一种基于H∞理论的鲁棒预测控制方法

第２８卷第２期　自　动化学报　Ｖｏ１．２８，Ｎｏ．２　Ｍａｒ．．２００２　２００２年３月　ＡＣＴＡ　ＡＵＴｏＭＡＴ１ＣＡ　ＳＩＮＩＣＡ　一种基于日。。理论的鲁棒预测控制方法　陈　虹　（Ｅ　ｍａｉｌ；ｃｈｅａｈ＠ｊｔｕ　ｅｄｕ　ｃｎ　刘志远　长春１３００２５）　１５０００１）　啥尔滨ｚｈｉｙｕａｎ＠ｐｕｂｌｉｃ．ｈｒ．ｈ＿＿ｃｎ）　（吉林大学控制科学与工程系（啥尔滨工业大学控制科学与工程系摘要融合Ｈ　控制的鲁棒概念和预测控制的滚动优化原理，提出了一种全新的约束动态对　策预测控制方法．对有状态和控制约束的不确定线性系统，证明了闭环系统的鲁棒稳定性并给　出了鲁棒性条件．该方法同时具有Ｈ　控制和预测控制的优点：鲁棒性和显式处理约束的能力．　关键词预测控制，Ｈ　控制，约束系统，鲁棒稳定性　ＴＰ２７１．７４　中囝分类号ＡＮ日　ＡＰＰＲｏＡＣＨ　Ｔｏ　ＲｏＢＵＳＴ　ＭｏＤＥＬ　ＰＲＥＤＩＣＴＩＶＥ　ＣｏＮＴＲｏＬ　ＣＨＥＮ　Ｈｏｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＣｏｎｔｒｏｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅ　（Ｄｅｐａｒｔｒｎｅｍ　ｏｆＣｏｎｔｒｏｌ　Ｓｄ￣ｃｅ　ａｎｄ　ｇｎｇｉ￣ＬＩＵ　Ｚｈｉ—Ｙｕａｎ　Ⅷ　．Ｊｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖ￣ｓｉｔｙ．Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　１３００２５）　ｉｎｇ・Ｈａｒｂｉｎ　ｌｎｓｔ￣ｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ・ｌ－ｌａｒ￣＇ｎ　１５０００１）　（Ｅｍａｆｌ＝ｃｈｅｎｋ＠ｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ　ｚｈｉｙｕａｎ＠ｐｕｂ［￣．ｈｒ．　ｃｎ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｂｙ　ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｈ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｍｏｖｉｎｇ　ｈｏｒｉｚｏｎ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｏｆ　ＭＰＣ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ａ　ｎｏｖｅｌ　ｇａｍｅ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　ｍｏｄｅｌ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏ１．