自动控制原理习题全解及MATLAB实验_____第1、2章习题解答

本章介绍了自动控制的定义，自动控制系统的组成、工作原理和相关的常用术语。比较了开环控制系统和闭环控制系统，并进一步说明了其优缺点和适用范围，介绍了典型闭环系统的功能框图。需要重点掌握负反馈在自动控制系统中的作用，闭环系统（或反馈系统）的特征是：采用负反馈，系统的被控变量对控制作用有直接影响，即被控变量对自身有控制作用。

在分析系统的工作原理时，确定控制系统的被控对象、控制量和被控制量，根据控制系统的工作原理及各元件信号的传送方向，可画出控制系统的职能方框图。方框图是分析控制系统的基础。本章的难点在于由系统的物理结构图或工作原理示意图绘出系统元件框图。

按照不同的分类方法可以将自动控制系统分成不同的类型，实际系统可能是几种方式的组合。

对自动控制系统的基本要求包括：系统首先必须是稳定的；系统的稳态控制精度要高，即稳态误差要小；系统的动态性能要好，即系统的响应过程要平稳，响应过程要快。这些要求可归纳成稳、准、快三个字。

教材习题同步解析

试列举几个日常生活中的开环控制和闭环控制系统的例子，并简述其工作原理。 解：1）开环控制

最普通的热得快，加热到一定程度提醒断电，但不会自主断电，需要人为去断电。 电风扇，人工转换电扇档位实现转速的控制，但不能根据环境温度自动调节。

洗衣机，洗衣人根据经验，预先设定洗涤、漂洗等洗衣程序，则洗衣机根据设定的程序完成洗衣过程。系统的被控制量（输出量）没有通过任何装置反馈回输入端，对系统的控制不起作用。

2）闭环系统

饮水机或电水壶，自动断电保温，加温到一定温度停止加温，进入保温状态；温度降低进入加温状态，如此循环。

自动调温空调，当环境温度高于或低于设定温度时，空调制冷系统自动开启，调定室温到设定值。 全自动洗衣机的水位控制，红外传感器扫描水位高低，当水位合适时，洗衣机自动停止加水。 走道路灯的声光控制系统，基本工作原理如下：白天或夜晚光线较亮时，光控部分将开关自动关断，声控部分不起作用。当光线较暗时，光控部分将开关自动打开，负载电路的通断受控于声控部分。电路是否接通，取决于声音信号强度。当声强达到一定程度时，电路自动接通，点亮灯泡，并开始延时，延时时间到，开关自动关断，等待下一次声音信号触发。这样，通过对环境声光信号的检测与处理，完成电路通断的自动

开关控制。

试比较开环控制和闭环控制的优缺点。 解：1）开环系统

优点：结构简单，系统稳定性好，调试方便，成本低。因此，在输入量和输出量之间的关系固定，且内部参数或外部负载等扰动因素不大，或这些扰动因素可以预测并进行补偿的前提下，可以采用开环控制系统。

缺点：当控制过程中受到来自系统外部的各种扰动因素，如负载变化、电源电压波动等，以及来自系统内部的扰动因素，如元件参数变化等，都将会直接影响到输出量，而控制系统不能自动进行补偿，抗干扰性能差。因此，开环系统对元器件的精度要求较高。

2）闭环控制

优点：抑制扰动能力强，与开环控制相比，对参数变化不敏感，并能获得满意的动态特性和控制精度。 缺点：引入反馈增加了系统的复杂性，如果闭环系统参数的选取不适当，系统可能会产生振荡，甚至系统失稳而无法正常工作，这是自动控制理论和系统设计必须解决的重要问题。

自动控制系统通常由哪些环节组成它们在控制过程中的功能是什么 解：1．给定元件

给出与被控制量期望值相对应的控制输入信号(给定信号)，这个控制输入信号的量纲与主反馈信号的量纲相同。给定元件通常不在闭环回路中。

2．测量反馈元件

测量反馈元件也叫传感器，用于测量被控制量，并产生与被控制量有一定函数关系的信号（与被控制量成比例或与其导数成比例的信号），并反馈到输入端与给定信号进行比较。测量元件的精度直接影响控制系统的精度，应使测量元件的精度高于系统的精度，还要有足够宽的频带。

3．比较元件

用于比较控制量和反馈量并产生偏差信号。电桥、运算放大器可作为电信号的比较元件。有些比较元件与测量元件是结合在一起的，如测角位移的旋转变压器和自整角机等。

4．放大元件

将微弱的偏差信号进行幅值或功率的放大，以及信号形式的变换．如有源放大器、交流变直流的相敏整流或直流变交流的相敏调制。

5．执行元件

用于操纵被控对象，如机械位移系统中的电动机、液压伺服马达、温度控制系统中的加热装置等。执行元件的选择应具有足够大的功率和足够宽的频带。

6．校正元件

用于改善系统的动态和稳态性能，根据被控对象特点和性能指标的要求而设计。校正元件串联在由偏差信号到被控制信号间的前向通道中的称为串联校正；校正元件在反馈回路中的称为反馈校正或并联校正。

