一.填空题（本大题共10题，每题4分，共40分） 1．
2．过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程 ． 3．已知 4．若
5．已知直线l的一个法向量是为 ．
6．已知直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8=0，直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16=0，若l1与l2平行，则t= ．
7．设无穷等比数列{an}的公比q，若
8．设等边三角形ABC的边长为6，若
9．已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且则△ABC的面积是 ．
=λ
+
（λ∈R），
，
，则
= ． ，则q= ．
，则此直线的倾斜角的大小
，
，且
与垂直，则向量与的夹角大小为 ．
，
，则
= ．
= ．
1
10．定义函数f（x）={x．{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4）=2，{﹣2.3}=﹣2．当x∈（0，n]（n∈N）时，函数f（x）的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则
二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 11．在边长为1的正六边形A1A2A3A4A5A6中，A． 12．已知an=
，Sn是数列{an}的前n项和（ ）
B．﹣ C．
D．﹣
的值为（ ）
（
+
+…+
）= ．
*
A．B．C．D．
和和存在，不存在，
都存在 都不存在
不存在 存在
13．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为（ ） A．
14．设θ为两个非零向量（ ） A．若θ确定，则C．若
三.解答题（本大题共4题，共10+10+12+12=44分）
15．在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（4，﹣1），P（2，0），求：
2
B． C． D．
的夹角，已知对任意实数t，的最小值是2，则
唯一确定 B．若θ确定，则D．若
唯一确定
确定，则θ唯一确定 确定，则θ唯一确定
（1）的值；
（2）∠APB的大小．
16．己知两点A（2，1），B（m，4），求 （1）直线AB的斜率和直线AB的方程； （2）已知m∈[2﹣
17．数列{an}满足a1=1，a2=7，令bn=an•an+1，{bn}是公比为q（q＞0）的等比数列，设cn=a2n
﹣1
，2+3]，求直线AB的倾斜角α的范围．
+a2n；
（n∈N）；
的值．
*
（1）求证：
（2）设{cn}的前n项和为Sn，求
18．定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为
（n∈N）．
，求{an}的通项公式；
*
（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn=1，当n为偶数时，bn=2．若Tn为{bn}前n项的倒平均数，求
；
（3）设函数f（x）=﹣x2+4x，对（1）中的数列{an}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤
四.附加题（本大题共2题，共10+10=20分） 19．对于一组向量在
（p∈{1，2，3…，n}），使得|
=（n，n+x）（n∈N*），若
|≥|
（n∈N），令﹣
*
对任意n∈N恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
*
=+++…+，如果存
|，那么称是该向量组的“h向量”； 的“h向量”，求x的范
（1）设围；
是向量组
3
（2）若
（n∈N*）是否存在“h向量”？ 给出你的结论并说明理由．
（n∈N），向量组
*
20．等差数列{xn}的前n项和记为Sn，等比数列{bn}的前n项和记为Tn，已知x3=5，S3为9，b2=x2+1，∅（lim，n→∞） Tn=16． （1）求数列{xn}的通项xn；
（2）设Mn=lgb1+lgb2+…+lgbn，求Mn的最大值及此时的n的值； （3）判别方程sin2xn+xncosxn+1=Sn是否有解，说明理由．
4
2015-2016学年上海实验学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共10题，每题4分，共40分） 1．
= 1 ．
【考点】极限及其运算． 【专题】导数的综合应用．
【分析】变形利用数列极限的运算法则即可得出． 【解答】解：原式=故答案为：1．
【点评】本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．
2．过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程 x﹣2y﹣1=0 ． 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】直线与圆．
【分析】方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于﹣1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程；