Ｒｏｂｕｓｔ　ｃｌｏｓｅｄ　ｌｏｏｐ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｎ　ｆｏｒ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉｔｈ　ｉｎｐｕｔ　ａｎｄ　ｓｔａｔｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ，ａｎｄ　ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ａｌｓｏ　ｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｈａｓ　ａｄｖａｎｔａｇｅｓ　ｏｆ　ｂｏｔｈ　Ｈ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ａｎｄ　ＭＰＣ：ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ　ａｎｄ　ａｂｉｌｉｔｙ　ｔｏ　ｈａｎｄｌｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　Ｍｏｄｅｌ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ，Ｈ　ｃｏｎｔｒｏｌ，ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　ｓｙｓｔｅｍｓ，ｒｏｂｕｓｔ　ｓｔａ—　ｈｉｌｉｔｙ　１引言　预测控制（缩写ＭＰＣ）的主要优点是在线处理控制量和状态量的约束并通过滚动优化　使其动态满足．近年来，ＭＰＣ的理论研究尤其在名义稳定性方面取得了重大进展：　．工业　１）国家自然科学基金（６９８０４００４）、黑龙江省自然科学基叠资助　收稿日期１９９９—１２—０３　收修改稿日期２０００．０９—２０　维普资讯 http://www.cqvip.com

２期　陈虹等：一种基于日　理论的鲁捧预测控制方法　２９７　控制中模型不确定性是不可避免的．早期的ＭＰＣ算法没有考虑模型不确定性，或仅将不确　定性的影响假设为叠加干扰且在预测时域内保持不变．近期开发的鲁棒ＭＰＣ算法多数假　设不确定系统属于某个给定的有限模型集合或假设不确定参数在有限域内变化（如文献　［３～５］）．日　理论为控制系统的鲁棒分析与设计提供了较完美的理论基础．基于日　理论的　预测控制便成为一种使线性时变系统鲁棒稳定的捷径（如文献Ｆ６，７］）．但这些讨论都没有涉　及系统的控制与状态约束．本文融合Ｈ　控制的鲁棒概念和预测控制的滚动优化原理，研究　一种约束动态对策ＭＰＣ方法，以获取二者的长处．　２约束不确定线性系统的　。。控制及鲁棒不变域　考虑初始条件为Ｘ（ｏ）；Ｘ。的离散线性系统　．　ｒＨｘ“１］　Ｘ（　上１）一Ａｘ“）＋ＢＨ（　）－４－Ｇｗ（　），　≥０，ｚ（ｉ）＝ｌ　ｌ　（１）　Ｌ　Ｈ（　）Ｊ　其中ｒ（　）∈　为状态变量，Ｈ（　）∈虢　为控制输入变量，ｗ（　）∈　辨　为被控变量，Ｊ４，Ｂ，Ｇ，日为具有相应维数的实矩阵且假设　Ａ１）（　，　）可稳定，（　，日）可测．　为外部输入变量，ｚ（　）∈　设系统（１）的控制和状态约束分别为Ｈ（　）∈Ｕ和ｒ（　）∈Ｘ，ｉ＝０，１，２，…，且假设　Ａ２）Ｕｃ辨　和ｘ　辨“是凸的，点（０．０）包含在Ｕ×Ｘ的内部，　即允许的控制序列为｛“（　）∈Ｕ，ｉ＝０，１，２，…｝．记所有允许控制序列的集合为　，所有初　始时刻为ｋ、长度为Ⅳ＋１的允许控制序列的集合为　，［　，ｋ十Ⅳ］．又设不确定性Ａ影响系　统的方式为ｗ—Ａ（ｒ）ｚ，其中Ａ（ｒ）是光滑的且满足ｌ　ｌＡ（ｒ）ｌｌ≤ｄ～＜１．对给定初始值　ｒ（　）一　及控制序列Ｉ．Ｌ∈　入序列的集合记为　，ｋ十Ⅳ］，允许的外部输入序列为｛ｗ“），ｉ∈　，ｋ十Ⅳ］），其沿　着系统（１）的轨迹满足　ｗ（　）ｌｌ　≤　（０　Ｈｘ（ｉ）ｌ　＋　“（ｌ　）ｌ　），１　≥　．所有允许的外部输　，ｋ　Ｈ）＿　暂不考虑系统约束，上述不确定系统鲁棒综合问题可由线性Ｈ　理论解决　：．如果假设　Ａ３）Ｒｉｅｅａｔｉ方程Ｐ＝Ｈ　Ｈ＋Ａ　ＰＡ　Ａ，Ａ＿．