7．被控对象

控制系统所要控制的对象，例如水箱水位控制系统中的水箱、房间温度控制系统中的房间、火炮随动系统中的火炮、电动机转速控制系统中电机等。设计控制系统时，认为被控对象是不可改变的，它的输出即为控制系统的被控制量。

试述对控制系统的基本要求。 解：

1．稳定性：是系统正常工作的必要条件。稳是指控制系统的稳定性和平稳性。

稳定性：是指系统重新恢复平衡状态的能力，它是自动控制系统正常工作的先决条件。一个稳定的控制系统，其被控量偏离期望值的初始偏差应随时间的增长逐渐减小或趋于零。不稳定的系统是无法工作的。

平稳性：是指过渡过程振荡的振幅与频率。即被控量围绕给定值摆动的幅度和摆动的次数。好的过渡过程摆动的幅度要小，摆动的次数要少。

2．快速性：要求系统的响应速度快、过渡过程时间短。系统的稳定性足够好、频带足够宽，才可能实现快速性的要求。过渡过程越短，说明系统快速性越好，过渡过程持续时间越长，说明系统响应迟钝，难以跟踪快速变化的指令信号。

稳定性和快速性反映了系统过渡过程的性能，称为系统的动态性能或瞬态性能。

3．准确性：准是对系统稳态（静态）性能的要求。对一个稳定的系统而言，过渡过程结束后，系统的被控量（或反馈量）对给定值的偏差称为稳态误差，它是衡量系统稳态精度的重要指标。

稳态误差越小，或者对某种典型输入信号的稳态误差为零，表示系统的准确性越好，控制精度越高。

图所示的转速闭环控制系统中，若测速发电机的正负极性接反了，试问系统能否正常工作为什么

+ E 电位器 + _ + + + 电 压 功 率 ug ue ua 放大器 放大器 _ _ _ nM电动机 Mc 负载 uf + _ 测速发电机 图1.1 直流电动机转速闭环控制系统

解：若测速发电机的正负极性接反，偏差电压则为

ueuguf

系统将由负反馈变为正反馈，而正反馈不能进行系统控制，会使系统的偏差越来越大。 因此，系统不能正常工作。

分析图所示的水位自动控制系统，指出系统的输入量和被控制量，区分控制对象和自动控制器。说明控制器组成部分的作用，画出方块图并说明该系统是怎样出现偏差、检测偏差和消除偏差的。

ue

图 水位自动控制系统原理图

解：系统的输入量是电位器的给定电位，被控制量是水池的水位。控制对象是水池，而浮球、连杆机构、放大器、电动机、减速器、进水阀门等组成控制器。

在该系统中，浮球用来测量水位高低；连杆机构用来进行比较。连杆的一端由浮球带动，另一端则连向电位器控制进水阀门。它将期望水位与实际水位两者进行比较，得出水位误差，同时推动电位器的滑臂上下移动。电位器输出电压（偏差）ue反映了误差的性质：大小和方向。电位器输出的微弱电压经放大器放大后驱动直流伺服电动机，其转轴经减速器后拖动进水阀门，对系统施加控制作用。

在正常情况下，实际水位等于期望值，此时，电位器的滑臂居中，ue0。当出水量增大时，水位开始下降，浮球也随之下降，带动电位器滑臂向上移动，ue0，经放大后成为ua，控制电动机正向旋转，以增大进水阀门开度，促使水位回升。当实际水位回复到期望值时，ue0，系统达到新的平衡状态。

可见，该系统在运行时，无论何种干扰引起水位出现偏差，系统就会进行调节，最终总是使实际水位等于期望值，大大提高了控制精度。该控制系统也可用方框图表示，如图所示。

扰动—出水量

给定水位 － 浮球 图 水位自动控制系统方框图

ue 放大器 电动机 减速器 进水阀门 水池 实际水位

一晶体管稳压电源如图所示。试画出其方块图，并说明被控量、给定值、干扰量是什么哪些元件起着测量、放大、执行作用

解：稳压管BG1的电压Uw是电源的参考输入即给定值，稳压电源输出电压U2是被控量，干扰量是输入的待稳定电压U1或负载Rfz。稳压管BG1稳定了基准电压Uw，使Uw不受输入或输出电压的影响。

e2 b2 Ub2

c2

Uw c3

Ub3 e3 b3

Ub3 电阻R3、R4 Ube3 晶体管BG3 Ub2 晶体管BG2 U2 图 晶体管稳压电源原理图 图 晶体管稳压电源方块图

电路分为以下四部份：

反馈测量元件：由分压电路(R3，R4)组成，监视输出端电压U2之变化，把变化Ub3送到放大器晶体管BG2。 基准电压元件：由电阻R2和稳压二极管BG1组成，利用稳压二极管的稳压特性输出一稳定的参考电压Uw。 R2用以限制稳压二极管的工作电流。838

