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广东省汕头市高中数学 第二章 推理与证明教案 新人教A版选修1-2

2021-02-16 来源：飒榕旅游知识分享网



推理与证明

考纲导读

（一）合情推理与演绎推理
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。

2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

（二）直接证明与间接证明
1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

知识网络

归纳

合情推理

推

推

演绎推理

类比

理

证

直接证明

数学归纳法

理

与

证

综合法

明

间接证明

分析法

明

反证法


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1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。

2．推理与证明与数列、几何等有关内容综合在一起的综合试题多。

2.1合情推理与演绎推理
【考点要求】1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

【基础知识】
1.推理一般包括合情推理和演绎推理；

1



2.合情推理包括 和 ；
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.。归纳推理的基本模式：a,b,cM且a,b,c具有某属性，结论：dM,d也具有某属性。

类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简称类比。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。类比推理的基本模式：A:

具有某属性a,b,c,d；B 具有某属性

a '

,

b

' ,

c

'

；结论：B 具有属性

d 。'

（a,b,c,d 与

a '

,

b

' ,

c

'

，

d 相似'

或相同）
3.演绎推理：：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

（1）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
第一段：大前提——已知的一般原理；
第二段：小前提——所研究的特殊情况；
第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.

（2）三段论常用格式为：①M是P，②S是M，③S是P；其中①是 ，它提供了一个个一般性原理；②是 ，它指出了一个个特殊对象；③是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。

4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程．

【基础训练】
1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往 下排，那么第36个圆的颜色应是 .

答案 白色
2.数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是 .答案 an=2n-13.已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a33为 .

答案 3
4.下面使用类比推理恰当的是 .

2



①“若a·3=b·3,则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”

②“(a+b)c=ac+bc”类推出“

a

b

= c a + c b ”


c


③“(a+b）c=ac+bc”类推出“

a

b

=

a +

b (c≠0)”


c



c c

④“（ab）n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”
答案 ③
5.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .

答案 一切奇数都不能被2 整除，

大前提

2100+1 是奇数，

小前提

所以2100+1 不能被2 整除.

结论

6.由10 7 ＞8 5 , 11 9 ＞10 8 , 25 13 ＞21 9 ,…若a＞b＞0,m＞0，则

b

m

与a b 之间的大小关系为 .

a

m

答案

b

m

b
＞a

a

m

7.已知f(x)=x2 008+ax2 007-

x

b

-8,f(-1)=10,则f(1)= .答案 -24

2

009

8.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比EB AE = BC AC ，把这个结论类比到空间：

在三棱锥A—BCD 中（如图所示），而DEC 平分二面角A—CD—B 且与AB 相交于E，则得到的类比

的结论是 . 答案 EB AE =

S

ACD

S

BCD


例1. 已知：典型例题

sin

2

30

sin

2

90

sin

2

150

3

；

sin

2

5

sin

2

65

sin

2

125

3























2























2

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：

________________________________________= 2 3 （ * ）并给出（ * ）式的证明.

解：一般形式:

sin

2

sin

2

(

60

)

sin

2

(

120

)

3






2

证明：左边 =

1

cos

2

1

cos(

2

120

)

1

cos(

2

240

)

2


2




2



=

3

1

[cos

2

cos(

2

120

)

cos(

2

240

)]


2


2


3



=

3

1

[cos

2

cos

2cos

120

sin

2sin

120

cos

2

cos

240

sin

2sin

240

]



2

2




=

3

1

[cos

2

1

cos

2

3

sin

2

1

cos

2

3

sin

2]

=

3

右边

2

2

2

2

2

2

2



（将一般形式写成

sin ( 2

60 ) o

sin

2

sin ( 2

60 ) o

3

,


2



sin ( 2

240 )

sin ( 2

120 )

sin

2

3

等均正确。）


2

' ( )

，n∈N，则

变式训练1：设

f

0

(

x

)

cos

x

,

f

1

(

x

)

f

0

'
(

x

)

，

f

2

( )

f 1 '

( ),

L

,

f

n

1( )

f

n

f

2008x

)

解：

cos

x

，由归纳推理可知其周期是4

例2.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，

按图所标边长，由勾股定理有：

c

2

a

2

b

2

.

