Lipschitz函数的广义导数

2020-11-08 来源：飒榕旅游知识分享网

第28卷第6期渊下冤

赤峰学院学报渊自然科学版冤Vol.28No.6

2012年6月JournalofChifengUniversity渊NaturalScienceEdition冤Jun.2012

Lipschitz函数的广义导数

殷

羽

渊重庆工商大学

派斯学院袁重庆401520冤

摘

要院为了方便研究定义在Banach空间上的Lipschitz函数的性质袁必须把有限维空间中导数的概念推广到无限维空

间中来.本文通过推广欧氏空间中方向导数和全微分的概念袁从而得到了Lipschitz函数的两种常见的广义导数-G－导数和F－导数袁并用分析证明的方法分别研究了这两种导数的基本性质以及它们之间的联系.这些内容是进一步研究Lipschitz函数性质的强有力工具.

关键词院Lipschitz函数曰G－微分曰F－微分曰高阶导数中图分类号院O221.2文献标识码院A

文章编号院1673-260X渊2012冤06-0010-03

1引言及预备知识设X是赋范线性空间袁对任何x袁y∈X袁若令d(x,y)1.1

引言

=||x-y||袁则d是X上的距离函数.因此袁我们自然地把X看数学分析中引进导数的概念袁为研究函数的性质提供成是度量空间.

了极大的方便.Lipschitz函数是非线性分析中一类非常重要定义3完备的赋范线性空间称为Banach空间.的非光滑函数袁弄清楚Lipschitz函数的性质具有非常重要特别地袁实数空间R可以看作特殊的Banach空间袁其的意义.为此袁考虑能否通过Lipschitz函数的导数的性质来中的范数就是实数的绝对值.

研究Lipschitz函数本身的性质.注意到Lipschitz函数是定义1.2.2

有界线性算子在Banach空间中的一个泛函袁数学分析中建立在有限维欧定义4

设X袁Y是数域F上的赋范线性空间袁T:X→Y

氏空间Rn上的导数概念对其已不再适用.因此袁为了进一步是线性映射袁即

研究Lipschitz函数的性质袁就需要把数学分析中的导数概T(琢x+茁y)=琢Tx+茁Ty袁坌琢,茁∈F,x,y∈X.

念推广到Banach空间中来袁从而定义Lipschitz函数的广义如果存在常数M>0袁使得对任何x∈X袁有||Tx||≤M||x||袁导数.本文主要介绍Lipschitz函数的两种最常见的微分.一则称T是有界线性算子.特别袁当Y＝F时袁则称T是X上的种是Gateaux意义下的弱微分袁另一种是Frechet意义下的有界线性泛函.

强微分.这两种微分分别是数学分析中的方向导数和全微分从X到Y中的所有有界线性算子构成的全体袁记为L在无限维空间上的推广.1.2预备知识渊X袁Y特冤曰别X地上袁的将所实有有数空界间线性R看作泛函实构成数域的全R体上袁的记赋为范X*.

线性空

1.2.1

Banach空间间渊其中的范数就是实数的绝对值冤袁则R上的所有有界线定义1

设{xn}是度量空间X中的点列袁如果对任何

性函数构成的全体记为R*.着>0袁存1.2.3

线性算子的范数当在正数n,m>NN时袁使袁有得d(xn,xm)<着袁则称{xn}是X中的Cauchy

定义5

T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线

列.

性算子袁称||T||=sup||Tx||为算子T在X上的范数.

如果度量空间X中的每个Cauchy列都在X中有极限xx≠∈0X

||x||则称X是完备的.

特别地袁实数空间R到实数空间R上的线性函数f的定义2

设X是数域F上的线性空间袁如果X上的实

范数定义为|f|=sup|f(x)|值函数||窑||满足下列条件

x.x≠∈0X

|x|

(1)对任何x∈X袁都有||窑||≥0袁并且||x||=0的充要条件是1.2.4Hahn－Banach定理

x＝0曰

定理1设X是赋范线性空间袁x∈X,x≠0袁则必存在X(2)||琢x||=|琢|||x||袁坌琢∈F袁坌x∈X曰上的有界线性泛函f(x)袁使得||f||=1袁并且f(x0)=||x0||.(3)||x+y||≤||x||+||y||袁坌x,y∈X.

推论

设X是实赋范线性空间袁给定x∈X袁则存在X

则称||窑||为X上的范数袁并称渊X袁||窑||冤为赋范线性空间.上的非零有界线性泛函f袁使得f(x)=||f||||x||.通常袁我们把X简称为赋范线性空间.1.2.5Lipschitz函数

-１０-

注

Lipschitz函数是一类非常重要的非光滑函数袁例如

上的函数R就是Lipschitz函数.由以上定义可知袁Lipschitz函数是从Banach空间到实数域R上的泛函袁并且一般为非线性泛函.