比较及放大元件：由三极管BG3所构成的共射极放大器组成，把反馈电压Ub3和参考电压Uw作出比较并放大，输出电压Ub2到控制元件。

控制执行元件：由三极管BG2构成。BG2可看成一个可变电阻，其内阻受输入基极的电压Ub2所影响，电压Ub2愈高，内阻便愈低，流经的电流便愈大，输出电压Uce2便下降，反之则上升。BG2与负载串联，输出管压降Uce2用于抵消输出电压U2的波动，因此此电路称为串联型稳压电路。

各个电压之间的关系如下：

Ub3UwUbe3，Ub2UwUce3，U2U1Uce2

Ub3R4U2

R3R4U2R3R4RR4RR4Ub33(UwUbe3)3Uw R4R4R4当干扰引起输出电压U2减小时，系统稳压过程如下：

Rfz↑→U2↓→Ub3↓→Ube3↓→Ib3↓→Ic3↓→Uce3↑→Ub2↑→Ib2↑→Ue2↑→Uce2↓→U2↑

这样，只要输出电压U2有一点微小的变化，就能引起调整管BG2的输出电压Uce2发生较大的变化，提高了稳压电路的灵敏度，改善了稳压效果，而且能输出较大的电流，具有较好的带负载能力。此稳压电源实际上就是一个具有放大环节的电压串联负反馈系统，方框图如图所示。

图（a）、图（b）所示的系统均为自动调压系统，试分析其工作原理，画出方块图。设空载时，图（a）和图（b）的发电机端电压均为110V，试问带上负载后，图（a）和图（b）中哪个系统能够保持110V电压不变哪个系统的电压会稍低于110V为什么

+

uc + if G uf 负 载 uo if + G uf 负载 uo

K ur M ue + K ue + + ur + (a) (b)

图 自动调压系统原理图

解 带上负载后，在一开始由于负载的影响，图(a)与 (b)系统的端电压都要下降，但图 (a)中所示系统能恢复到110V，而图 (b) 所示系统却不能。理由如下：

图 (a)系统，当uo低于给定电压时，偏差电压（给定电压与反馈电压之差：ueuruf）经放大器K放大后，驱动电机M转动，经减速器带动变阻器使发电机G的励磁回路电阻变小，从而使发电机的励磁电流

If增大，发电机的输出电压会升高，从而使给定电压与发电机机端电压之间的偏差电压减小，直至偏差电

压为零时，电机才停止转动。因此，图 (a)系统能保持110V不变。

图 (b)系统，当uo低于给定电压时，其偏差电压ue经放大器K后，输入发电机励磁回路，直接使发电机励磁电流增大，提高发电机的端电压，使发电机G 的端电压回升。偏差电压减小，但不可能等于零，因为当偏差电压为 0时，if=0，发电机不能工作。即图 (b)所示系统的稳态电压会低于110V。

以上两种自动调压系统都是恒值控制系统，但区别在于：当跟随响应一个给定的恒值信号时，系统 (a)是无差系统，系统 (b)是有差系统。

二者的本质不同在于：图 (a)系统励磁电压由单独的电源uf提供，而图 (b)系统是由发电机系统的偏差电压提供。两种自动调压系统的方框图见图(a)、(b)。

ur ue － 放大器 电动机 齿轮减速装置 变阻器 if 发电机 uo uf 测量电位器 （a）

ur ue － 放大器 励磁电阻 if 发电机 uo uf 测量电位器 （b）

图 自动调压系统方框图

仓库大门自动控制系统原理如图所示。试说明仓库大门开启、关闭的工作原理。如果大门不能全开或全关，应该怎样进行调整

解 当给定电位器和测量电位器输出相等时，放大器无输出，门的位置不变。假设门的原始位置在“关”状态，当门需要打开时，“开门”开关打开，“关门”开关闭合，给定电位器和测量电位器输出不相等。电位器组会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到电位器组达到平衡，即测量电位器输出与给定电位器输出相等，则电动机停止转动，大门达到开启位置。反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如图所示。

图仓库大门自动控制系统

给定电位器

开门位置、 关门位置对应的电位

ue － 放大器 电动机 绞盘 大门 实际位置 测量电位器 图 仓库大门自动控制系统方框图

如果大门不能全开或者全闭，说明电位器组给定的参考电压与期望的开门位置或关门位置不一致，应该调整电位器组的滑臂位置，即调整“开门”或“关门”位置对应的参考电压。

第2章 自动控制系统的数学模型

数学模型是描述系统输入、输出以及内部各变量之间关系的数学表达式，建立系统的数学模型是进行控制系统分析和设计的基础。微分方程、传递函数、结构图、信号流图和脉冲响应函数都是用来描述线性系统的数学模型。