方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程．
【解答】解：方法一，直线2x+y=0的斜率是﹣2， 则与这条直线垂直的直线方程的斜率是， ∴过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线方程为 y﹣0=（x﹣1）， 即x﹣2y﹣1=0；
方法二，设与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+a=0， 且该垂线过过点（1，0），
5
=1，
∴1×1﹣2×0+a=0，解得a=﹣1， ∴这条垂线的直线方程为x﹣2y﹣1=0． 故答案为：x﹣2y﹣1=0．
【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目． 3．已知
，
，则
=
．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【专题】计算题．
【分析】先根据向量的基本运算得到2﹣的坐标表示，再代入向量的模长计算公式即可． 【解答】解∵
，
，
∴2﹣=2（﹣4，5）﹣（﹣2，4）=（﹣6，6）； ∴
=
=6．
．
故答案为； 6
【点评】本题主要考察平面向量数量积的坐标表示、模长计算，考察计算能力，属于基础题． 4．若
，
，且
与垂直，则向量与的夹角大小为
．
【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题．
【分析】利用两个向量垂直的性质可得（值．
【解答】解：设向量与的夹角大小为θ，则由题意可得（+=1+1×2×cosθ=0， ∴cosθ=﹣．
再由 0≤θ＜π可得 θ=故答案为
．
，
）•=
+
）•=0，求得cosθ 的值，进而求得θ的
6
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题．
5．已知直线l的一个法向量是【考点】直线的斜率． 【专题】直线与圆．
【分析】设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α．利用【解答】解：设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α． 则∴∴α=
=a﹣
b=0，
=0，即可得出．
，则此直线的倾斜角的大小为
．
=tanα， ，
．
故答案为：
【点评】本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．
6．已知直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8=0，直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16=0，若l1与l2平行，则t= ﹣5 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．
【分析】由平行关系可得6×（t+6）=（t+4）（t﹣1），解方程验证排除重合可得． 【解答】解：由题意可得6×（t+6）=（t+4）（t﹣1）， 解方程可得t=﹣5或t=8， 经验证t=8时直线重合，应舍去 故当t=﹣5时，两直线平行． 故答案为：﹣5．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
7．设无穷等比数列{an}的公比q，若
，则q= ．
7
【考点】数列的极限．
【专题】极限思想；分析法；等差数列与等比数列．
【分析】由于q为无穷等比数列{an}的公比，即有0＜|q|＜1，由无穷等比数列的极限公式可得
（a3+a4+…+an）=
，再由等比数列的通项公式，解方程可得公比q．
【解答】解：由于q为无穷等比数列{an}的公比，即有0＜|q|＜1， 由
，可得
a1==，
即为q2+q﹣1=0， 解得q=故答案为：
（
．
舍去），
【点评】本题考查数列的极限的求法，注意运用无穷等比数列的极限公式，考查运算能力，属于中档题．
8．设等边三角形ABC的边长为6，若【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；平面向量及应用． 【分析】由已知得
=
，
=
，由此能求出
，
的值．
，
，则
= ﹣18 ．
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为6，∴D为AC中点，∴∵∴==﹣36+=﹣36+6+9+3 =﹣18．
=， ，
，∴=（+
=
）（+
+
） +
+
8
故答案为：﹣18．
【点评】本题考查向量数量积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法和向量数量积公式的合理运用．
9．已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且则△ABC的面积是
或
．
=λ
+
（λ∈R），
【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】平面向量及应用．
【分析】设AC的中点为D，根据条件和O是△ABC的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，求出求出
