直线的交点、距离
一、学习目标
1．掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对应关系，并且会通过直线方程的系数判定解的情况．
2．当两条直线相交时，会求交点坐标．
3．掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，能灵活运用此公式解决一些简单问题．
4．体会坐标法对于解平面几何问题的重要性
二、课前导学
1．求两直线的交点坐标的方法：解方程组，以方程组的解为______坐标的点就是交点．
2．两点间的距离公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|＝
________________. | x2－x12＋y2－y12 |
练习1.直线l1：x＝－1，l2：x＝2的位置关系为：______.平行
练习2.(1)两点A(0，－4)与B(0，－1)间的距离为：______.3
(2)已知两点A(2,5)，B(3,7)，则|AB|的值为______．5
(3)P(x，y)到原点O(0,0)的距离d＝__________.x2＋y2
3、如何利用方程判断两直线的位置关系？
解析：只要将两条直线l1和l2的方程联立，得方程组(1)若方程组无解，则l1∥l2；
(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；
(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．
三、合作探究
题型一 求两直线的交点
例1、直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．
解析：⇒⇒⇒⇒ | 5x⇒4y⇒2m⇒1⇒0⇒ 2x⇒3y⇒m⇒0⇒ | ⇒ | x⇒2m⇒3 7 ⇒ y⇒m⇒2 7 . | |||
∴⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ | 2m⇒3 7 ⇒m⇒2 7 | . | ||||
∵⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ | ||||||
2m⇒3 7 >0⇒ ∴m⇒2 7 <0 | ⇒⇒3 2<m<2. | |||||
⇒⇒⇒ | m ⇒⇒⇒⇒⇒⇒ | ⇒3 2⇒2 . | ||||
点评：求两条直线的交点坐标就是解联立两直线方程所得方程组的解，方程组解的个数也可 | ||||||
判定两条直线的位置关系：当方程组仅有一组解时，两直线只有一个交点，故相交；当方程
1
组有无数组解时，两直线有无数个公共点，故重合；当方程组无解时，两直线没有公共点，故平行．
题型二、直线过定点问题
例2、求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点证明：法一：取m＝1，直线为y＝－4；
1
再取m＝2 ，直线为x＝9.
两直线的交点为P(9，－4)．
将点P的坐标代入原方程左端得(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5.故不论m为何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即此直线过定点(9，－4)．
法二：把原方程整理得(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
x⇒2y⇒1⇒0⇒
此方程对任意实数m 都成立，则必有x⇒y⇒5⇒0.
∴无论m 取何实数时，此直线恒过定点(9，－4)．
x⇒9⇒
y⇒⇒4.
,解得
点评：法二的解法即方程ax＋b＝0 对x∈R 恒成立时成立的条件：a＝b＝0.
题型三、两点间的距离公式及解法
例3、已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0),求证：△ABC 为等腰三角形
证明：∵|AB|⇒ 4⇒22⇒3⇒12⇒2 2 |AC|⇒ 0⇒22⇒5⇒12⇒2 5
|BC|⇒ 5⇒32⇒0⇒42⇒2 5
∴|AC|⇒|BC|
⇒∵A⇒B⇒C ⇒⇒⇒⇒⇒
∴△ABC ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
题型四、对称问题
例4、一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25 反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．
解析：设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a，b)，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l上得
a·⇒4 3⇒⇒1 8×a 2⇒6×b 2⇒25 | ⇒⇒⇒ | a⇒4 b⇒3⇒ |
∴A 的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，
2
∴A⇒⇒⇒⇒(4,3)⇒
∵⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ | A(4,3)⇒ | |
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ | P(⇒4,3)⇒ | |
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ | y⇒3. | ⇒ | ||
⇒⇒⇒⇒ | y⇒3 8x⇒6y⇒25⇒⇒⇒ | x⇒7 8 y⇒3 | ||
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ | y⇒3(x≤7 8)⇒ |
点评：光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组
y⇒y0x⇒x0·⇒A B⇒⇒1AB≠0 | ⇒⇒⇒ |
(2)常用对称的特例有：
①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；
②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；
③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b).
四、课堂检测
1．直线3x＋5y＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0的交点是( )
A．(－2,1) B．(－3,2)
C．(2，－1) D．(3，－2)
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为( )
1
A．－2 B．－2 C．2 D.
解析：易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点为(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－ .
答案：B
3．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是( ) A．(2,3) B．(－2,3)
C. | | 1，－1 2 D．(－2,0) |
解析：将直线化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，故直线过定点(－2,3)．
3
答案：B
4．已知点A(a,0)，B(b,0)，则A，B两点间的距离为( ) A．a－b B．b－a
C. | a2＋b2 | D．|a－b| |
5．以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的三角形是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：|AB|＝|AC|＝ 17 ，|BC|＝ 18五、课堂小结
1．关于两条直线相交的判定：
，故△ABC为等腰三角形．
(1)两直线组成的方程组有惟一解，则两直线相交．
(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．注意两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交．
2．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式适用于坐标系中的任意两点．
3．对于特殊情况，可结合图形求解．
(1)P1P2 平行于x 轴时，y1＝y2，|P1P2|＝|x2－x1|；
(2)P1P2 平行于y 轴时，x1＝x2，|P1P2|＝|y2－y1|；
(3)P1，P2 在直线y＝kx＋b 上时，
|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12
＝x2－x12＋kx2－kx12＝1＋k2·|x2－x1|.
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