微分方程是控制系统的时域数学模型，正确地理解和掌握系统的工作过程、各元部件的工作原理是建立系统微分方程的前提。

传递函数是在零初始条件下系统输出的拉普拉斯变换和输入拉普拉斯变换之比，是经典控制理论中重要的数学模型，熟练掌握和运用传递函数的概念，有助于分析和研究复杂系统。

动态结构图和信号流图是两种用图形表示的数学模型，具有直观形象的特点。其优点是可以方便地应用梅逊增益公式求复杂系统的传递函数。

脉冲响应函数是在零初始条件下，用系统对单位理想脉冲输入的时域响应描述系统变量的函数关系。对脉冲响应取拉普拉斯变换，即可求得相应的传递函数。

控制系统常用的传递函数有开环传递函数GK(s)，闭环传递函数(s)和D(s)（输出对扰动作用的传递函数）以及误差传递函数E(s)和DE(s)（扰动输入作用下的偏差传递函数），它们在系统分析和设计中的地位十分重要。

求系统的传递函数常用的方法有三种：微分方程取拉氏变换法；结构图等效化简法以及梅逊增益公式法。对于力学系统，要用到牛顿第二定理；对于电网络，要用到节点电流定律和回路电压定律，还可以利用复数阻抗的概念方便地写出相应的传递函数。

教材习题同步解析

求图中RC电路和运算放大器的传递函数Uo(s)Ui(s)。 解：（a）令Z1=

11CsR1为电容和电阻的复数阻抗之和；Z2=R2为电阻的复数阻抗。由此可求得传递函数

为：

G(s)Uo(s)Z2R2R1R2 Ui(s)Z1Z2Cs1RR1CsR1R212R1

U1B

A

A

图 电路网络图

(b) 令Z1=Ls为电感复数阻抗；Z2=

1R为电容和电阻的复数阻抗之和。由此可求得传递函数为：CsG(s)Uo(s)Z2RCs1 21Ui(s)Z1Z2RLsLCSRCs1Cs1。又由虚短得 C2s1RCs(c) 该电路由运算放大器组成，属于有源网络。运算放大器工作时，A点的电压约等于零，称为虚地。输入、输出电路的复数阻抗Z1和Z2分别为 Z1=R1，Z2=R2Ui(s)Uo(s) Z1Z2故有

G(s)Uo(s)Z2R2C2s1 Ui(s)Z1R1C2s(d) 假设B点电压为U1，根据A点虚地，及节点电流定理可得：

A点的电流关系

Ui(s)U1(s)0 RR1B点的电流关系

U1(s)U1(s)U1(s)(Uo(s))0

1R1R2sC可得

U3(s)联立以上各式，消掉U1(s)，有

R1Uo(s)

R1R2R1R2CsUo(s)R1R2R1R2Cs Ui(s)R

求图所示机械运动系统的传递函数。

xr

k1 B k2 xo

B2 B1 M xr

B1 xo

k1 x

k2 xo

(a) (b) (c)

图 弹簧阻尼运动系统

（1）求图（a）的

Xo(s)。 Xr(s)解：位移xr为输入量，xo为输出量。设初始时刻系统不受任何外界压力或拉力，处于静止状态，即系统初始条件为零。由于无质量，系统各受力点任意时刻均满足合外力F0，如图解(a)所示，并取a点的位移为中间变量x，方向朝下。根据弹簧、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿定律，取a，b两点分别进行受力分析。

对a点有

k1(xrx)B(dxdxo) dtdt上式中，xrx是弹簧k1的弹性位移，因此k1(xrx)为弹簧k1的弹力。xxo是阻尼器B的弹性位移，

dxdxodxdx为速度，B(o)为阻尼器B的阻尼力。弹簧弹力与阻尼力二者大小相等，方向相反。 dtdtdtdt同理，对b点有

B(联立两式，消除中间变量x可得：

dxdxo)k2xo dtdtk1(xrx)k2xo，xxr将x代入b点受力方程，有

k2xo k1BdxdxrBk2dxoBok2xo dtk1dtdt等式两端取拉氏变换，并考虑系统为零初始条件，有

BsXr(s)(系统传递函数为

Bk2sBk2)Xo(s) k1Xo(s)k1BsBs BksXr(s)2Bk2B(k1k2)sk1k2k1dxdxo)dtdtB1(dxrdxo)dtdtB2dxodtk1(xrx)B(xr k1 B a b xr

B1 M B2 xo

M x xo a b k2 B( (a)

dxdxo)dtdtk2x (b)