sin∠BAC，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积；当λ=0时，AB⊥BC，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出△ABC的面积．
【解答】解：如图：O是△ABC的外心，设AC的中点为D， ∵∴=则∴
，
，即B、O、D三点共线．
=
=
，
=
， ，
=
，可得BD⊥AC和B、O、D三点共线，在直角三角形中
∵O是△ABC的外心，∴OD⊥AC，则BD⊥AC，∴sin∠BAC=
9
∴△ABC的面积S=当λ=0时，此时∴△ABC的面积S=综上可得，△ABC的面积是故答案为：
或
．
或，即AB⊥BC，
=
=；
=，
【点评】本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题．
10．定义函数f（x）={x．{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4）=2，{﹣2.3}=﹣2．当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则
（
+
+…+
）= 2 ．
【考点】极限及其运算． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据{x}的定义、f（x）={x•{x}}，依次求出数列{an}的前5项，再归纳出an=an﹣1+n，利用累加法求出an，再利用裂项相消法求出 1 a1 + 1 a2 +…+ 1
10
an
的值．进而能求出
（
+
+…+
）．
【解答】解：由题意易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以A1={1}，a1=1；
当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以A2={1，3，4}，a2=3； 当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]， 所以A3={1，3，4，7，8，9}，a3=6；
当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]， 所以A4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a4=10；
当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]， 所以A5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a5=15， 由此类推：an=an﹣1+n，所以an﹣an﹣1=n，
即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，an﹣an﹣1=n， 以上n﹣1个式子相加得，an﹣a1= （n﹣1）（n+2） 2 ， 解得an= n（n+1） 2 ，所以 1 an = 2 n（n+1） =2（ 1 n
11
﹣ 1 n+1 ）， 则 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an =2[（1﹣1 2 ）+（ 1 2 ﹣ 1 3 ）+…+（1 n ﹣ 1 n+1 ）]=
12
2n n+1 ， ∴==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点是分段函数，集合元素的个数，基本不等式在求函数最值时的应用，其中正确理解函数f（x）=[x[x]]，所表示的意义是解答本题的关键．
二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 11．在边长为1的正六边形A1A2A3A4A5A6中，A．
B．﹣ C．
D．﹣
的值为（ ）
（（
+）
+…+
）
【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题．
【分析】连接A1A5，由正六边形的性质，可证出△A1A3A5是边长为数量积的定义，可计算出【解答】解：连接A1A5，
∵A1A2A3A4A5A6是正六边形，∴△A1A2A3中，∠A1A2A3=120° 又∵A1A2=A2A3=1，∴A1A3=同理可得A1A3=A3A5=∴△A1A3A5是边长为
的等边三角形，
=
•
cos120°=﹣
=
•
的值．
的正三角形，再用向量
由向量数量积的定义，得故选B
13
【点评】本题给出正六边形的边长为1，叫我们求向量的数量积，着重考查了正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识，属于基础题． 12．已知an=
，Sn是数列{an}的前n项和（ ）
A．B．C．D．
和和存在，不存在，
都存在 都不存在
不存在 存在
【考点】数列的极限；数列的求和．
【专题】计算题；函数思想；等差数列与等比数列． 【分析】利用数列的通项公式，判断两个极限即可． 【解答】解：an=
，Sn是数列{an}的前n项和，
可得==0．
=S2014+=S2014﹣，是定值．
所以两个极限存在． 故选：A；
【点评】本题考查数列的极限的判断与应用，是基础题．
14
13．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】向量的投影． 【专题】常规题型；计算题．
