2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________
一、选择题
1.设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 A.xR,f(x)f(x0) B.x0是f(x)的极小值点
C.x0是f(x)的极小值点 D.x0是f(x)的极小值点(2013年高
考福建卷(文))
2.函数fxaxn1x2在区间0,1上的图象如图所示,则n可能是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2011安徽文10) 二、填空题
3. 若对任意的xD,均有f1xfxf2x成立,则称函数fx为函数f1x到函数f2x在区间D上的“折中函数”.已知函数fxk1x1,gx0, hxx1lnx,且fx是gx到hx在区间1,2e上的“折中函数”,则实数
k的取值范围为 .
4. 设f(x)2x3.ax2bx1的导数为f(x),若函数yf(x)的图像关于直线
x12对称,且f(1)0.(1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)的极值.
)(
2在1[e,)上是减函数,则实数a的取值范围5.函数f(x)axlnx是 .
x3在点x=3处的导数是___________ 2x3x17.曲线y在x=1处的切线与直线xby10,则实数b的值为 ▲
x26.y
8.函数f(x)x4x5在x1处的切线与y轴的交点为 。
9.函数f(x)的定义域为R,且f(1)2,若f'(x)3对xR恒成立,则不等式f(x)3x1的解集为 .
3
10. 在同一平面直角坐标系中,已知函数yf(x)的图象与ye的图象关于直线yx对称,则函数yf(x)对应的曲线在点(e,f(e))处的切线方程为 ▲ .
11.设曲线yxn1x(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令
a99的值为 . (2009陕西卷理)
anlgxn,则a1a2
三、解答题
12.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx1(1k2)x2(k0)表示的20曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
O (第17题) x(千米)
y(千米) 【答案及解析】
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时,要注意增根的取舍,通过平面几何图形考查函数问题时,首先审清题目,然后建立数学模型,接着求解数学模型,最后,还原为实际问题.本题属于中档题,难度适中.
13.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查投入广告费t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5).
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?
(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术1
改造费x(百万元),可增加的销售额约为-3x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大?(注:收益=销售额-投放).
14.设函数f(x)axbxc(a0)为奇函数,其图像在点(1,f(1))处的切线与直线
3x6y70垂直,导函数f(x)的最小值为-12。⑴、求a,b,c的值⑵、求函数f(x)的
单调递增区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大、最小值。
15.设函数f(x)x3axb(a0).
(Ⅰ)若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切,求a,b的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.
16.要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐(如图),设计要求:圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等,都为r米.市场上,圆柱侧面用料单价为每平方米a元,圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍.设圆锥母线和底面所成角为(弧度),总费用为y(元). (1)写出的取值范围;
(2)将y表示成的函数关系式; (3)当为何值时,总费用y最小?
17.已知函数fxa|x|2ax3a0,a1,
(1)若a1,且关于x的方程fxm有两个不同的正数解,求实数m的取值范围; (2)记函数gxfx,x2,,若gx的最值与a无关,求a的取值范围. 关键字:含绝对值;指数函数;有解问题;数形结合;求参数的取值范围;求函数的最值;分类讨论
18.甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方
索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x2000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方
s元(以下s为赔付价格).
(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?
19.已知函数f(x)exax1(aR,且a为常数). (1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a0时,若方程f(x)0只有一解,求a的值; (3)若对所有x≥0都有f(x)≥f(x),求a的取值范围.
220.已知函数f(x)18)
2xb,求导函数f(x),并确定f(x)的单调区间.(北京卷2(x1)21. 若函数f(x)在(0,)上恒有xf(x)f(x)成立(其中f(x)为f(x)的导函数),则称这类函数为A类函数.
(1) 若函数g(x)x1,试判断g(x)是否为A类函数; (2) 若函数h(x)ax3lnx(3) 若函数
2,,1a是A类函数,求函数h(x)的单调区间; x类函数,当
f(x)是
A
x10,x20时,证明
f(x1)f(x2)f(x1)f(x2). (本小题满分16分)
22.如图为河岸一段的示意图,一游泳者站在河岸的A点处,欲前往河对岸的C点处.若河宽BC为100m,A、B相距100m,他希望尽快到达C,准备从A步行到E(E为河岸AB上的点),再从E游到C.已知此人步行速度为v,游泳速度为0.5v ,
⑴ 设BEC,试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为的函数;并求自变量
的取值范围;
⑵ 当为何值时,此人从A经E游到C所需时间T最小,其最小值是多少?(本题满分16
分)
A E θ B 32C 23.已知实数a,b,cR,函数f(x)axbxcx满足f(1)0,设f(x)的导函数为f(x),满足f(0)f(1)0. (1)求
c的取值范围; a(2)设a为常数,且a0,已知函数f(x)的两个极值点为x1,x2,A(x1,f(x1)),
2aaB(x2,f(x2)),求证:直线AB的斜率k,.(本小题满分14分)
69
an2111111124.○2(法一)an2,1,1, 22an1an11anan1an1anan1an1111an111an1111an1an12111an(1111)an1an1111an11, 1an1an1(n2),……14分
Sai1(i2i2n1n1111ai1111ai)111a1111an11an1,……15分
1an10an1ana1 S1n11.……16分
1an12an2111(法二)an2……13分 11an1an1111122an1an1an1an1 1111……14分 an1111111(1)12an1an1an1an1an2an2
an1an211an312an3an1an2a1111a1……15分
1an1an2a1, Sna1a2an1.……16分
【说明】本题以高等数学中不动点、函数迭代等理论为背景,考查函数的图象与性质、导数的运算与应用;考查函数思想;考查推理论证能力、运算能力. 其中第2问证法较多. 本题可以进一步设计证明
an111n. 如令bn,可证明对任意正整数m,n有bm,bn互素.
1an12an25.已知函数f(x)xax(x0且x≠1). lnx(1)若函数f(x)在(1,)上为减函数,求实数a的最小值;
(2)若x1,x2[e,e2],使f(x1)≤f(x2)a成立,求实数a的取值范围.
26.设函数f(x)lnxax,g(x)eax,其中a为实数.
(1)若f(x)在(1,)上是单调减函数,且g(x)在(1,)上有最小值,求a的取值范围;
(2)若g(x)在(1,)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.(本小题满分16分)
xa227. 已知函数fxx,gxxlnx,其中a0.
x(1)若x1是函数hxfxgx的极值点,求实数a的值;
(2)若对任意的x1,x21,e(e为自然对数的底数)都有fx1≥gx2成立,求实数a的取值范围. .
28.已知函数f(x)a311x(a1)x2x. 323(1)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为9xyb0,求实数a,b的值;
(2)若a≤0,求f(x)的单调减区间;
(3)对一切实数a(0,1),求f(x)的极小值的最大值.(本小题满分16分)
29.(1)求f(x)=x3﹣x2+1在点(1,1)处的切线方程 (2)求f(x)=x3﹣x2+1过点(1,1)的切线方程.(15分)
30.已知函数f(x)alnx1,a为常数。 a(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x2y50垂直,求实数a的值。 (2)求f(x)的单调区间。
(3)当x1时,f(x)2x3恒成立,求实数a的取值范围。
关键字:对数;切线满足条件;求导;求参数的值;求参数的取值范围;求单调区间;恒成立问题;不能参变分离
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