加减法填空格
例1 在图6一l算式的每个空格中，各填入一个合适的数字，使竖式成立．
答案 981+959=1940．
分析 这是一个加法竖式的数字谜问题，可以依据加法的 运算规则来进行推理，在推理的过程中尤其要注意“进位”．
在本题中，最重要的信息来自于加法竖式的中间那一列：8、5、4．
详解 我们先看竖式的中间一列．因为8+5=13，而总和的十位数为4，这说明两个加数的个位数相加一定有“进位”，否则，和的十位数就应该等于3．因为第一个加数的个位 是1，所以第二个加数的个位数只能等于9，这样才能保证两个个位数相加有“进位”．于是和的个位数等于0．
再看百位数．两个百位数相加之后，再加上由十位“进位”而得的1，最大只能是19，而总和的百位数等于9，那么千位数只能等于1．于是，两个加数的百位数相加等于19—1=18， 所以两个加数的百位数都只能等于9．
由此可知，最终的答案为 981+959=1940．
评注 在加法竖式的数字谜问题中，最有价值的信息就来自于“进位”．因此在解这类题的时候，应该首先找到有“进位”的地方．找到有“进位”的地方之后，注意这些地方的 前后联系，结合题中已给出的数字，挖掘出数字特征，得出更多有用的信息．
例2 在如图6-2所示的算式中，三个加数的各位数字均是某两个 相邻数字中的一个．那么这个算式的计算结果可能是多少?
答案 1965、1975、1985、1995．
分析 三个加数的各位数字均是某两个柑邻数字中的一个，由这竹条件注意到和数的个位为5，前两位为19，可以推出曲个相邻的数字是什么．
详解 和数的前两位为19且三个加数的各位数字都是某两个相邻数字中的一个，则知三个加数的百位数字只可能是6,6、5或6,6、6或6,6、7．如果三个加数的百位数字是6,6、5，那么十位必须有2个进位，但是66+66+66=198<200，不可能有2个进位；如果三个加数的百位数字分别是6,6、7，那么由6和7不可能使得和数的个位为5，所以三个加数的百位数字一定是6,6、6，并且题中的“两个相邻数字”是5和6，三个加数的个位数字分别是5、5、5．再看三个加数的十位数字，有四种情况，分别是：5、5、5：5、5、6；5、6、6和6,6、6．此时对应的和数分别为：1965、1975、1985、1995． 评注 在本题中利用和数所提供的信息，判断出加数的各位数字，重要的是要善于提取题中的隐含信息，迅速找到突破口．这就要求对基础知识熟练掌握运用自如．并且有很强的分析能力．
例3 在图6-3所示的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字．那么被盖住的四个数字的总和等于多少?
答案 23．
分析 本题并不是要求我们将竖式补充完整，而是求出所填的四个数字的总和．利用加法的运算规则，可以知道两个加数的个位数的和与十位数的和，于是就可以进一步求出所 填的四个数字的和．
本题最关键的一步就是要判断两个个位数相加是否有 “进位”．判断的依据就是和数的个位数字9．
详解 先看个位．两个个位数字相加，最大只能是18，即9+9=18，可是题中和的个位数字等于9．由此可知，两个个位数字相加没有“进位”，和为9．
因为个位没有“进位”，所以两个十位数字相加的和等于14． 综上所述，被盖住的四个数字的总和=两个加数的个位数字的和+两个加数的十位数字的和=9+14=23．
评注 两个数字相加最大只可能是18，如果出现了一个9的话，那么两个数字相加就等于9或者19．本题就是两个数字相加等于9的情况．如果两个数字相加等于19，那么一定是有“进位”的情况，例1就是这种情形．
例4 请把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字分别填到图6-6所示的方框内，要
求图中每个数位上的数字第二排比第一排大，第三排比第二排大．问：这样的排列方法共有多少种?
