初一数学竞赛讲座
第7讲 立体图形
空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力，而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。我们虽然在课本上已经学习了一些简单的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体，但有关立体图形的概念还需要深化，空间想象
能力还需要提高。
将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理，是解决立体图形问题的一种常用思路。
一、立体图形的表面积和体积计算
例1 一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯内侧的底面积是72cm，在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？
解：水的体积为72×2.5=180（cm），放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6×6=32（cm）的柱体，所以它的高为180÷32=5（cm）。 例2 下图表示一个正方体，它的棱长为4cm，在它的 上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正 方体，问：此图的表面积是多少？
分析：正方体有6个面，而每个面中间有一个正方形 的孔，在计算时要减去小正方形的面积。各面又挖去一个 小正方体，这时要考虑两头小正方体是否接通，这与表面 积有关系。由于大正方体的棱长为4cm，而小正方体的棱 长为1cm，所以没有接通。每个小正方体孔共有5个面，在计算表面积时都要考虑。
解：大正方体每个面的面积为4×4-1×1=15（cm）， 6个面的面积和为15×6=90（cm）。
小正方体的每个面的面积为1×1=1（cm）， 5个面的面积和为1×5=5（cm），
6个小正方体孔的表面积之和为5×6=30（cm）， 因此所求的表面积为90＋30=120（cm2）。
想一想，当挖去的小正方体的棱长是2cm时，表面积是多少？请同学们把它计算出来。
例3 正方体的每一条棱长是一个一位数，表面的每个正方形面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数。而且若将正方形面积的两位数中两个数码调过来则恰好是三位数的十位与个位上的数码。求这个正方体的体积。
解：根据“正方体的每一条棱长是一个一位数，表面的每个正方形面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数”的条件，可知正方体的棱长有5，6，7，8，9这五种可能性。
根据“将正方形面积的 两位数中两个数码调过来恰
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好是三位数的十位上与个位
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上的数码”，可知这个正方 体的棱长是7。如右表：
因此这个正方体的体积是7×7×7=343。
例4 一个长、宽和高分别为21cm，15cm和12cm的长方体，现从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
解：根据长方体的长、宽和高分别为21cm，15cm和12cm的条件，可知第一次切下尽可能大的正方体的棱长是12cm，其体积是12×12×12=1728（cm3）。 这时剩余立体图形的底面形状如图1，其高是12cm。这样，第二次切下尽可能大的正方体的棱长是9cm，其体积是9×9×9=729（cm）。
这时剩余立体图形可分割为两部分：一部分的底面形状如图2，高是12cm；另一部分的底面形状如图3，高是3cm。这样，第三次切下尽可能大的正方体的棱长是6cm，其体积是6×6×6=216（cm）。
因此，剩下的体积是21×15×12-（12＋9＋6）=3780-2673=1107（cm）。 说明：如果手头有一个泥塑的长方体和小刀，那么做出这道题并不难。但实际上，我们并没有依赖于具体的模型和工具，这就是想象力的作用。我们正是在原有感性经验的基础上，想象出切割后立体的形状，并通过它们各个侧面的形状和大小表示出来。因此，对一个立体图形，应该尽可能地想到它的原型。
例5右图是一个长27cm，宽8cm，高8cm的长方 体。现将它分为4部分，然后将这4部分重新组拼， 能重组为一个棱长为12cm的正方体。请问该怎么分？
解：重组成的正方体的棱长是12cm，而已知长方 体的宽是8cm，所以要把宽增加4cm， 为此可按右图1中的粗线分开，分开 重组成图2的形状；图2的高是8cm， 也应增加4cm，为此可按图2中的虚 线分开，分开后重组成图3的形状。 图3就是所组成的棱长为12cm的正方 体。