图 题弹簧阻尼运动系统受力图解

d2xoMdt2

（2）求图（b）的

Xo(s)。 Xr(s)解：运动由静止开始，质量M的重力已经由阻尼器B1、B2的阻尼抵消，系统处于一个平衡状态，即初始

dxod2xo条件全部为零。质量M相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为xo、、 。运动开始后，质

dt2dt量块的受力关系如图解(b)所示，不计M的重力，由牛顿第二定理可得

dxod2xodxrdxoB1()B2M 2dtdtdtdt整理得

d2xodxodxrM(BB)B 121dt2dtdt等式两端取拉氏变换，并考虑系统为零初始条件，有

[Ms2(B1B2)s]Xo(s)B1sXr(s)

系统传递函数为

Xo(s)B1 Xr(s)Ms(B1B2)（3）求图（c）的

Xo(s)。 Xr(s)解：受力关系如图解所示，同上述两题，以初始平衡状态为基点，对a点进行受力分析，根据牛顿定理可写出

k1(xrxo)B1(dxrdxo)k2xo dtdt等式两端取拉氏变换，并考虑系统为零初始条件，有

(B1sk1)Xr(s)(B1sk1k2)Xo(s)

系统传递函数为

Xo(s)B1sk1

Xr(s)B1sk1k2x

B1 a k1(xrxo)B1(dxrdxo)dtdtk1 a i1(t)R1uc(t)xo

i2(t)ur(t) k2xok2 C R2 uo(t)

图 题弹簧阻尼运动系统(c)受力图解 图 RLC网络

试用复数阻抗法画出图所示电路的动态结构图，并求传递函数Uc(s)Ur(s)及Uo(s)Ur(s)。 解：

方法一：动态结构图

设流经电阻R1的电流为I1，电阻R2的电流为I2，由电路定理，并直接利用复阻抗的概念，可得以下方程组

Uo(s)R2I2I2(s)Uc(s)Uo(s)LsI1(s)I2(s) U(s)cCsI(s)Ur(s)Uc(s)1R1每个等式代表一个环节，系统总的输入信号为Ur(s)，输出信号为Uo(s)。因此，根据各环节输入、输出变量之间的关系式，推出系统动态结构图，见图。

Ur(s) 1 CsR2 Uo(s) 图 题 RLC网络动态结构图

可采用图中虚线所示方法变换框图，如图(a)、(b)、(c)所示。 因此传递函数为

R1 Ur(s) 1 Cs(a)

Uo(s) R2 R1R2Ur(s) 1 R1Cs(b)

R2 LsUo(s)

R1R2Ur(s) 1 R1CsR2Ls Uo(s)

(c)

图题 RLC网络动态结构图简化过程

1R2R1CsgLCs1R112Uo(s)R1CsR2LCs 21Ur(s)R1LCsLsR1R2CsR1R2R2RCsR11gLCsg11R112R2R1CsLCs1R1Cs11Uc(s)R1CsLsR2 21Ur(s)R1LCsLsR1R2CsR1R2R2RCsR11gLCsg11R112R2R1CsLCs方法二：也可采用梅逊公式求取传递函数。

1 1 R1I1(s) 1 L1Ur(s) 1 1 CsUC(s)1L31 LsI2(s) L2 R21 Uo(s)

1 （b）

图 RLC网络信号流图

1 根据图给出的系统动态结构图，推出RLC网络信号流图，如图2..8所示。从输入Ur(s)到输出Uo(s)，全系统只有一条前向通道，其增益为P11R2。反馈回路共有三个，其回路增益分别为：L1，

R1CsR1CsLsL2R21，L3，有一对互不接触回路L1、L2，故特征式为 LsCsLs1(L1L2L3)L1L2

因三个回路均与前向通道P1接触，故求余子式时L1、L2、L3取0，有

11

根据梅逊增益公式，有

R2U(s)1R1CsLsG(s)oP11R111R2Ur(s)12g，

R1CsLsCsLsR1CsLsR2R1CLs2(LR1R2C)sR2R1同理，若求传递函数Uc(s)Ur(s)，则从输入Ur(s)到输出UC(s)，只有一条前向通道，其增益为

P11R11，反馈回路仍为L1，L22，L3，但回路L2与前向通道P1不接触，故

R1CsR1CsLsCsLs根据梅逊增益公式，有

1(L1L2L3)L1L2

11L21R2 LsR1(12)U(s)1R1CsLsG(s)cP11R111R2Ur(s)12g

R1CsLsCsLsR1CsLs方法三：复阻抗法

串并联电路（电容C，电感L，电阻R2）的总阻抗为：

LsR2R1CLs2(LR1R2C)sR2R1Z111CsLsR2LsR2 2LCsR2Cs1即

LsR2UC(s)Z1LCs2R2Cs1LsR2 2LsRUr(s)Z1R12R1LsR2R1LCsR1R2CsR12LCsR2Cs1并有

Uc(s)因此

R2Uo(s)

R2LsLsR2R2U(s)Uo(s) r2LsR2R1LCsR1R2CsR1R2LsUo(s)LsR2R2Ur(s)LsR2R1LCs2R1R2CsR1R2Ls