ｆ＋（ＢＢ　一ＣＡ；Ｔ）Ｐ有一个正定解尸．　且满足Ｊ—Ｇ　ＰＧ＞０，则系统（１）的无限时域动态对策问题ｍｉｎｍａｘ＞：（　ｚ（　）　。　一　ｌｌ　（ｉ）ｌ１　）有解：Ｉ．Ｌ　ｈ）一～Ｂ　尸Ａ　Ａｘ，ｗ　（ｒ）＝Ｇ　ＰＡ　Ａｘ．将反馈控制律Ｈ一“　（ｒ）作　用于系统，则对任何允许的ｗＥ　（　，０，“　）有　０　（　）ｌｌ；≥（１一　）　Ｈｘ（ｉ）ｌ　＋ｌ　１Ｉ．Ｌ　（　））ｌ　）＿－１ｌｌ　ｘ（ｉ十１）ｌｌ｝，ｉ≥０（２）　因为　ｍ　＜１，贝　１ｆ　Ｘ『『；是系统　０＋１）一（４一ＢＢ　尸Ａ　Ａ）ｒ（　）十Ｇｗ（　），　≥０，ｒ（０）一　的　一个Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，表明系统对所有考虑的不确定性是鲁棒渐近稳定的．　考虑有约束的情况．定义点ｒ一０的一个邻域／＇２：一（Ｘ∈　…　｝Ｉ｝≤　，　＞ｏ）满足条件　１）妇　Ｘ，　２）“∞（　）∈Ｕ，Ｖ　Ｘ∈妇．　由式（２）知，以是约束系统（１）在线性日　控制律　＝“　（ｒ）作用下的一个鲁棒不变域．显然，　对任何Ｐ＞Ｏ，妇是凸的．由于点（Ｏ，０）包古在Ｕ×Ｘ的内部，故妇非空．　维普资讯 http://www.cqvip.com

自　动　化　学　报　２８卷　３动态对策ＭＰＣ方法及鲁棒稳定性　一般而言．约束的存在使线性Ｈ　控制律的鲁棒稳定域很小＋为此本文提出一种基于　＾＋Ⅳ１　Ｈ一理论的预测控制．设系统（１）在　时刻的初始值为ｘ（ｋ），定义有限时域目标函数为　Ｊ（ｕ，　，ｘ（ｋ），　，　＋Ⅳ）一　，一　（１　ｚ（　；Ｈ，　，ｘ（ｋ），　）ＩＩ　一ｌ　ｌｗ（ｉ）ｌ　）＋　ｌ（３）　｜１　ｘ（ｋ＋Ｎ；Ｈ，　，　（矗），矗）ｌ　ｏ　其中ｘ（ｉ；Ｈ，＇．，，　（　）．　）和ｚ（ｉ；“，ｗ，ｘ（ｋ）．　），　∈　，　一Ⅳ（“，．．，）作用下的解．于是，动态对策问题的数学描述为　ｕ∈　ｎ，＾＋Ⅳ　１　１　为系统（１）在给定允许输入对　（４）　ｍｉｎ　∈　ｍａｘ　ｒ（＾Ｊ．　．ｕ）　Ｊ（ｕ，Ｗ，　（　），　．　＋Ｎ）　其约束条件为　ｘ（ｉ；“，ｗ，ｘ（ｋ）．　）∈Ｘ，　∈［　，　＋Ｎ－］　（５）　（６）　ｘ（ｋ＋Ｎ；“．　，ｘ（ｋ），矗）∈ｎ　若上述约束动态对策问题有解，则对所有考虑的不确定性，系统轨迹的未端都将位于不变域　ｎ内．给定预测时域Ｎ＞０，假设对某一给定的初始值　（　）一　∈辨　至少存在一允许的控制　序列Ｈ∈锄，［　，　＋Ⅳ１］，使得对任何．．，∈　ａｉｎ　ｒ，　十Ⅳ，ｋ，Ｈ），系统（１）的解满足状态约束（　）和终　ｍａｘ１］ｖ∈　端约束（６）．这样，我们就能定义一标量函数　Ｓ（　，矗，矗＋Ｎ）：一　ｕ∈　＿，（“，　，　，矗．矗＋Ⅳ）　（７）　“．　．口　记所有这样的初始值的集合为ＩＣ（Ｎ）．已知Ｕ×Ｘ是凸的，ｎ也是凸的，且Ｊ（ｕ，ｗ，　（　），　，　＋Ⅳ）对Ｈ来说是严格凸的．若对某一给定的预测时域Ｎ＞０，ＩＣ（Ⅳ）是非空的，则对于任意　给定的．．，∈　（　），　．Ｈ），上述约束动态对策问题的最小化部分有唯一解　．即存在一允许　Ｓ　（矗），矗，矗＋Ⅳ）一　ｖ∈　控制序列　Ｈ　（　；　（　），　，　＋Ⅳ），　∈　五，　＋Ⅳ一１］），简记为Ｈ　，使得　ｍａｘ　（　），＾ｔ口　＿，（“　，＇．，，　（矗），矗，矗＋Ｎ）　（８）　由ＭＰＣ的基本原理，定义　时刻的控制为“’（　：一“　（　；　（　，　，　＋Ⅳ），相应的闭环系　统为　ｘ（ｋ＋１）一Ａｘ（　）一Ｂｕ　（　）一ＧＷ（　），　≥０，　（０）一‰　（９］　约束的存在使系统（９）具有非线性动态，故将以Ｌｙａｐｕｎｏｖ理论为基础展开稳定性讨　论．