说明：这里有一个朴素的思想，就 是设法把不足12cm的宽和高补成12cm 的棱长，同时按照某种对称的方式分割。
在解关于立体图形的问题时，需要 有较丰富的想象力，要能把平面图形在 头脑中“立”起来，另外还应有一定的作图本领和看图能力。
例6 雨哗哗地不停地下着，如在雨地里放一个如右图那样的长方体的容器（单位：厘米），雨水将它下满要用1时。有下列（1）～（5）不同的容器，雨水下满各需多长时间？
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解：根据题意知雨均匀地下， 即单位面积内的降雨量相同。所以 雨水下满某容器所需的时间与该容 器的容积和接水面（敞开部分）的 面积之比有关。
因为在例图所示容器中：
需1时接满，所以
二、立体图形的侧面展开图
例7 右图是一个立体图形的侧面 展开图（单位：cm），求这个立体图 形的表面积和体积。
解：这个立体图形是一个圆柱的 四分之一（如右上图），圆柱的底面 半径为10cm，高为8cm。它的表面积为
例8 右图是一个正方体，四边
形APQC表示用平面截正方体的截 面。请在右下方的展开图中画出四 边形APQC的四条边。
解：把空间图形表面的线条画 在平面展开图上，只要抓住四边形 APQC四个顶点所在的位置这个关键， 再进一步确定四边形的四条边所在 的平面就可容易地画出。
（1）考虑到展开图上有六个顶 点没有标出，可想象将展开图折成立 体形，并在顶点上标出对应的符号，
见右图。
（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：
顶点：A—A，C—C，P在EF边上，Q在GF边上。边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。
（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。连好线的图形如右上图。
例9 如右图所示，剪一块硬纸片可以做 成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线 粘）。这个多面体的面数、顶点数和棱数的 总和是多少？
解：从展开图可以看出，粘合后的多面体 有12个正方形和8个三角形，共20个面。
这个多面体上部的中间是一个正三角形， 这个正三角形的三边与三个正方形相连，这样上部共有9个顶点，下部也一样。因此，多面体的顶点总数为 9×2=18（个）。
在20个面的边中，虚线有19条，实线有34条。因为每条虚线表示一条棱，两条实线表示一条棱，所以多面体的总棱数为19＋34÷2=36（条）。
综上所述，多面体的面数、顶点数和棱数之和为20+18＋36＝74。
说明：数学家欧拉曾给出一个公式：V＋F-E＝2。公式中的V表示顶点数，E表示棱数，F表示面数。
根据欧拉公式，知道上例多面体的面数和顶点数之后，棱数便可求得： E=V＋F-2=20＋18-2=36（条）。 三、立体图形的截面与投影
例10 用一个平面去截一个正方体，可以得到几边形？
解：如下图，可得到三角形、四边形、五边形和六边形。
例11 一个棱长为6cm的正方体，把它切开成49个小正方体。小正方体的大小不必都相同，而小正方体的棱长以厘米作单位必须是整数。问：可切出几种不同尺寸的正方体？每种正方体的个数各是多少？ 解：1=1，2=8，3=27，4=64，5=125，6=216。 如果能切出1个棱长为5cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm的正体体，共切出小正方体：1＋（6-5）÷1=92（个）。
因为92＞49，所以不可能切出棱长为5cm的正方体。
如果能切出1个棱长为4cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm或2cm的正方体。设切出棱长为1cm的正方体有a个，切出棱长为2cm的正方体有b个，则有
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设切出棱长为1cm的正方体有a个，棱长为2cm的正方体有b个，棱长为3cm的正方体有c个，则
解之得a=36，b=9，c=4。
所以可切出棱长分别为1cm，2cm和3cm的正方体，其个数依次为36，9和4。
例12 现有一个棱长 为1cm的正方体，一个长 宽为1cm高为2cm的长方 体，三个长宽为1cm高为 3cm的长方体。右侧图形 是把这五个图形合并成某
一立体图形时，从上面、 前面、侧面所看到的图形。
试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如上图）的 样子画出来，并求出其表面积。
解：立体图形的形状如右图所示。
