2019年高考数学总复习专题基本不等式及其应用导学案理

第四节 基本不等式及其应用

最新考纲

1.了解基本不等式的证明过程；

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识梳理 1.重要不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)．

2.基本不等式：ab≤

a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数. 基本不等式可叙述为两个正

数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3.几个重要的不等式

(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

2

2

a＋b(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤

2

(3)

2

a2＋b2a＋b2

2

≥

(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 2

(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 4.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).

45.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)＞A在区间D上恒成立⇔f(x)min＞A；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)＜B在区间D上恒成立⇔f(x)max＜B.

(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)＞A成立⇔f(x)max＞A；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)＜B成立⇔f(x)min＜B. (3)恰成立问题：不等式f(x)＞A恰在区间D上成立⇔f(x)＞A的解集为D； 不等式f(x)＜B恰在区间D上成立⇔f(x)＜B的解集为D. 典型例题

baabs2

考点一 利用基本不等式证明不等式的方法

yzxzxy【例1】 已知x＞0，y＞0，z＞0，求证：＋＋＋≥8.

xxyyzz

xyyyz2yzxz2xzxy2xy【证明 】∵x＞0，y＞0，z＞0，∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，

xxyzzzyzxzxy8yz·xz·xy＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立． ∴＋＋＋≥

xyzxxyyzz

规律方法 (1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．

111

【变式训练1】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.

abc【证明 】∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，

111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cbcacab∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋

abcabcaabbcc1bacacb＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．

3abacbc

考点二 直接法或配凑法求最值

【例2】(1)已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( ) 113

A． B． C． 324【答案】C

【解析】∵02

D． 3

x＋－x2＝3，

42

1

当且仅当x＝1－x，即x＝时，“＝”成立．

2(2)若函数f(x)＝x＋

1

(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( ) x－2

A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4 【答案】C

【解析】∵x>2，∴x－2>0， ∴f(x)＝x＋

11＝(x－2)＋＋2≥2·x－2x－2

x－

1

＋2＝2＋2＝4， x－2

当且仅当x－2＝

12

，即(x－2)＝1时，等号成立， x－2

∴x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，即a＝3.

51

(3)已知x＜，求f(x)＝4x－2＋的最大值；

44x－5

5

(4) 设0225

【答案】 2

52x＋5－2x2＝25，

【解析】因为00，所以y＝4x(5－2x)＝2×2x(5－2x)≤2222525当且仅当2x＝5－2x，即x＝时等号成立，故函数y＝4x(5－2x)的最大值为.

42

规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.

(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.

12

【变式训练2】(1)[2015·湖南高考]若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( )

ab

【答案】C

A．2 B．2 C．22 D．4

1212

【解析】由＋＝ab知a>0，b>0，所以ab＝＋≥2

2

ababab，即ab≥22，

ab当且仅当12

a＋b＝12＝，ab，

即a＝

4

2，b＝2

4

2时取

“＝”，所以ab的最小值为22.

(2)若对任意的x≥1，不等式x＋1【答案】－∞，. 2

1

－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________. x＋1

x2＋2

(3)函数y＝(x>1)的最小值为________.

x－1

【答案】23＋2.

x2＋2（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3

【解析】y＝＝

x－1x－1

（x－1）＋2（x－1）＋33

＝＝(x－1)＋＋2≥23＋2.

x－1x－1当且仅当x－1＝

3

，即x＝3＋1时，等号成立. x－1

2

考点三 常数代换或消元法求最值

12

【例3】（1）已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋的最小值为____.

mn【答案】8.

【解析】∵2m＋n＝1，

1212n4m∴＋＝(＋)·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2

mnmnmnn4m·＝8. mn当且仅当＝n4m11

，即n＝，m＝时，“＝”成立． mn24

(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________. 【答案】5.

13

【解析】法一 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，

5y5x∴3x＋4y＝(3x＋4y)

1＋3＝9＋4＋3x＋12y≥13＋12＝5,

5y5x555y5x55

3x12y1

当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立，∴3x＋4y的最小值是5.

5y5x2法二 由x＋3y＝5xy，得x＝

3y1

，∵x>0，y>0，∴y>， 5y－15

1194

13y－＋＋－4y55559y1391∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4y－

5y－155151y－5y－55≥13＋25

361

＝5，当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5. 252

(3)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. 【答案】6.

9－3y【解析】)由已知得x＝. 1＋y法一 (消元法)

9－3y因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，所以x＋3y＝＋3y

1＋y＝

12

＋3(y＋1)－6≥21＋y12

·3（y＋1）－6＝6， 1＋y12

当且仅当＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.

1＋y法二 ∵x＞0，y＞0，

11x＋3y2

9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，

332当且仅当x＝3y时等号成立.

设x＋3y＝t＞0，则t＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0，

又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6 11

（4）已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

2

ab【答案】4.

【解析】 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， 11a＋ba＋bba∴＋＝＋＝2＋＋ ababab≥2＋2

ba111

·＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立． abab2

11【题点发散1】本例的条件不变，则1＋1＋的最小值为____

ab

【答案】9.

11a＋b·1＋a＋b＝2＋b·2＋a＝5＋2b＋a≥5＋4＝9，当且仅当a＝b【解析】1＋1＋＝1＋

a

b

a

b

a

b

ab

1

＝时，取等号． 2

【题点发散2】若将本例中的“a＋b＝1”换为“a＋2b＝3”，如何求解？ 22

【答案】1＋. 3

12

【解析】∵a＋2b＝3，∴a＋b＝1.