例说明R上的函数f(x)=|x|是Lipschitz函数.解

由于对任意x,y∈R袁都有||x|-|y||≤|x-y|袁

因此取p=1袁则|f(x)-f(y)|=||x|-|y||=p|x-y|.

因此R上的函数f(x)=|x|是Lipschitz函数袁但它不是线性的.

2Lipschitz函数的微分

以下主要介绍Lipschitz函数的两种最常见的微分.一种是Gateaux意义下的弱微分袁另一种是Frechet意义下的强微分.这两种微分分别是数学分析中的方向导数和全微分在无限维空间上的推广.

除特别说明外袁以下总假设X是Banach空间袁U是X中的开集袁函数f院U→R是U上的Lipschitz函数.2.1G－微分

回顾数学分析R3空间中方向导数的概念.设u=f(x,y,z)是R3到R的函数袁l=(cos琢,cos茁,cos酌)是给定的单位向量袁如果极限

lim1t→0t[f(x0+tcos琢,y0+tcos茁,z0+tcos酌)-f(x0,y0,z0)]存在袁则称该极限为f在(x0,y0,z0)处沿方向l的方向导数袁记为D1f(x0,y0,z0).

一般地袁如果R3

上的泛函f在p0=(x0,y0,z0)处关于向量的极限

lim1t→0t[f(p0+tp)-f(p0)]=lim1t→0t[f(x0+tx,y0+ty,z0+tz)-f(x0,y0,z0)]存在袁则称f在p0处沿p方向可导.2.1.1G－微分的概念

将上面方向导数的概念推广到Banach空间中袁就得到下面G－微分的概念.

定义7

称函数f院U→R在x0∈U处沿着h∈X方向是G－可微的或弱可微的袁如果极限

Df(x0曰h)=limf(x0+th)-f(x0)t→0t存在.此时袁称Df(x0微分.若f在x曰h)为f在x0处沿h方向的G－微分或弱0处沿任何方向都是G－可微的袁则称f在x0处G－可微或弱可微.

注

由以上定义容易看出,Df(x0有下面的性质定理.

曰h)关于h是齐次的.即

2.1.2G－微分的性质定理2

若Df(x0向的G－微分袁则

曰h)是函数f院U→R在x0处沿h∈X方

(1)Df(x0曰h)关于h是齐次的曰

(2)Df(x0曰h)=dtdf(x0+th)|t=0.

注

以上定理指出袁G－微分Df(x0分析中关于t的函数f(x曰h)可以表示成数学

0+th)在t=0处的导数值袁揭示了G－微分与数学分析中的导数之间的联系.

比定理2更进一步,G－微分还具有下面的性质.

定理3设f在x0∈U处沿着h方向G－可微袁对于任

何y*∈R*袁令函数

则有(1)渍(t)在t=0渍(t)=y*(f(x0+th))袁

处可微袁并且渍'(0)=y*(Df(x0(2)若f在线段L={x曰h))曰

0+th|t∈[0,1]}上的每一点处都沿着h方向G－可微袁则渍(t)在[0,1]上可微袁并且渍'(t)=y*(Df(x0+th曰h)).注以上定理中进一步揭示G－微分与数学分析中微

分之间的联系.

定理4(不等式形式的微分中值定理)设f在线段L=

{x0+th|t∈[0,1]}上G－可微袁则存在子∈[0,1]袁使得|f(x0+h)-f(x0)

|≤|Df(x0+子h曰h)|.

注

以上定理给出了在G－微分意义下不等式形式的

微分中值定理袁它是数学分析中微分中值定理在无限维空间中的推广.

定理5(积分中值公式)设f在线段L={x0+th|t∈[0,1]}上的每一点处都沿着h方向G－乙可微袁函数覬(t)=DF(x0+th曰h)在1[0,1]上连续袁则有f(x0+h)-f(x0)=

覬(t)dt袁

其中注

以乙10

覬(t)dt是连续的抽象函数覬(t)的Riemann积分.

上定理给出了与数学分析中积分中值定理类似

的积分中值公式袁可以看作是数学分析中积分中值定理的一个推广.

2.1.3G－导数的概念

最后袁在G－微分概念的基础之上,我们给出G－导数的概念.

定义8设函数f院U→R在x0∈U处G－可微袁并且Df(x0h,Df(x曰h)关于h袁是其中线性X有*表示界的X袁则它上所可以表示成有有界线性泛Df(x0函构成曰h)=Df(x0)0)∈X*的全

体.此时袁称Df(x0)为f在x0处的G－导函数或G－导数.

注

由以上定义和定义7容易知道,当Df(x0)存在时袁我们有

f(x0+th)-f(x0)=DF(x0)th+棕(x0,h,t)袁

其中棕(x0,h,t)=o(t)袁即当x0袁h固定时袁有limt→0棕(x0t,h,t)=0.

