北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末练习数学(理)试题

数学（理科）2015.1

学校班级姓名成绩

本试卷共100分.考试时间90分钟.

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线xy2的倾斜角是（）

ππ2π3π B. C. D. 64341x2y2x2. 焦点在轴上的椭圆1的离心率是，则实数m的值是（）

2m393 A. 4 B. C. 1 D.

44A.

3. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A. 8 B.

2主(正)视图2左(侧)视图816 C. D. 6 332俯视图4. 已知圆O:x2y21，直线l:3x4y30，则直线l被圆O所截的弦长为（） A.

68 B. 1 C. D.2 555. 已知向量a(1,1,0,),b(0,1,1),c(1,0,1),d(1,0,1)，则其中共面的三个向量是（） A.a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D.b,c,d

6. 已知等差数列{an}，则“a2a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

7. 已知正四面体ABCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（） A. FBC，EFAD B. FBC，EFAC C. FBC，EF3 D. FBC，EF∥AC

8. 已知曲线W：x2y2|y|1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（） A. [,1] B.[22,1] C.[22,2] D.[1,2]

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

129. 已知直线xay10与直线yax平行，则实数a___.

x2y210.双曲线1的渐近线方程为_________________.

169π11.已知空间向量a(0,1,1),b(x,0,1)，若a,b的夹角为，则实数x的值为__.

3x2y212.已知椭圆C：221(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，若等边△F1F2P的一个顶

ab点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为______.

13. 已知点A(,0)，抛物线y22x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|2|PF|，

则|OP|___.

14. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，为其六个面中的一个. 点P且P不在棱上，若P到异面直线

12AA1,CD的距离相等，则点P的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号）

①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分

三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题共10分）

22已知点A(0,2)，圆O:xy1.

( I ) 求经过点A与圆O相切的直线方程；

( II ) 若点P是圆O上的动点，求OPAP的取值范围.

16. （本小题共12分）

2已知抛物线W：y4x的焦点为F，直线y2x+t与抛物线W相交于A,B两点.

( I ) 将|AB|表示为t的函数； ( II )若|AB|35，求△AFB的周长.

17.（本小题共12分）

在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0),B(2,2,0),D0,0,2,E(0,2,1). ( I ) 求证：直线BE∥平面ADO；

( II ) 求直线OB和平面ABD所成的角；

(Ⅲ) 在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

18.（本小题共10分）

x2ykx(k0)如图，已知直线与椭圆C:且与椭圆y21交于P,Q两点.过点P的直线PA与PQ垂直，

2C的另一个交点为A.

( I ) 求直线PA与AQ的斜率之积；

y P ( II ) 若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直. A x O B Q

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学（理科）

参考答案及评分标准

一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.

2015.1

题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 B 6 C 7 A 8 A 二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.

9. 1或1 10.y12.

33x或yx 11.1或1 4451 13. 14. ④

22说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）

解:（I）由题意，所求直线的斜率存在.

设切线方程为ykx2,即kxy20，-------------1分 所以圆心O到直线的距离为d2k12，-------------3分

所以d2k121，解得k3, -------------4分

所求直线方程为y3x2或y3x2. -------------5分 （II）设点P(x,y)，

所以 OP(x,y)，AP(x,y2)，-------------6分 所以 OPAPx2y22y.-------------7分

因为点P在圆上，所以x2y2=1，所以OPAP12y. -------------8分 又因为x2y2=1，所以1y1, -------------9分 所以OPAP[1,3]. -------------10分 16．（本小题满分12分） 解:（I）设点A(x1,y1),B(x2,y2),

y24x（4t4)xt20-------------2分 因为, 消元化简得4x2y2xt16t232t1616t21632t044t所以x1+x21t-------------4分

42txx124所以|AB|=122|x1x2|（II）因为|AB|35，

所以5(12t)35，解得t4

经检验，此时1632t0. -------------8分 所以x1x21t5， 所以有|AF||BF|(x1又|AB|35,

所以△AFB的周长为7+35. -------------12分

17.（本小题满分12分） 解: （I）法一：取点C(0,2,0)

则CB(2,0,0),OA(2,0,0),所以CBOA,所以OA∥CB-------------1分

5116(12t)5(12t)，其中t. -------------6分 42pp)(x2)x1x2p527. -------------10分 221（0,2,0）,CE（0,1,0）又OD,所以CEOD,所以OD∥CE-------------2分

2又OAODD,CECBC

所以平面OAD∥CBE-------------3分 所以BE∥平面ADO-------------4分 法二:

由题意，点A,D,O所在的平面就是 xOz平面， 取其法向量为n(0,1,0)，-------------1分

而BE(2,0,1),所以BEn0，即BEn，-------------3分 又显然点B,E不在平面ADO上，

所以BE∥平面ADO. -------------4分 （II）设平面ABD的法向量为m(a,b,c), 因为AB(0,2,0),AD(2,0,2),

ABm2b0所以, 所以可取m(1,0,1). -------------6分

ADm2a2c0又OB(2,2,0),

设OB与平面ABD所成的角为. 所以sin|cosOB,m||OBm||OB||m|21. -------------8分

2222所以直线OB和平面ABD所成的角为

. -------------9分 6

(Ⅲ)假设存在点P(x,y,z)，使得直线AP与直线BD垂直.

设BPBE, 即(x2,y2,z)(2,0,) . -------------10分

x22所以y2,

z所以AP(2,2,). 又BD(2,2,2),

所以APBD4420，-------------11分

2，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直， 322（,2,). -------------12分 点P的坐标为

33解得18．（本小题满分10分）

解:（I）法一：设点P(x1,y1),A(x2,y2)，

x22y220因为, 所以(2k21)x22

ykx所以x222k21，所以P,Q的横坐标互为相反数，

所以可设Q(x1,y1). -------------1分

因为直线PQ的斜率为k，且k0， 而kPAy2y1y(y1)y2y1，kAQ2, -------------2分 x2x1x2(x1)x2x1y2y1y2y1y22y12 x2x1x2x1x22x12所以 kPAkAQx12x222因为点P,A都在椭圆上，所以 y11,y221,-------------3分

22所以 ky2(1x22)(1x21)2y21PAkAQ22x2x2x2 21x2211(x2221x2)x2x2 2112-------------5分

法二：设点P(x1,y1),A(x2,y2)，

x22y2因为20, 所以(2k2kx1)x22

y所以x222k21，所以P,Q的横坐标互为相反数，

所以可设Q(x1,y1). -------------1分 因为直线PQ的斜率为k，且k0,所以直线PA的斜率存在, 设直线PA的方程为yk1xm.

所以x22y220m，消元得到(12k22yk1)x4k1mx2m220. 1x4(4k22m212)0所以x4k1m1x212k2-------------3分 12xm221x212k21又y1y2(k1x1m)(k1x2m)2m12k2. 1所以ky2(y1)y2AQxxy11, 2(1)x2x12k1-------------2分

-------------4分 所以kPAkAQ11k1. -------------5分 2k12y2y11，而直线PQ,PA垂直， x2x12k1（II）因为kAQ1k，所以kAQ， -------------6分 k2k所以直线AQ的方程为y(y1)[x(x1)]. -------------7分

所以k12令y0，得yk12(xx1)， 因为点P(x1,y1)在直线ykx上，所以y1kx1， 代入得到B的横坐标为x0x1，所以直线PB与x轴垂直. 说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.

-------------8分

-------------9分 -------------10分