答案 5种．
分析 先对已知条件进行分析，然后用枚举法．因为只能填1～9这九个数字，且不能重复，所以这九个数字的和等于． 1+2+3+…+8+9=45， 而45=8+18+19．
由竖式可知，只可能是下面这种情况：三个个位数字之和．为19，十位数字之和为18，百位数字之和为8．这样才能使得三个加数之和等于999． 然后利用已知条件，可以用枚举法列出排列的方法．
详解 由分析可知：个位数字、十位数字、百位数字之和分别为19、18、8．
因为8最小，所以先看三个数字相加等于8的情况，只有两种情形：1+2+5=8，1+3+4：8．因为图中每个数位上的数字第二排比第一排大，第三排比第二排大，所以百位数字 只有两种排法．因此下面只要用枚举法排出十位数字与个位数字，使得三个十位数字之和与三个个位数字之和分别为18和19．
①百位数字为1、2、5的情形．此时有三种排列方法能使竖式成立：
②百位数字为1、3、4的情形．此时有两种排列方法：
所以，一共有五种排列方法．
评注 在利用枚举法的时候，一定要先对题目条件进行仔细分析，缩小枚举范围，减小枚举的工作量．第二，在枚举的时候一定要全面考虑，不要遗漏某些情况．第三，枚举完之后。 一定要认真检查在枚举过程中是否有错误，是否有遗漏的现象．
例5 在图6-5所示的竖式方框内填入4至9中的适当数字，使
得第一个加数的各位数字互不相同，并且组成它的四个数字与组成第二个加数的四个数字相同，只是排列顺序不同．
答案4859+4598=9457．
分析 这是_道很好的数字谜问题，对分析推理能力要求很高． 因为方框内只能填入4至9中的数字，而两个加数的干位数字相加没有进位，这是一条很重要的信息．
和的个位数字为7，而只有9+8=17满足条件．再根据两个加位的四个数字都相同，只是排列顺序不同，即可推出答案．
详解 由分析中可知，两个加数的个位数字，一个为9。一个为8．
因为和的百位数字为4，所以在干位上一定有进位．因为方框中的数字只能填4至9中的数字，要使得干位上相加没有进位，则两个加数的千位数字都只能等于4，而和的千位数字为9．此时，该数字谜问题转化为如图6-6这样的一个问题． 因为两个加数的四个数字都相同，所以第二个加数的百位数字和十位数字有一个必然等于9．
如果第二个加数的百位数字为9，那么不管怎么填，都不能使得和数的百位数字为4．这是因为：第一个加数的百位数字最小只能填5，9+5=14，但是在十位上，两个加数的十位 数字相加一定会有进位，这样就使得和的百位数字不等于4．
于是第二个加数的十位数字等于9，并且我们可以知道，两个加数的百位数字相加等于13(14-1=13)．
如果第一个加数的十位数字为8，那么两个加数的百位数字必然相同，两个百位数字的和一定是个偶数，不可能等于13，所以第一个加数的百位数字一定等于8．
因为8+5=13，所以第二个加数的百位为5，于是第一个加数的十位也等于5． 因此最终答案为：4859+4598=9457．
评注 本题中使用了一种方法叫“反证法”，即先假设一个结论成立，推出一个结果，与已知条件矛盾或不相符，从而否认假设．在本题中，我们假设第二个加数的百位数字为9， 然后推出和的百位数字不可能等于4，与已知不相等，从而我们可以知道第二个加数的百位数字不等于9．我们后来又用了一次反证法．
当遇到有些问题从正面不好证时，就使用反证法，推翻一个假设之后，就只剩下正面的一种情况了，这样会使问题变得简单明了．
由加法的运算性质，最终答案也可以写成：4598+4859=9457．
例6在图6—7的方框内填入适 当的数字，使减法竖式成立．
答案 2909—1798=1111．
分析 这是一道减法竖式的数字谜问题，利用减法的运算规则，仔细推理，即可得出答案．
在解题过程中特别要注意“借位”的情况，与加法中的“进位”是相反的． 详解 先看个位：9-8：1，所以减数的个位是8．
再看十位：一个数减去9等于1，那么肯定被减数的十位是0，从百位上“借”了一位． 然后看百位：被减数的百位已经被“借”走了1，只剩下8，所以减数的百位是7． 最后，被减数的千位应该等于2． 结果为：2909—1798=1111．
评注 处理这样的问题，要一步一步地仔细分析，利用减法的性质．更 要注意“借位”的情形．在小数减大数的情形下会发生“借位”，而“借位”之后，高位的数字就应该减1，然后再进行下一步的运算．这种前后联系的思想很重要．
例7 图6-8是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这六个方框中的数字的连乘积等于多少?
答案 0．
分析 在减法竖式中，8和9都是比较大的数字，尤其出现在差数的首位时，应特别注意．
本题只要求所填数字的连乘积．实际上要将六个未知的数字完全确定下来是不可能的，有两个个位数字是确定不了的．
详解 先看百位：两个数字相减等于8，且两个数字都不能为0，所以只可能是9一i：8，而且不可能借位给十位．
再看十位：因为不能从百位数字借位，所以十位上只可能是9-0=9，即减数的十位数字等于0．
于是，六个方框中的数字的连乘积一定等于0，而不管两个个位数字是什么数．
评注 对于这类题型，存在不能确定的情形，那么一定会有特殊的情况．而我们就是要找出这种特殊的情况，得出答案．
这里特殊情况正好与借位有关，正因为不能从高位借位，所以出现了这种情况．而不能借位的原因正是因为竖式前后联系非常紧密．
例8 在图6-9算式的各个方格内分别填入适当的数字，使其成为一个正确的等式．那么所填的七个数字之和最大可能是多少?
分析 要使所填的七个数字之和达到最大，那么在每个方框内要填尽量大的数，而且要保证竖式成立，在填数的过程中还要注意“借位”的情况． 详解 先看个位：很明显，9—7=2，这样填可以使得个 位上所填的两个数之和达到最大． ．
在十位上，或者是9—3=6，或者是15—9=6．显然在 十位上填5和9较好，此时向百位借了一位．
在百位上肯定是17—9=8比较好，本应该填7和9，可 是已经向十位借了一位，因此应该填8和9． 千位上应填4．
真好后算式为：4859—997=3862．
这样所填七个数字之和达到最大为51．
评注 本题是有目的的枚举，为的是使所填数字之和尽量大． 在填数的过程中，不仅要考虑每个数位上所填数字尽量大，也要考虑数位之间借位的关系，相互协调．因为在某些情况下，借位会使得数字之和减小．这体现了从整体考虑问题的 思想．
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