设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥

O—LMN，如果用

s 1

,

s

2

,

s

3

表示三个侧面面积，

s 表示截面面积，那么你类比得到的结论4

是 .

解：

S

2

S

2

S

2

S

2

。

1

2

3

4


变式训练2：在△ABC 中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC 的外接圆的半径

r

a

2

b

2

，把上面

2

的结论推广到空间，写出相类似的结论。

答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。

取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，

则此三棱锥的外接球的半径是

r

a

2

b

2

c

2

。

2

4



例3. 请你把不等式“若

a ,a


是正实数，则有

a 1 2

a

2 2

a

a


”推广到一般情形，并证明你的


1

2


a

2


a 1


1



2


结论。

答案： 推广的结论：若

a 1

,

a

2

,

,

a

n

都是正数，

a 1




a 1 2

a

2
2

a

2
n

a

2 n

a 1

a

2

a

n

a

2

a

3

a

n

1

a 1

2a


证明： ∵

a 1

,

a

2

,

,

a

n

都是正数 ∴

a 1 2

a

2

2a 1

，

a

2 2

a

2

a 1



2

………，

a

2

a

n

2

a

n

1

，

a

2 n

a 1

2

a

n

n

1

a

n

a 1


，…，则可归纳出式子为（ ）

a 1 2

a

2 2

a

2
n

a

2
n

a 1

a

2

a

n

a

2

a

3

a

n

1

a 1

7

变式训练3：观察式子：

1

1

3

, 1

1

1

5

, 1

1

1

1

2

2

2

2

2

3 2

3

2

2

3 2

4

2

4

A、

1

1

1

1

2

1

1

B、

1

1

1

1

2

1

1

2

2

3 2

n

2

n

2

2

3 2

n

2

n


C、

1

1

1

1

2

n

1

D、

1

1

1

1

2

2

n


2

2

3 2

n

2

n

2

2

3 2

n

2

n

1


答案：C。解析：用n=2代入选项判断。

例4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是

因为 （ ）

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。

变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。

答案：菱形对角线互相垂直且平分
1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”；②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”；③

“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“（a·b）·c=a·（b·c）”；④“t≠0,mt=xtm=x”类比得到“p

≠0,a·p=x·pa=x”;⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”；⑥“ bc ac = b a ”类

5



比得到“

a

= a ”.


b

b

以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 .

答案 2
2.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.

①A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆②由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

③由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆

x

2

y

2

=1 的面积S=ab


a

2


b

2


④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
答案 ②

3.已

知

整

数

的

数

对

列

如

下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60 个数对是 .答案 (5,7)
2.2直接证明与间接证明
【考点要求】1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

【基础知识】
1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；
直接证明的两种基本方法——分析法和综合法
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所

要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。 框图表示：（其中P表示条件，Q表示要证的结论）。

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫分析法。框

图表示：。

分析法的思维特点是：执果索因；
分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。

6



2.间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法。 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫反证法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

【基础训练】
1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 条件.

答案 充分

2.若a＞b＞0,则a+b 1 b+a 1.(用“＞”,“＜”,“=”填空)

答案 ＞

3.要证明 3+ 7＜2 5，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 （填序号）.

①反证法 ②分析法 ③综合法
答案 ②
4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至 少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 .

①假设a、b、c都是偶数
②假设a、b、c都不是偶数
③假设a、b、c至多有一个偶数
④假设a、b、c至多有两个偶数
答案 ②
5.设a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR＞0”是“P、Q、R同时大于零”的 条件.

答案 充要
6.已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，

7



cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设答案 三个方程中都没有两个相异实根

典型例题


例1．若


,

b ,

c

均为实数，且

a

x

2

2

y


,

b

y

2

2

z


,

c

z

2

2

x

。

a

,

c


a

x





2









3









6


求证：

a

,

b ,

c

中至少有一个大于0。

答案：（用反证法）

假设

a

,

b ,

c

都不大于0，即

a

0 ,

b

0 ,

c

0

，则有

a

b

c

0

，

(

y

1 )

2

(

z

1

2

(

2


)

6

3

=



而

a

b

c

(

x

2

2

y


)

2

(

y

2

2

z


)

