ｍｉ＝０ｍ

ｉｎ

ｉ＝０

ｊ＝０

ｊ

－ｆ（ｘｉ））２

ｊ

ｉ

达到极小值，这就是线性最小二乘法问题．

根据求极值的必要条件

ｎ

ｍ

∑(∑ａφ（ｘ）－ｆ（ｘｉ）)

２

（４）

.com.cn. All Rights Reserved.１，…ｎ）．

∂Ｉ

＝０（ｋ＝０，１，…ｎ）整理可得∂ａｋ

ｊ

∑（∑φ（ｘ）φ（ｘ））ａ

ｊ＝０

ｉ＝０

ｊ

ｉ

ｋ

ｉ

ｍｉ＝０

＝

∑ｆ（ｘ）φ（ｘ）（ｋ

ｍｉ＝０

ｉ

ｋ

ｉｍｉ＝０

＝０，（５）

图２　曲线拟合结果

令（φｊ，φｋ）＝∑φｊ（ｘｉ）φｋ（ｘｉ），（ｆ，φｋ）＝∑ｆ（ｘｉ）φｋ（ｘｉ），则（５）式可写为

五、结束语

ｊ

∑（φ，φ）ａ

ｎｊ＝０

ｊ

ｋ

＝（ｆ，φｋ）（ｋ＝０，１，…ｎ）．

…

（φ０，φｎ）öæａ０ö

（６）

与传统的理论讲授相比，课堂上首先提出教学案例，更能引起学生的学习兴趣，案例分析能充分调动学生的学习积极性，接下来能让学生更好地理解曲线拟合的最小二乘法，另外，增加课堂练习题可以提高学生分析问题、解决问题的能力．

（６）式称为法方程（组），将其写成矩阵形式

æ（φ０，φ０）（φ０，φ１）ç

ç（φ１，φ０）（φ１，φ１）ç

︙ç︙

ç

è（φｎ，φ０）（φｎ，φ１）æ（ｆ，φ０）ö

÷ç÷ç÷

…（φ１，φｎ）÷çａ１÷ç（ｆ，φ１）÷

÷ç÷＝ç÷．

︙︙÷ç︙÷ç︙÷

÷ç÷ç÷

…（φｎ，φｎ）øèａｎøè（ｆ，φｎ）ø

（７）

【参考文献】

［１］江志超，邓凤茹，毕晓华，等．案例教学法在研究生数值分析课程教学中的应用研究［Ｊ］．北华航天工业学院学报，２０１７（０６）．

［２］钱旭．“计算方法”课程“案例－任务驱动”的立体化教学模式探索［Ｊ］．新课程研究，２０１７（０６）：１０５－１０７．

［３］同济大学计算数学教研室．现代数值计算（第２版）［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１４．

求解上述线性方程组可得系数ａ０，ａ１，…，ａｎ的值．

另外，有时根据数据点的分布，选择的拟合函数是关于待定参数的非线性函数，比如ｓ（ｘ）＝ａｅｂｘ，按照使ｓ（ｘ）与ｆ（ｘ）在各离散点处误差平方和最小的原则，用极值原理建立的法方程组是关于待定参数的非线性方程组，这类数据拟合问题称为非线性最小二乘问题［３］．

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