安徽大学2008-2009 学年第一学期《量子力学》(A)卷及答案

安徽大学2008-2009 学年第一学期《量子力学》（A）卷及答案

能级简并、简并度。（5 分） .1

答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。把对

应于同一能级的不同状态数称为简并度。 一质量为 .2

0  x  2a x  0, x  2a

0,

的粒子在一维无限深方势阱V (x)  

,

中运动，写出其状态波函数和能级表达式。（5 分）

解：

1 nx

sin , 0  x  2a , 

 (x)  a n 2a



x  0 , x  2a 0 ,

 22n2

En  2 , 8a

n  1, 2 , 3,

  2

二电子体系中，总自旋 S  s1  s2 ，写出（ .3S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态

与三重态）。（5 分）

解：（ S , S ）的归一化本征态记为  SM ，则 z

S

2

自旋单态为

00 



1

 (1) (2)   (1) (2)2

自旋三重态为

11   (1) (2)

1 

   (1) (2)   (1) (2)10

2 

11   (1) (2) V1 , V (x)  

V2 ,

x  a x  a

对于阶梯形方势场 .4

，

如果（V2  V1 ）有限，则定态波函数 (x) 连续否？其一阶导数  (x) 连续否？（5 分）

解：定态波函数 (x) 连续；其一阶导数  (x) 也连续。

用球坐标表示，粒子波函数表为  r, .5, ，则粒子在立体角d  中被测到的几率为



P  d   r, ,  r2 d r 。 （5 分）

0

2

1

给出如下对易关系：（5 分） .6

z , p z   i



 y , Lz   ix

 x , p y   0

  y ,  x   2 i z

Ly , pz   ipx

量子力学中，体系的任意态 (x) 可用一组力学量完全集的共同本征态 n (x) 展开： .7

 (x)   an n (x) ，

n

  (x), (x)   * (x) (x)d x 。 （5 分） 则展开式系数 a



   2 

r ,

一个电子运动的旋量波函数为  r , s    .8  2 ，则电子自旋向上  z  

 r , 

 n n  n 

r ,  / 2 ； 、位置在 r 处的几率密度表达式为  （ sz   2 ）

2



（5 分） 电子自旋向下（ sz   2 ）的几率的表达式为 dr  r ,   / 2 。

3



2

已知厄米算符 A 、 B 互相反对易：  .9A, B   AB  BA  0 ； b 是算符 B 的本征态：

B b  b b ，本征值b  0 。证明在态 b 中，算符 A 的平均值等于零。（10 分）

证：



A, B  AB  BA  0 ，

 0 b A, B b  b AB b  b BA b  2b b A b 。

但b  0 ，从而有

A  b A b  0 ，

即在态 b 中，算符 A 的平均值为零。

.01

一个谐振子处于基态： (x, t)   e

2 2

x/2i t

 1/ 2 值与动能T  p

2

1

, 证明其势能V  m 2 x 2 的平均

2



1  。[ 积分公式： e x2 d x  2m 的平均值相等，皆为 ]  4 



（10 分）

 

证：

x  (x, t)x  (x, t)dx 





* 

  

  x

 

x e dx

2

1     ， 2 3 2 2 2m



.1

1 1

V  m 2 x 2   ,

2 4 2 2 2 

p 2   x / 2  d 2 2 x / 2

  2m dx  e dx T  2m e    

2 

  4 2 2  2 x2

 ( x   ) edx  2m    2    2  2 1

       。

4m 4 2m  2 

  2 

在直角坐标系中，证明：[L , p ]  0 ，其中 L 为角动量算符， p 为动量算符。

2

2

（10 分） 证：

 2 2 2 2 2

[Lx , p ]  [Lx , px  py  pz ]  [Lx , py ]  [Lx , pz ]

2

 py [Lx , py ] [Lx , py ] py  pz [Lx , pz ] [Lx , pz ] pz  ip p  p p  ip p z y  p p y z 0 ； y z z y

同理，

 2

[Ly , p ]  0 ，

 2

[Lz , p ]  0

所以

  2

[L , p ]  0

.21

在时间t  0 时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：

1 1  (x,0) u0 (x) u2 (x)  c3u3 (x) ，

52

式中un (x) 是振子的第 n 个本征函数。

（1） 试求c3 的数值； （2） 写出在t 时刻的波函数；

（3） 在t  0 时振子能量的平均值是多少？ t  1秒时呢？（15 分）

 1  1 

     c 2  1, 得 c  3 。 解：（1）

10  5   2 2 2

3

（2） (x, t) 

1 u0 (x)e 2 5 2

1i t

1 u2 (x)e 2 2 2

5i t

3 u3 (x)e 2 。 10 2

7i t

（3）在t  0 时振子能量的平均值是

 1  1  3 1 5 7 12

  。         E   

2 5 5  2 2  2 10 

12

t  1秒时振子能量的平均值也是  。

5

.31

质量为 的粒子受微扰后，在一维势场

 x 

A cos ,



V (x)  

,

0  x  a

x  0, x  a

a

中运动。

（1） 题中应当把什么看作微扰势？

（2） 写出未受微扰时的能级和波函数；

 22

（3） 用微扰论计算基态能量到二级近似，其中 A  。

2

10 a



提示： sin nx  sin mxdx 

0



2

（15 分）  nm 。

解：（1）应在一维无限深势阱



0  x  a x  0, x  a

0,

V (x)  

, 

的基础上，把



A cos

 x

,

0  x  a

x  0, x  a



H   

0,

看作微扰势。

a

（2） 未受微扰时的波函数和能级分别为



2 nx (0)

,sin (x) n

a a

E

(0)

n

22 2 n , 2 2 a

n  1, 2 , 3,



（3） 未受微扰时的基态波函数和能量分别为

4

 x 2 sin (0) , (x) 1

a a

(0)  2  2 ，  E 1

2 a 2

基态能量的一级修正：

 x 2 A 2  x  x  x (1)

2 2 

E1  H11   a sin a • Acos a dx  sin a d sin a

0 0

a

a



2 A  x

 sin 3  0 。 3 a 0 a基态能量的二级修正：

n1 (2)

E ， 1  '(0) (0)  E n n E 1

H  2

n x  x  x

 2 2 H n1  sin sin dx • A cos a a a a 0 a

A a  x n x • 2 cos  x  sin  sin dx a 0 a a a

n x 2 x  x A a

 sin d   sin

0 a a a

sin ny  sin 2 ydy 0 A  A      2 n 2 2 n2  a

A 

所以

E (2) 

1

A 2

2

E  E

1

2

(0) (0) 

A2 1  2 2 4  



2

2 2 2     a   600 2 a 2 2 。   6 2  2   10 a 2 

 (0)

2 a 2

1  4

2

a 2 A

2 2。   6 

(1)



(2)

E1  E1  E1  E1

      

。

2 22

2 a 600a 600a

2 2

2 2

299 2  2

5