【分析】先求得两向量的数量积，再求得向量的模，代入公式求解． 【解答】解析：在方向上的投影为故选C
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．
14．设θ为两个非零向量（ ） A．若θ确定，则C．若
唯一确定
B．若θ确定，则D．若
唯一确定
的夹角，已知对任意实数t，
的最小值是2，则
=
=
=
．
确定，则θ唯一确定 确定，则θ唯一确定
【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】平面向量及应用． 【分析】由题意可得
=
•t2﹣2
•t+
，它是关于变量t的一个二次函数，
再利用二次函数的性质可得结论． 【解答】解：由题意可得函数， 故当t=
=
=
cosθ （其中，θ为、的夹角）， =
•t2﹣2
•t+
，它是关于变量t的一个二次
取得最小值2，
即||sinθ=2，
故当θ唯一确定时，||唯一确定， 故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求向量的模的方法，属于基础题．
15
2
2
三.解答题（本大题共4题，共10+10+12+12=44分）
15．在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（4，﹣1），P（2，0），求： （1）
的值；
（2）∠APB的大小．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】（1）运用向量的坐标运算可得坐标表示即可得到所求；
（2）求得向量PA，PB的坐标和模，再由向量的夹角公式即可得到所求值． 【解答】解：（1）A（2，3），B（4，﹣1），P（2，0）， 可得即有（2）|
=（0，﹣3），•
=（﹣2，1），
=（0，﹣3），
=（﹣2，1），再由数量积的
=0×（﹣2）+（﹣3）×1=﹣3； =（0，3），
|=
，
=
=﹣
．
=（2，﹣1），
|=3，|
可得cos∠APB=
则∠APB=．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和模的公式，考查向量的夹角的求法，考查运算能力，属于基础题．
16．己知两点A（2，1），B（m，4），求 （1）直线AB的斜率和直线AB的方程； （2）已知m∈[2﹣
，2+3
]，求直线AB的倾斜角α的范围．
【考点】直线的倾斜角． 【专题】直线与圆． 【分析】（1）k=
，分m=2和m≠2两种情况，可得直线AB的方程；
，2+3
]，利用不等式的性质求出斜率tanα的范围，再利用
（2）已知实数m∈[2﹣
正切函数的单调性求出倾斜角α的范围． 【解答】解：（1）∵点A（2，1），B（m，4），
16
当m=2时，直线的斜率不存在，直线AB的方程为x=2； 当m≠2时，已知直线AB的斜率k=直线AB的方程为：y﹣1=即3x+（2﹣m）y+m﹣8=0； （2）已知实数m∈[2﹣∴
∈（﹣∞，﹣
，2+3]∪[
，
]， ，+∞）， ]
=
，
（x﹣2），
则直线AB的倾斜角α∈[
【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，以及用两点式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想．
17．数列{an}满足a1=1，a2=7，令bn=an•an+1，{bn}是公比为q（q＞0）的等比数列，设cn=a2n
﹣1
+a2n；
（n∈N*）；
的值．
（1）求证：
（2）设{cn}的前n项和为Sn，求【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】证明题；分类讨论；分类法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）令bn=an•an+1，则
=qn﹣1，由此能证明
，n∈N*． 的值．
（2）根氢q=1、q∈（0，1）、q∈（1，+∞）三种情况分类讨论，能求出【解答】证明：（1）∵数列{an}满足a1=1，a2=7，令bn=an•an+1， {bn}是公比为q（q＞0）的等比数列，cn=a2n﹣1+a2n， ∴b1=a1a2=7，
，
∴==q，
∴=qn﹣1，
，
∴
，n∈N*．
17
解：（2）当q=1时，cn=8，∴Sn=8n， =0，
当q≠1时，， =，
当q∈（0，1）时， =，
q∈（1，+∞）时， ==0．
综上：．
【点评】本题考查数列的通项公式的证明，考查数列的前n项和的极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
18．定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为
（n∈N）．
，求{an}的通项公式；
*
（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn=1，当n为偶数时，bn=2．若Tn为{bn}前n项的倒平均数，求
；
（3）设函数f（x）=﹣x2+4x，对（1）中的数列{an}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤
对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
【考点】数列的极限；数列与不等式的综合． 【专题】综合题；新定义．