可以证明，／Ｃ（Ｎ）对任何Ｎ＞０是非空的且　一０是系统（９）的一个平衡　渐近稳定的，且ＩＣ（Ⅳ）是系统的一个吸收域．　．　定理１．如果假设Ａ１）～Ａ３）成立，则预测控制系统（９）对所有考虑的不确定性是鲁棒　定理２＋如果假设Ａ１）～Ａ３）成立且ｒａｎｋ（Ｈ）一　，则预测控制系统（９）对所有考虑的不　确定性是鲁棒指数稳定的．　在证明定理１和定理２之前，先给出以下引理．　引理１．如果ｘ（ｋ）∈ＩＣ（Ⅳ），则ｓ（　（　），　，　＋Ｎ）≥Ｓ（　（　），　，　＋Ｎ＋１）．　引理２．如果ｘ（ｋ）∈ＩＣ（Ⅳ），则对系统（９）有　ｓ（　（矗），矗，矗＋Ⅳ）≥　（　（矗＋１），矗＋１，矗＋Ⅳ）＋ｌ　Ｈｘ（ｋ）｜ｌ　＋｝ｌ“　（　）ｌ　一ｌｌｌ’ｌ，（　）ｌ　ｌ（］０）　维普资讯 http://www.cqvip.com

２期　陈虹等：一种基于Ｈ　理论的鲁棒预测控制方法　２９９　引理ｌ和２的证明见附录．由引理ｌ和引理２导出，如果约束动态对策问题（３）～（６）的　最小化部分在ｋ一０时有解，则在　＞０时均有解．因此，对任何ｋ≥０预测控制都是有定　义的．　定理１的证明．对系统（９）定义一标量函数Ｖ　）：＝Ｓ　．ｋ，　－－Ⅳ），则由引理１和引理　２得对　≥０和任何允许的ｗ（　）有　Ｖ（　（　））一Ｖ０（　４－１））≥（１　ｄ　）（『　ＩＨｘ（　）　＋　Ｈ　（　）　）　（１１）　由ｄ一＜１得对所有考虑的不确定性．Ｖ（　）沿系统（９）是不增的．此外，Ｖ（　）还有如下特　性０　：如果　∈ｎ，则Ｖ　）≤『　１．『；；如果　∈ＩＣ（Ｎ），则Ｖ　）≥　＜】和　（　）≥０，所以式（】Ｉ）表明当　一。。时ｆ　Ｈｘ（　）　Ｈ　）一０．又固（Ａ，Ｈ）是可测的，则有当　一。。时　『　＆，ＩＩ＞０．故Ｖ　）是系　＋『ｆ　（　）　一０，即　统（９）的一个Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，表明其平衡点　一０对所有考虑的不确定性是鲁棒稳定的．固　）一Ｏ．故系统（９）的平衡点　＝０对所　证毕．　有考虑的不确定性是鲁棒渐近稳定的．再则，用与文献　１０］相同的方法可以证明ＩＣ（Ⅳ）是　一个吸收域．　定理２的证明（略）．由式（１］）和ｒａｎｋ（Ｈ）＝　可直接导出．　４结束语　本文讨论了一种基于Ｈ　理论的约束动态对策ＭＰＣ方法及其闭环鲁棒稳定性．该方法　融合了　控制和预测控制的优点：鲁棒性和显式处理约束的能力．与文献［９３相比，简化并　完善了控制系统的构成及闭环鲁棒稳定性的证明．　参Ｉ　Ｌｅｅ　Ｊ　Ｈ．Ｒ￣ｅｎｔ　ａｄｖａｍ．￣ｅｓ　考文献　ｍｏｄｅｌ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ａｎｄ　ｏｔｈｅｒ　ｒｅｌａｔｅｄ　ａ￣ｅＲＳ．Ｉｎ：Ｋａｎｔｏｒ　Ｊ　Ｃ，Ｇａｒｃｉａ　Ｃ　Ｅ（ｅｄｓ）　５ｔｈ　Ｉｎｔ．Ｃｏｎｆｅｒ　Ｃｈｅｒｍｃａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓ　Ｃｏｍ￣ｌ　ＡＩＣｈＥ．ＣＡＣＨＥ，１９９７　２０１～２１６　２　ＣｈｅｎＨ，Ａ［］ｇｏｗｅｒ　Ｆ　Ｎｏｎ　Ｌｉｎｅａｒｍｏｄｅｌ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｓｃｈｅｍｅｓｗ　Ｌ【ｂ　ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ．Ｉｎ：ＢａｒｂｅｒＲ　ｒ　Ｋｒａｖａｒｉｓ　（ｅｄｓ）Ｍｏｄｅ【Ｂａｓｅｄ　Ｐｒｏｃｅｓｓ　Ｃｏｎｔｒｏ】Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ：Ｋｌｕｗｅｒ　ＡＣＲｄｅｍｉｅ　Ｐｕｂｈｓｈｅｒｓ，１９９７　４６５～４９４　３　Ｍｉｃｈａ［ｓｋａ　Ｈ，Ｍａｙｎｅ　Ｄ　Ｑ．