33111112∴＋＝＋a＋b abab3312a2b＝＋＋＋≥1＋2333b3a2ab22

＝1＋. 9ab3

当且仅当a＝2b＝32－3时，取等号． 1122

故＋的最小值为1＋. ab3规律方法 求条件最值注意的问题

(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能灵活进行转化； (2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元法．

y＝x＋

100

＋1.5≥2xx·

100

x＋1.5＝21.5，

100

当且仅当x＝，即x＝10时取等号．

x故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备． 课堂总结

1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.

2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：

a＋b≤a＋b，ab≤a＋b≤ab≤222

的条件.

2

22

a2＋b2

2

(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立

3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性. 课后作业

1.已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为________．

mx

1

【答案】. 16

【解析】法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥24ab＝4ab，

111111

当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立．∴ab≤，∴ab≤.∴ab的最大值为.

28241616114a＋b1

法二：∵4a＋b＝1，∴ab＝·4a·b≤＝， 44216

1111当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝(满足a＞0，b＞0)时，等号成立，∴ab的最大值为. 282162.[2017·山东高考]若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________． 【答案】8.

2

xyabxy12

【解析】∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，∴＋＝1，

ababa4ab12∴2a＋b＝(2a＋b)＋＝4＋＋≥4＋2

4ab·＝8，

ab

bab当且仅当＝b4a，即a＝2，b＝4时，等号成立．故2a＋b的最小值为8. ab2

3.已知正数x，y满足x＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________． 【答案】3.

3－x31313x3

【解析】由x＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2

2x2x22x222x2

2

3x3

·＝3，当且22x仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.

4.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82 【答案】C. 【解析】xy≤

xyx＋y2＝182＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.

22

5．若2＋4＝4，则x＋2y的最大值是___. 【答案】2.

【解析】因为4＝2＋4＝2＋2≥22×2＝22＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.

6．[2017·江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． 【答案】 30

xyx2yx2yx＋2y，所以2

x＋2y≤4＝2，即x＋2y≤2，当且仅当2＝2

2x2y

7．函数y＝2x＋1

(x>1)的最小值为________． x－1

【答案】 22＋2 【解析】 因为y＝2x＋＋2.当且仅当x＝1＋

111

(x>1)，所以y＝2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2x－1x－1x－1

x－

1

＝22x－1

21时取等号，故函数y＝2x＋(x>1)的最小值为22＋2. 2x－1

2

2

8．若正数x，y满足4x＋9y＋3xy＝30，则xy的最大值是 4

A. 3【答案】C

5

B. 3

C．2

5 D. 4

( )

【解析】由x＞0，y＞0，得4x＋9y＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.

22

x2＋2

9．函数y＝^(x>1)的最小值是( )

x－1

A．23＋2 B．23－2 C．23 【答案】A

【解析】 ∵x＞1，∴x－1＞0.

D．2

x2＋2x2－2x＋2x＋2x2－2x＋1＋x－∴y＝＝＝

x－1x－1x－1

＝

＋3

x－

2

＋x－x－1＋33＝x－1＋＋2≥2x－1

x－

3＋2＝23＋2. x－1

当且仅当x－1＝

3

，即x＝1＋3时，取等号． x－1

38

10．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；

22x－3(2)设0【答案】(1)－；(2)2.

2

－2x的最大值．

3

【解析】 (1)∵x<，∴2x－3<0，∴3－2x>0，

21831∴y＝(2x－3)＋＋＝－

22x－3221≤－·2

2

－2x163

－2x＋＋

3－2x2

16335

＋＝－4＋＝－， 3－2x222

16155

当且仅当3－2x＝，即x＝－时，ymax＝－.∴函数y的最大值为－.

3－2x222(2)∵00， ∴y＝x－2x＝

1

·2x2

－2x≤

12x＋4－2x2＝2， 22

当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，ymax＝2. 11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 【答案】(1)64；(2)18.

【解析】(1)∵x>0，y>0,2x＋8y－xy＝0， ∴xy＝2x＋8y≥216xy＝8xy，

∴xy(xy－8)≥0，又xy≥0，∴xy≥8即xy≥64.

当且仅当x＝4y即8y＋8y－4y＝0时，即y＝4，x＝16时取等号，∴xy的最小值为64. 28

(2)∵2x＋8y＝xy>0，∴＋＝1，

2

yx2x8y28∴x＋y＝(x＋y)＋＝10＋＋≥10＋2

yx

yx2x8y·＝18.

yx2x8y2

当且仅当＝，即x＝2y即4y＋8y－2y＝0时，即y＝6，x＝12时取等号，

yx∴x＋y的最小值为18.

12.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求： (1)ab的取值范围； (2)a＋b的取值范围．

13．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元． (1)试将y表示成x的函数；

(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？

96 000【答案】(1) y＝＋240x－160(0＜x＜240)；(2) 需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9

2

x440万.

【解析】 (1)设需要修建k个增压站， 240

则(k＋1)x＝240，即k＝－1，

x所以y＝400k＋(k＋1)(x＋x)＝400·

2

240－1＋240(x2＋x)＝96 000＋240x－160.

xxx

因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x＜240. 故y与x的函数关系是y＝(2)y＝

96 000

＋240x－160(0＜x＜240)．

x96 000

＋240x－160≥2

x96 00096 000

·240x－160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当＝240x，

xx240240

即x＝20时等号成立，此时k＝－1＝－1＝11.

x20故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9 440万