【分析】（1）设数列{an}的前n项和为Sn，由题意，此能求出{an}的通项公式．
（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，则分n为偶数和n为奇数时，分别求出Sn，从而求出Tn．由此能求出
．
，所以
．由
18
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N恒成立，令λ=1，使得当x≤λ时，f（x）
*
对任意n∈N恒成立，则﹣x+4x≤
*2
，则数列{cn}是递增数列，由此能推导出存在最大的实数
对任意n∈N*恒成立．
【解答】解：（1）设数列{an}的前n项和为Sn， 由题意，所以
， ． …
所以a1=S1=6，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n+2， 而a1也满足此式．…
所以{an}的通项公式为an=4n+2．…
（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，则当n为偶数时，当n为奇数时，
． …
，…
所以． …
所以． …
对任意n∈N*恒成立，
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）则﹣x+4x≤令
2
对任意n∈N恒成立，… ，因为
，
*
所以数列{cn}是递增数列，…
所以只要﹣x2+4x≤c1，即x2﹣4x+3≥0， 解得x≤1或x≥3．… 所以存在最大的实数λ=1， 使得当x≤λ时，f（x）
对任意n∈N*恒成立．
【点评】本题考查数列的通项公式、极限的求法，探索实数是否存在．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答．
19
四.附加题（本大题共2题，共10+10=20分） 19．对于一组向量在
（p∈{1，2，3…，n}），使得|
=（n，n+x）（n∈N*），若
|≥|
（n∈N*），令﹣
=
+
+
+…+
，如果存
|，那么称是该向量组的“h向量”； 的“h向量”，求x的范
（1）设围； （2）若
是向量组
（n∈N*），向量组
（n∈N*）是否存在“h向量”？ 给出你的结论并说明理由． 【考点】数列与向量的综合．
【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列；平面向量及应用． 【分析】（1）由题意可得，|式即可得到所求范围； （2）
是“h向量”．求得向量
的模，讨论n为奇数和偶数，运用等比数列的求和公式，|≥|
+
|，运用向量的坐标运算和模的公式，解不等
结合不等式的性质，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意可得，|即为
解得﹣2≤x≤0， 即x的范围是[﹣2，0]； （2）理由：
是“h向量”． =（1，﹣1），|
|=
，
≥
|≥|，
+
|，又
=（n，n+x），
当n为奇数时， ++…+=（，0）=（，0），
0≤即|
|＞|
+
＜，即有|+…+
|；
++…+|=＜＜，
20
当n为偶数时， ++…+=（，1）=（，1），
0≤＜，即有|++…+|=＜＜，
即|＞|++…+是向量组
|．
（n∈N*）的“h向量”．
综上可得，
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查向量的模的公式的运用，以及等比数列的求和公式的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题．
20．等差数列{xn}的前n项和记为Sn，等比数列{bn}的前n项和记为Tn，已知x3=5，S3为9，b2=x2+1，∅（lim，n→∞） Tn=16． （1）求数列{xn}的通项xn；
（2）设Mn=lgb1+lgb2+…+lgbn，求Mn的最大值及此时的n的值； （3）判别方程sin2xn+xncosxn+1=Sn是否有解，说明理由． 【考点】等差数列的通项公式；数列的应用．
【分析】（1）先求出两个基本量x1和d．再求通项公式．
（2）注意到lgbn是等差数列，再根据等差数列前n项和是二次函数的知识去解题． （3）判断方程无解时注意到范围的限制，可分情况讨论之． 【解答】解：（理）（1）
⇒
解得∴xn=2n﹣1
（2）由题意，b2=4=b1q结合无穷等比数列各项和， =16，解得
易得bn=8
n﹣1
而{lgbn}是以lg8为首相，lg0.5为公差的等差数列，
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∴Mn=lg8×n+0.5n（n﹣1）lg0.5﹣lg0.5=﹣0.5lg2[（n﹣3.5）﹣49/4] ∴n=3或4时有最大值6lg2；
（3）sin（2n﹣1）+（2n﹣1）cos（2n﹣1）+1=n 1°n=1时，sin21+cos1=0不成立
2°n=2时，sin23+3cos3+1=4，1﹣cos23+3cos3+1=4，解得cos3=1或cos3=2不成立 3°n≥3放缩法sin（2n﹣1）+（2n﹣1）cos（2n﹣1）+1＜1+2n﹣1+1＜1+2n＜n 综上，无解．
【点评】本题中考查了等比数列和等差数列的基本知识点及两者的联系．第三问是对不等式放缩的运用技巧，根据所求结论的形式进行放缩．
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