Ｒｏｂｕｓｔ　ｒｅｃｅｄｉｎｇ　ｈｏｒｉｚｏｎ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｃｏａｓｔｒａｉｎｅｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｊ　０ｍ　．Ｃｏｎｔｒｏ１．１９９３，３８（１１）．１６　～１６３３　４　Ｋｏｔｈａｒｅ　Ｍ　Ｖ，Ｂａｌａｋｒｌｓｈｎａｎ　Ｖ，Ｍｏｒａｒｉ　Ｍ　Ｒｏｂｕｓｔ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　ｍｏｄｅｌ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｕｓｉｎｇ　Ｌｉｎｅａｒ　ｒａａｔｒ［ｘ　ｉｎｅｑｕａｈ　ｔｉｅｓ．Ａ“蛔　ｔｉｃａ，１９９６．３ｌ（１０）：１３６１～１３７９　Ｔｒａｎｓ．Ａｕ—　５　Ｓｃｏｋａｃｒｔ　Ｐ　Ｏ　Ｍ，Ｍａｙｎｅ　Ｄ　Ｑ　ｂｌｉｎ－ｍａｘ　ｆｅｅｄｂａｃｋ　ｍｏｄｅｌ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　Ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ．ＩＥＥＥ　７　６　．Ａ　．￣ｂｎｔｒｏ／．１９９８　４３（８）　１１３６～】１蛇　ＴａｄｍｏｒＧ．Ｒｅｃｅｄｉｎｇ　ｈｏ６ｚｏｎ　ｒｅｖｉｓｉｔｅｄ：Ａｎ　ｅａｓｙｗａｙｔＯ　ｒｏｂｕｓｔｌｙ　ｓｔａｂｉｌｉ￣８ｎ　ＬＴＶ　ｓｙｓｔｅｍ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｃｏｎｔｒｄ　Ｌｅｔｔｅｒｓ，　１９９２，１８：２８５～２９０　７　Ｌ　Ｓ，Ｇｌｏｖｅｒ　Ｋ．Ａ　ｇａｍｅ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｍｏｖｉｎｇ　ｈｏｒｉｚｏｎ　ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｉｎ：Ａｄｖａｎｃｅｓ　ｉｎ　Ｍｏｄｅｉ　Ｂａｓｅｄ　Ｐｒｅｄｉｃｔｌｖｅ　Ｃｏｎｔｒｏ　Ｌ．Ｌｏｎｄｏｎ：Ｏｘｆｏｒｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ．１ｇ９４　１３１～ｌ４４　８　Ｂａｓａｒ　Ｔ，Ｂｅｒｎｈａｒｄ　Ｐ．Ｈ　Ｏｐｔｉｍａ］ａｎｄ　Ｒｅ　Ｌａｔｅｄ　Ｍｉｎｉｍａｘ　Ｄｅｓｉｇｎ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｂｏｓｔｏｎ　Ｂｉｒｋｈａｅｕｓｅｒ　ＶｅｒＩａｇ，１０９１　９　Ｃｈｅｎ　Ｈ　ｒ　Ｓｃｈｅｒｅｒ　Ｃ　Ｗ，Ａｌｌｇｏｗｅｒ　Ｆ．Ａ　ｒｏｂｕｓｔ　ｍｏｄｅｔ　ｐｒｅｄｉｅｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏ　Ｌ　ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　ｃｏ．ｔｒａｉｎｅｄ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｉｎ：　Ｐｒｏｃ．