已知某系统满足微分方程组为

R2(LsR2R1LCs2R1R2CsR1)(R2Ls)

e(t)10r(t)b(t)

6dc(t)10c(t)20e(t) dtdb(t)5b(t)10c(t) dt20试画出系统的结构图，并求系统的传递函数C(s)R(s)和E(s)R(s)。

解：在零初始条件下，对上述微分方程组取拉氏变换得：

E(s)10R(s)B(s) (6s10)C(s)20E(s) (20s5)B(s)10C(s)

每个等式代表一个环节，且系统的输入信号为R(s)，输出信号为C(s)，E(s)是偏差信号。根据各环节输入、输出变量之间的关系式，推出系统动态结构图，如图所示。

R(s10 E(s 206s10C(s) B(s图 题系统动态结构图

化简动态结构图，可得系统传递函数为

2010gC(s)200(20s5)20(20s5)6s10 R(s)120g10(6s10)(20s5)20012s223s256s1020s5E(s)R(s)11010(6s10)(20s5)120s2230s50 22010(6s10)(20s5)20012s23s25g6s1020s5

简化图所示系统的结构图，求输出C(s)的表达式。

图 系统结构图

解：本系统为多输入-单输出系统，可利用线性系统的叠加定理，分别求取各个输入信号作用下的输出，其和即为所求的系统总输出。系统动态结构图可化简为图(a)。

D1(s) R(s) + －G1(s)+ 1G1(s)H1(s)+ －+ G2(s) H2(s) H4(s) (a)

+ －G3(s)G4(s) 1G4(s)H3(s)C(s)

D2(s) D1(s) R(s) + －G1(s)+ 1G1(s)H1(s)+ G2(s) 1G2(s)H2(s)+ －C(s) G3(s)G4(s) 1G4(s)H3(s)D2(s) H4(s) (b)

图 题系统结构图等效过程

考虑到输入信号D1(s)附近相邻的相加点可交换，将系统结构图图(a)简化为图(b)。

1） 求输入信号R(s)用下的输出CR(s)，此时假定其他两个输入为零，即D1(s)= D2(s)=0，则根据系统结构图(b)，化简可得

G1G2G4ggG3g1G1H11G2H21G4H3C(s)R(s)RG4R(s)1G1gG2gG3ggH4

1G1H11G2H21G4H3输出CR(s)为

G1G2G3G4(1G1H1)(1G2H2)(1G4H3)G1G2G3G4H4CR(s)R(s)R(s)

2） 求输入信号D1(s)用下的输出CD1(s)，此时假定R(s)= D2(s)=0，则系统结构图可等效为图(c)。

D1(s) －G2(s) 1G2(s)H2(s)G3(s)G4(s) 1G4(s)H3(s)C(s) G1(s) 1G1(s)H1(s)(c)

图 题系统结构图等效过程

H4(s) 化简可得

GGG2g341G2H21G4H3C(s)D1(s)D1D1(s)1G1gG2gG3G4gH4

1G1H11G2H21G4H3输出CD1(s)为

G2G3G4(1G1H1)(1G1H1)(1G2H2)(1G4H3)G1G2G3G4H4CD1(s)D1(s)D1(s)

3） 求输入信号D2(s)用下的输出CD1(s)，此时假定R(s)= D1(s)=0，则系统结构图可等效为图(d)。

D2(s) －－G3(s)G4(s) 1G4(s)H3(s)C(s) G2(s) 1G2(s)H2(s)G1(s) 1G1(s)H1(s)(d)

图 题系统结构图等效过程

H4(s) 化简可得

G3G41G4H3C(s)D2(s)D2GGG1G2D2(s)1gg34gH4

1G1H11G2H21G4H3输出CD2(s)为

G3G4(1G1H1)(1G2H2)(1G1H1)(1G2H2)(1G4H3)G1G2G3G4H4CD2(s)D2(s)D2(s)

4）综上所述，本系统的总输出为

C(s)CR(s)CD1(s)CD2(s)

2.6 简化图所示各系统的结构图，并求出传递函数C(s)R(s)。

图 控制系统结构图

解：图（a）是具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用移动相加点、分支点的方法处理。图中a、b两点，一个是相加点，一个是分支点，二者相异，不可以任意交换，但可以相对各串联环节前移或后移，如图(a)所示。

求解步骤：

（1）将分支点a后移，等效图如图(b)所示。 （2）将相加点b前移，等效图如图(c)所示。

（3）将相加点b与前一个相加点交换，并化简各负反馈及串、并联环节，得图(d)。 （4）化简局部负反馈，故得图(e)。

（5）前向通道两环节串联，再化简单位负反馈系统，得到系统(a)的闭环传递函数为

H1(s) R(s) －－b G1(s) G2(s) －a G3(s) G4(s) +=C(s) H2(s) (a)

H1(s) R(s) －－b 1 G3(s)G3(s) a G1(s) G2(s) －G4(s) +=C(s) H2(s) (b)