从上面和下面看到的形状面积都为9cm，共18cm； 从两个侧面看到的形状面积都为7cm，共14cm； 从前面和后面看到的形状面积都为6cm，共12cm； 隐藏着的面积有2cm。
一共有18＋16＋12＋2＝46（cm）。
练习7
1．一个长方体水箱，从里面量得长40cm，宽30cm， 深35cm，里面的水深10cm。放进一个棱长20cm的正方体铁
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块后，水面高多少厘米？
2．王师傅将木块刨成横截面如右图（单位：cm）那样 的高40cm的一个棱柱。虚线把横截面分成大小两部分，较 大的那部分的面积占整个底面的60％。这个棱柱的体积是多 少立方厘米？
3．在底面为边长60cm的正方形的一个长方体的容器里，直立着一根高1m，底面为边长15cm的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水半米深。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24cm，露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？ 4．下列各图形中，有的是正方体的展开图，写出这些图形的编号。
5．小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形，一种是长方形。正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2。她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒（如右图），正好将纸板用完。在小玲 所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒 的总数之比是多少？
6．请你在下面图（2）中画出3种和图 （1）不一样的设计图，使它们折起来后都 成为下图所示的长方形盒子（直线段与各棱 交于棱的中点）。
7．在桌面 上摆有一些大小
一样的正方体木
块，从正南方向看如下左图，从正东方向看如下右图，要摆出这样的图形至多用多少块正方体木块？至少需要多少块正方体木块？
8．有一个正方体，它的6个面被分别涂上了不同的颜色，并且在每个面上至少贴有一张纸条。用不同的方法来摆放这个正方体，并从不同的角度拍下照片。 （1）洗出照片后，把所拍摄的面的颜色种类不同的照片全部挑选出来，最多可以选出多少张照片？
（2）观察（1）中选出的照片，发现各张照片里的纸条数各不相同。问：整个正方体最少贴有多少张纸条？ 练习7答案 1．15cm。
解：若铁块完全浸入水中，则水面将提高
此时水面的高小于20cm，与铁块完全浸入水中矛盾，所以铁块顶面仍然高于水面。此时水深与容器底面积的乘积应等于原有水量的体积与铁块浸入水中体积之和。
设放进铁块后，水深为xcm，则40×30×x＝40×30×10+20×20×x， 解得x=15，即放进铁块后，水深15cm。 2．19200cm。
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解得x=16。这个棱柱的体积是
{[（12+24）×16÷2]÷60％}×40＝19200（cm）。 3．25.6 cm。
解：容器里的水共有（60×60-15×15）×50＝168750（cm）。 当把铁棍提起24cm时，铁棍仍浸在水中的部分的长是
（168750-60×60×24）÷（60×60-15×15）=24.4（cm）， 所以露出水面的浸湿部分长50-24.4=25.6（cm）。
4．（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共11个。
5．1∶2。
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解：设一共做了x个竖式纸盒，y个横式纸盒。注意到这两种纸盒都是无盖的，x个竖式纸盒共用x个正方形和4x个长方形纸板； y个横式纸盒共用2y个正方形和3y个长方形纸板。根据题意，得2（x+2y）=4x+3y， 化简为2x=y，即 x∶y=1∶2。 6．如下图所示：
7．至少要6块正方体木块（左下图），至多需要20块正方体木块（右下图）。图中的数字表示放在这一格上的正方体木块的层数。
8．（1）26张；（2）39张。
解：（1）1个面的6种，2个面（即1个棱）的12种，3个面的 8种，共： 6+12+8=26（张）。
（2）因为26张照片上纸条数各不相同，所以纸条数至少也得有： 1+2+3+…+26=351（张）。
但在这26张照片中，很多纸条是被重复计算的。每个面上的纸条在单独面拍摄时出现1次，在2个面拍摄时出现4次，在3个面拍摄时出现4次，共被计数9次。所以实际纸条数至少为：351÷9＝39（张）。
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