2.2F－微分

回顾数学分析中全微分的概念.设函数f(x)定义在R中的开集U上袁称函数f在x0∈U处可微袁如果存在常数A袁当x0+驻x∈U时袁有f(x0+驻x)-f(x0)=A驻x+o(驻x).

这时袁称A为函数f在点x0处的全微分袁记为f'(x0).2.2.1F－导数的概念

-１１-

定义9

称函数f院U→R在x0∈U处是F－可微的或强

可微的袁如果存在有界线性泛函A∈X*xf(x袁使得当h∈X袁

0+h∈U时袁有0+h)-f(x0)=Ah+棕(x0,h)袁其中棕(x0,h)=o(||h||)袁即lim|棕(x0,h)|=0.这时袁称A为f在x0处的F－导函数袁简

||h||→0||h||称为F－导数袁记为df(x0)袁塄f(x0)或者f'(x0).

注

由以上定义容易看出袁F－导数(求导)运算具有线

性性.即有下面的定理.2.2.2F－导数的性质

定理6F－导数渊求导冤运算是线性的袁即若函数f院U→R和g院U→R都F－可微袁则af+bg也F－可微袁并且有[af(x)+bg(x)]'=af'(x)+bg'(x).

注

以上定理给出了F－导数的线性运算法则袁与数学

分析中导数的运算法则类似袁是它的一个推广.

如果两个函数的复合有意义袁并且每一个函数都是F－可微的袁那么袁它们的复合函数也是F－可微的.我们有下面的链式法则.

定理7(链式法则)

设X是Banach空间袁U奂X袁V奂R

是开子集.又设函数f院U→V在x0处F－可微袁函数g院V→R在y0=f(x0)处F－可微袁则复合函数g莓f院U→R在x0处也是F－可微的袁并且d(g莓f)(x0)=dg(y0)莓df(x0).

注

数学分析中也有类似的复合函数求导法则袁而以

上定理则可以看作是它在Banach空间中的一个推广.

定理8(不等式形式的微分中值定理)设函数f是F－可微的袁x∈U袁并且对于所有的琢∈[0,1]袁都有x+ah∈U袁则

有|f(x+h)-f(x)|≤||h||supa∈[0,1]

||f'(x+琢h)||.

注定理中给出了与G－微分相对应的不等式形式的

微分中值定理袁都是对数学分析中微分中值定理的进一步

加深.

由于G-微分的定义中没有涉及到X中的范数袁因此它的存在条件是比较弱的.然而袁正是因为这一点袁才使得G-微分不能与连续性等关系联系起来.但是对于F-导数却有下面的结论.

定理9若函数f在x0处的F－导数f'(x0)存在袁则函数

f在x0处连续.

注

以上定理与数学分析中定理野函数可导则连续冶是

一致的袁可以看作是该定理的一个推广.2.3F－导数与G－导数的联系

由定义9袁我们可以得出F－导数和G－导数的以下联系.

定理10

若函数f在x0处F－可微袁则必G－可微袁并

且Df(x0曰h)=f'(x0)h.

-１２-

注以上定理指出F－微分比G－微分强袁且在F－导

数f'(x0)存在时袁F－导数和G－导数有以下关系

Df(x0定理10说明F－曰h)=f'(x0)h.

微分是一种比G－微分强的微分袁F－可微一定G－可微.然而反过来结论是否成立钥即G－可微是否一定F－可微钥我们的答案是否定的.但是我们有下面的结论.

定理11若函数f在x0处存在G－导数Df(x0)袁并且极

限

limf(x0-th)-f(x0)t→0t=Df(x0)h关于||h||=1一致地成立袁那么袁函数f在x0处F－可微.注

以上定理说明虽然G－微分比F－微分弱袁G－可

微不一定F－可微袁但是只要满足一定的条件袁G－可微就可以推出F－可微.

推论设函数f的G－导数Df(x)在x0处连续袁则f在x0处F－可微.

注以上推论给出了G-可微推出F－可微的一个充

分条件袁即G－导数连续.

3总结

本文主要讨论了Lipschitz函数的两种常见广义导数袁G－导数和F－导数袁它们都是数学分析中的导数概念在无限维空间中的推广.文中介绍了这两种广义导数的概念尧基本性质以及它们之间的联系.文中给出了一系列广义导数的性质定理袁这些定理大部分都是数学分析导数理论中的相应定理在无限维空间中的推广.本文讨论的内容基本上都可以看成是数学分析中的相应内容在无限维空间中的推广袁都是比较基本的内容袁但它们是进一步讨论Lipschitz函数性质的基础袁对这些内容的讨论具有非常重要的意义.要要要参要考要要文献要要要要院

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