H1(s) R(s) －－b －1 G3(s)G3(s) a G1(s) G2(s) G4(s) +=C(s) 1 G2(s)(c)

H2(s) R(s) －G1(s) －G2(s)G3(s) 1G2(s)G3(s)H1(s)H2(s) G2(s)(d)

1G3(s)G4(s) G3(s)C(s) R(s) －G1(s) G2(1G3G4) 1G2G3H1H2G3G4H2C(s) (e)

图 题(a)系统结构图简化过程

G1G2(1G3G4)1G2G3H1H2G3G4H2G1G2(1G3G4)C(s)

GG(1GG)R(s)11G2G3H1H2G3G4H2G1G2(1G3G4)12341G2G3H1H2G3G4H2注：本闭环系统的反馈回路比较复杂，共有5个负反馈回路，其回路增益分别为：L1G2G3H1，

L2H2，L3G3G4H2，L4G1G2，L5G1G2G3G4，之间相互接触，共同路径为b→a，其传递

函数为G(s)1，如图(a)粗黑虚线部分所示，故特征式为

1(L1L2L3L4L5)

因此，在用梅逊增益公式求解本系统传递函数时，需要特别注意。

（b）同理，图(b)也是具有交叉连接的结构图。为消除交叉，也可采用移动相加点、分支点互换的方法处理，如图(a)所示。并注意到虚线框内部分与G4(s)完全独立，为并联结构。

求解步骤：

（1）将分支点a后移，等效图如图 (b)所示。

（2）相加点b处有三个信号相加，将相加点b分解为两个相加点，等效图如图(c)所示。 （3）化简图(c)虚线框内的负反馈及串联环节，并将分支点c后移，得图(d)。 （4）化简局部负反馈，得图(e)，为一典型的并联结构。 简化并联结构，系统(b)的闭环传递函数为

G1G2G3C(s)G4 R(s)1G1G2H1G2G3H2G2H1H2(s) R(s) －G1(s) b c －G2(s) －a G3(s) C(s) +=H1(s) G4(s) （a）

H2(s) R(s) －G1(s) b －－G2(s) G3(s) a +=C(s) c H1(s) G4(s) （b）

1 G3(s)图 (b)系统系统结构图简化过程

H2(s) R(s) －G1(s) c b －－G2(s)G3(s) a +=C(s) H1(s) G4(s) （c）

1 G3(s)R(s) －G1(s) －G2G3 1G2G3H2H1(s) G3(s)H1(s) G3(s)a +=C(s) c G4(s) （d）

R(s) G1G2G3 1G1G2H1G2G3H2G2H1C(s) +=G4(s) （e）

图 (b)系统系统结构图简化过程

此外，图(a)虚线框内部分的传递函数也可以利用教材介绍的规律直接求解：

如果系统动态结构图满足两个条件：①所有回路两两相互接触；②任意一回路与每条前向通道接触，则闭环系统传递函数是一个有理分式；

前向通道各串联环节的传递函数之积(s)

1（每一局部反馈回路的开环函数）n11m式中，负反馈取“+”号；正反馈取“－”，m是前向通道的条数，n是反馈回路数。

对于本系统虚线框内部分而言，前向通道传递函数之积为G1G2G3，反馈回路有三个，开环传递函数分

别为G1G2H1，G2G3H2，G2H1，之间相互接触，并与前向通道接触，且均为负反馈，因此满足规律使用的条件。此部分的传递函数为

G1G2G3

1G1G2H1G2G3H2G2H1结果与前面的动态结构图简化过程完全相同。

实际上，此简化规律就是基于信号流图的梅逊（Mason）公式的特例，即当系统结构满足上述相互接触的条件时，有

k1,k1,...n，1LaLbLcLdLeLfL1La

a1m则系统传递函数为

1nG(s)•Pkkk1

Pk1ma1nk

1La2.7 直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图所示。其中，速度调节器的传递函数为

K1(1s1)，s电流调节器的传递函数为

K3K2(2s1)，晶闸管电路（可控硅触发器和整流装置）的传递函数为，电

T1s1s流互感器和测速发电机的传递系数分别为K4和K5，直流电动机的微分方程如式（）所示。调速系统的给定输入为ui，输出为角速度，负载扰动为Mc。试绘出调速系统的结构图（注意，电流调节回路为负反馈连接），并求取闭环系统的传递函数(s)Ui(s)。

解：

1）双闭环调速系统的方框图

由图给出的系统原理图，确定双闭环调速系统的方框图（如图）。 2）直流电动机的动态结构图

图及图中，ω为电动机角速度（rad/s），Mc为折算到电动机轴上的总负载力矩（N·m），ua为电枢电压（V）。在电枢控制情况下，励磁不变。取ua为给定输入量，为输出量，Mc为扰动量。为便于建立直流电动机模型，引入中间变量ea、ia和M。ea为电动机旋转时电枢两端的反电势（V），ia为电枢电流（A），M为电动机旋转时的电磁力矩（N·m）。

