高考数学命题热点名师解密：专题(30)不等式的性质的解题技巧(文)

一．【学习目标】

1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用． 二．【知识要点】

1．不等式的定义

用不等号“>，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式．

2．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a－b>0⇔a >b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a 3．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b < a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a >c；

(3)可加性：a>b⇔a+c>b+c；a>b，c>d⇒a+c>b+d；

(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac < bc；a>b>0，

c>d>0⇒ac>bd；

(5)倒数法则：a>b，ab>0⇒

n11

； ab

n*

(6)乘方性质：a>b>0⇒ab (n≥2，n∈N)； (7)开方性质：a>b>0⇒

nanb (n≥2，n∈N*)；

(8)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质：<

bb＋m； aa＋mbb－m>(b－m>0)； aa－m②假分数的性质：>

aa＋m； bb＋maa－m<(b－m>0)． bb－m4．基本不等式 (1)a＋b≥2ab；变式：

2

2

a2＋b2

2

≥ab；当且仅当a＝b时等号成立；

2

a＋b，当且

(2)如果a≥0，b≥0，则≥ab；变式：ab≤22

a＋b仅当a＝b时，等号成立，其中

a＋b2

叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．

a＋b＝P可5．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，则由ab≤

24

知，当a＝b时，ab有最大值；

4

(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，则由a＋b≥2ab＝2S可知，当a＝b时，a＋b有最小值2S. 三．典例分析

（一）由已知条件判断不等式 例1．已知条件甲：

，条件乙：

且

，则甲是乙的（ ）

2

2

P2

（2）设数列的前n项和为，证明．

【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】（1）由题意得，由

可得

，即

，

， ，

由，得，故

.

（2）由题意得

，所以

①，

由和得，，

所以，因此②，

由①②得，所以

练习2．选修4-5：不等式选讲 已知a,b为任意实数. （1）求证：

；

（2）求函数的最小

值.

【答案】（1）见解析（2）1 【

解

析

】

（

1

）

ab，

因为ab0， 所以（2）

.

.

即fmaxx1.

点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解． （六）利用不等式求范围

例6．已知函数f（x）=x-ax，h（x）=-3x+2，其中a＞1．设不等式f （1）+f（-1）≥2|x|的解集为A． （Ⅰ）求集合A；

（Ⅱ）若对任意x1∈A，存在x2∈A，满足2f（x1）=h（x2），求a的取值范围．

【答案】（Ⅰ）A=[-1，1] （Ⅱ）（1，

]

2

44【解析】（Ⅰ）f（1）+f（-1）≥2|x|可化为|x|≤1，解得-1≤x≤1， ∴A=[-1，1]

（Ⅱ）h（x）=-3x+2在[-1，1]上是递减函数，所以h（x）的值域为[-1，5]

f（x）=x2-ax的对称轴为x=，（a＞1）

当＞1即a＞2时，f（x）在[-1，1]上递减，值域为[1-a，1+a]， 2f（x）的值域为[2-2a，2+2a]，依题意[2-2a，2+2a]⊆[-1，5]， ∴

，解得a矛盾，舍去

当≤1，即1＜a≤2时，f（x）min=f（）=-，f（x）max=max{1-a，1+a}

依题意解得1＜a]

故所求a的取值范围是（1，练习1．已知的取值范围. 【答案】

,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)

【解析】由题意得

解得所以

,

因为因为两式相加得练习2．设不等式（Ⅰ）求集合； （Ⅱ）若范围. 【答案】(Ⅰ)

，所以，所以

，故

； 。 的取值范围是的解集为.

.

，不等式恒成立，求实数的取值

；(Ⅱ).

【解析】（Ⅰ）令由

得

，

，

解得∴

．

.

，的

，

，

，

，

，

.

．

，

（Ⅱ）由不等式令要使则整理得∴解得

∴实数的取值范围

点睛：（1）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．

（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． 练习3．已知函数

的定义域为D，其中a为常数；

（1）若DR，且fx是奇函数，求a的值；

（2）若a1， D1,0，函数fx的最小值是ga，求ga的最大值；

（3）若a0，在0,a上存在n个点xi，满足

x10， xna，

，

使

得，

求实数a的取值范围；

【答案】(1) a0 (2) (3) a4

【解析】（1）因为函数为奇函数，根据奇函数定义可得可得

对任意xR恒成立，变形可得ax0对任意

xR恒成立，可求a0；(2)将函数

的解析式讨论

去掉绝对值号，。两段函

数的对称轴都为xa，因为2。讨论

a与-1的大小，2可得两段二次函数在区间1,0上的单调性，求得最小值。得最小值

，求两段的取值范围，取较大的为最大值。（3）由（2）

可知fx在0，上单调递增，在，a上单调递减，所以22aa，由绝对值不等式可得

，所以

a28，解得a4为所求. ，整理得2对任意

试题解析：解：(1)∵fx是奇函数，∴

xR恒成立，

∴(2)

，即ax0对任意xR恒成立，∴a0；

，

∵a1，∴

，∴，

x10，

(3)∵a0，且fx在0，上单调递增，在，a上单调递减，

22aa∴而

要使满足条件的点存在，必须且只需，即

a28，解得a4为所求. 2【点睛】1、函数为奇函数，求解析式中字母的值：方法一，奇函数定义

；方法二，定义域中特殊的自变量x0,x0 ， ；方法三，如定义域中含有0，则f00。2、

解析式含绝对值的函数，求最值时，应讨论去掉绝对值号，转化为分段函数求最值。3、二次函数求最值，当对称轴不确定时，应讨论定义域端点的大小，判断函数的单调性求最值。

b与2a