3

(

z

2

2

x


)

6

(

x

1 )

2


















3



b ,

c

(

x

1 )

2

(

y

1 )

2

(

z

1 )

2

3

a

b

c

0

，这与假设

a

b

c

0

矛盾，故

a

,

∴

(

x

1 )

2

,

(

y

1 )

2

,

(

z

1 )

2

均大于或等于0，

3

0

，∴

中至少有一个大于0。

变式训练1：用反证法证明命题“

a

,

N

,

ab

可以被5 整除，那么

a, 中至少有一个能被5 整除。”那

么假设的内容是
答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。

例2.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，

求证：

a

1

b

b

1

c

a

3

c

。





，即需证


b

c










b

3



a

a

b

c

3

。

答案：证明：要证

a

1

b

b

1

c

a

b

c


a

b



b

c





即证


c

b

b

a

c

1

。

a

c

)

，需证

c

2

a

2

ac

b

2










又需证

c

( b

c

)

a

(

a

b

)

(

a

b

)( b

∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。

由余弦定理，有

b

2

c

2

a

2

2 ca

cos

60

，即

b

2

c

2

a

2

ac

。

2

。

∴

c

2

a

2

ac

b

2

成立，命题得证。

1

2

a

1

变式训练2：用分析法证明：若a>0，则

a

2


a

2





a




答案：证明：要证

a

2

1

2


a


1



，

2











a

2



a













只需证

a

2

1

2

a

1

2

。

a

2

a

8



∵a>0，∴两边均大于零，因此只需证

(

a

2

1

2 )

2

(

a

1

2

)

2




．

1









a

2

a

只需证

a

2

1

4

4

a

2

1

a

2

1

2

2

2(

a

1

)

，

a

2


a

2

a

2

a












只需证

a

2

1

2

(

a

1

)

，只需证

a

2

1

1

(

a

2

1

2 )

，

a

2

2

a

a

2

2

a

2












即证

a

2

1

2

，它显然成立。∴原不等式成立。

a

2

n

N

)








．

例3．已知数列n

，

a

n

0

，

a 1

0

，

a

n

1

2

a

n

1

1

a

n

2

(

记

S

n

a 1

a

2

a

n

．

T n

1

1

( 1

a 1

1

a

2

)


a 1

)( 1

( 1

a 1

)( 1

a

2

)

( 1

a

n

)


求证：当

n

N

时，

（1）

a

n

a

n

1

；

（2）

Sn

n

2

；

（3）

T n

3

。

解：（1）证明：用数学归纳法证明．

①当

n

1

时，因为

a 是方程2

x

2

x



0

的正根，所以

a 1

a 2

．

②假设当

n

k k

N

*

)

时，

a k

a1

，

n≥

2

），

因为

a k

2

a k 2

(

a k

2

2

a k

2

1)

(

a k

2

a k

1

1)

1

1

(

a k

2

a k

1

)(

a k

2

a k

1

1)

，

所以

a k

1

a k

2

．

即当

n

k

时，

a n

a1

也成立．

根据①和②，可知

a n

a1

对任何

nN 都成立．

（2）证明：由

a k

2

a k

1



a k

2

，

k

1 2，，，n

1

（

1

得

a n 2

(

a 2

a 3

a n

)

(

n

1)

a 1 2

．

因为

a1

0

，所以

S

n

n



a n 2

．

由

a n

a1

及

a n

1



a n 2

2

a n

2

得

a，n

1

9



所以

S

n

n

2

．









（3）证明：由

a k

2

a k

1



a k

2

≥

2

a k

，得

1

1


1

1

≤

a k

1

(

k

2 3，，，n

1

，≥

3)

a k

2

a k









所以

(1

a 3

)(1

1

)

(1

a n

)

≤

2

a n

a 2

(

a

≥

3)

，

a 4

n

2



1 (

n

≥

3)

，

于是

(1

a 2

)(1

1

)

(1

a n

)

≤

2

n

2

(

a n

a 2

)

a n

a 3

a 2 2

2

n

2


2

n

2










故当

n≥

3

时，

T n



1

2

1

2

3

，

2

n

















又因为

T 1

T 2

T 3

，所以

Tn

3

．

10

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