ＩＦＡＣ　Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ　ｏｎ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏ］ｏｆ　Ｐｒｏｃｅｓｓ　Ｓｙｓｔｅｍ￣，ＣｏＡｕｔ　１９９８．６Ｏ～６５　１０　Ｃｈｅｎ　Ｈ．ＡｌＪｇｏｗｅｒ　Ｆ　Ａ　ｑｕａｓｉ—ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｈｏｚＪｚｏ．￣ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｍｏｄｅ／ｐｒｅｄｉｃｌｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏ￣￣ｃｈｅｍｅ　ｗｉｔｈ　ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ　ｓｔａｈｉＪｌｔｙ．　Ａ　ｚｄｏｍａｔｉｃａ，１９９８，３４（１。］　１２０５～１２ｌ　７　维普资讯 http://www.cqvip.com

自　动　化　学　报　２８卷　附录Ａ　引理１的证明．　若ｘ（ｋ）∈ＩＣ（Ⅳ），则对任何允许的外部输入ｗ∈　，（　（女），　，酊）有　（　；“　，　，　（女），女）∈ｘ，　∈　女一Ⅳ一１］和　“＋Ⅳ；“　，　，　），　）∈阳．考虑预测时域为　＋１的情况，选择一允许控制序列　∈　，［女，女＿＿Ⅳ：如下：　…　ｆ　（　；　（女），女，女４－Ⅳ），　ｌ“　“（女＋Ｎ｛　。ｗ，　（女），　）），　ｉ∈ｒ－ｋ，女＋Ｎ　１］　一　４－Ｎ　取任一允许的　∈　“（＾），女，“　），在其末端与另一允许ｗ。∈　（　（女一Ｌｖ；“　，ｗ，　（　），　），女一Ⅳ。“　）的　第一个元素连接构成一新的外部输入记为ｗ　显然　∈ｒ￣－ｆ（ｘ（ｋ），女，　）　由ｘ（ｋ＋Ⅳ；　，ｗ，　（女），女）∈Ｄ　得。对所构造的允许输入对（　，　）有　女，　＋Ⅳ）．由此可得结果．　ｍａｘ　‘ｄ（“　，　，　（女），女，女＋Ｎ－＿１）≤　口　＿Ｅ～ｍａｘ　ｃ　）．‘，　，（　。ｗ，　（　），　证毕．　附录Ｂ　引理２的证明．　取任一允许的外部输入ｗ　∈　（　幔＋１），女＋１，　），将允许的　强）连接在其首端，记为ｗ　显然ｗ　∈　（　），女，“　）　由式（９）可得，对所构造的允许输入对（　，ｗ　）有　Ｓ　（女），女，女＋　）≥，（　，ｗ６，　（女），女，女＋　）一，（　。ｗ　Ｌ，　（女＋１），＾一１，女＋Ⅳ）一　Ｈｘ（ｋ）　＋¨“　（　）０。　ｗ（ｋ）０　，　其对任何ｗ　∈ｒ￣－ｆ（ｘ幔＋１），女＋１，　）都成立，故　Ｓ　（　）。女，　＋Ⅳ）≥ｌＨｘ（ｋ）ｌ　一ｌ　ｒｍｘ　’】Ｅ　、　—Ｉ）・¨１・　）　（女）Ｉ１　Ｉｌ　（女）　＋　（Ｂ１）　ｄ（　，　ｌ，　（女一１），　＋ｌ。女＋Ⅳ）．应该指出。上式只用到“　在　＋１，女＋Ⅳ一１］域的值，其属于荦　＋１，女＋Ⅳ一１］是允许的，但并不一定是　最优的，因此有Ｓ　（　＋１），　＋１，女一Ⅳ）≤　’】Ｅ　、…ｍａｘ　Ｌ）　＋】，。　，“　，ｗ　，　（　一１），　＋１，　一Ⅳ）．结合式（Ｂ１）　证毕　可得结果．　陈虹教授，１９８３￣１９８６年在浙江大学过程控制及自动化仪表专业获工学学士和硕士学位，１　９９７　年以最高荣誉（ｍｉｔ　Ａｕｓｚｅｉｃｈｎｕ“ｇ）在德国斯图加特大学获工学博士学位　主要研究领域为预测控制、最优　控制、鲁棒控制及非线性控制的理论与应用　刘志远教授，１９７８￣１９８２年在浙江丝绸工学院获工学学士学位，１　９８６～１９９３年在哈尔滨工业大学　获工学博士学位，１９９３￣１　９９４年在啥尔滨工业大学机械工程博士后流动站工作　主要研究领域为机器人控　制、预测控制及高精度伺服控制方面的研究．