根据电动机运行过程的物理规律（包括机和电两个方面），由教材公式——，可列写各输入量、输出量和中间变量的拉氏表达之间的数学关系式如下

（1） 电动机电枢回路的电势平衡方程为

(LasRa)Ia(s)Ea(s)Ua(s)

式中，La、Ra分别为电枢回路电感和电阻。通常电枢绕组的电感La较小，可以忽略不计，则电动机电枢回路的电势平衡方程可简化为

RaIa(s)Ea(s)Ua(s)

R ud 电流互感器 负载 Mc ui R u e－ + u1 R u2 － + u3 ia 晶闸管 电路 Ra,Laea+ R uf ua M 电动机速度调节器 电流调节器 － 测速发电机 图 双闭环调速系统原理图

电流 互感器 ia Mc 负载扰动 ud ui ＋ 输入量 － uf ue 速度 调节器 u1 －u2 电流 调节器 u3 晶闸管 电路 ua 直 流 电动机  输出量

测 速 发电机 图 双闭环调速系统系统方框图

（2）电动机的反电势方程为

Ea(s)Ce(s)

式中，Ce为电动机的电势常数，单位为V·s/rad。 （3）电动机的电磁转矩方程为

M(s)CmIa(s)

式中，Cm为电动机的转矩常数，单位为N·m/A。 （4）电动机轴上的动力学方程为

Js(s)M(s)Mc(s)

式中，J为转动部分折算到电动机轴上的总转动惯量，其单位为N·m·s。注意上式中已忽略与转速成正比的阻尼转矩。

根据以上各信号的输出、输出关系，直流电动机的动态结构图如图虚线框内部分所示，其输入信号为电枢电压ua，输出信号为角速度。若考虑电枢绕组的电感La的作用，则将环节

2

11改为即可。 RaLasRaCe 图 双闭环调速系统系统动态结构图 Ui(s) Ue(s) －K1(1sU1(s) U2(s)s1)U3(s) Ea(s)－Mc(s) －K2(2s1) sK3 T1s1Ua(s)K4 K5 1 Ia(s)Cm RaM(s)1 Js(s)Uf(s) Ud(s) 3）双闭环调速系统的动态结构图

根据所确定的直流电动机的动态结构图，并结合由图所给出的闭环调速系统方框图，闭环系统的动态结构图，见图。

4）闭环系统的传递函数

可直接利用前面题(b)解答所介绍的闭环系统动态结构图的简化规律。求系统转速对于控制输入ui的闭环传递函数时，系统有一条前向通道，三个反馈回路，彼此之间相互接触，因此有

CK1(1s1)K2(2s1)K3gggmssT1s1RaJs(s)

KCKCCK(s1)K(s1)K(s1)KUi(s)111g22g3gmgK522g3g4messT1s1RaJssT1s1RaRaJs同理，转速对于干扰输入Mc的闭环传递函数为

K(s1)K3K41(122gg)JssT1s1Ra(s) Mc(s)1K1(1s1)gK2(2s1)gK3gCmgKK2(2s1)gK3gK4CmCe5ssT1s1RaJssT1s1RaRaJs上式中，由于闭环系统的前向通道是干扰输入Mc到输出，即P1，则负反馈回路JsL1K2(2s1)K3K4gg，与前向通道不接触，因此余子式 sT1s1Ra11L11K2(2s1)K3K4gg sT1s1Ra 系统的闭环传递函数也可通过动态框图的化简求得。

在直流双闭环调速系统中，电流互感器为校正装置，输入信号为电动机电枢电流ia，输出信号为电压ud。电流调节器的输入信号为速度调节器的输出信号u1ud。电流负反馈的作用是：保证在起动过程中电枢电流保持恒为允许的最大值；而稳态后，不起作用。

某系统的结构如图所示。试绘出相应的信号流图，并利用梅逊公式求出闭环系统的传递函数。

图 多回路系统

G7

G8 G3 R(s) 1 G1 G2 G4 MG5 G6 1 C(s)

H1 G9 H2 H3

图 题多回路系统的信号流图

解：与图对应的信号流图如图所示。

全系统有五条前向通道，其增益为P1G1G2G3G4G5G6，P3G1G2G3G4G8G6，2G1G2G9，PP4G1G7G4G5G6，P5G1G7G4G8G6。

系统有一条反馈系数为H3的主反馈通道，并由于系统有如上分析的五条前向通道，因此相对于反馈通道H3，系统有五个反馈回路，其回路增益分别为： L1PH13G1G2G3G4G5G6H3，

L2P2H3G1G2G9H3，L3P3H3G1G2G3G4G8G6H3，L4P4H3G1G7G4G5G6H3，

L5P5H3G1G7G4G8G6H3。此外，系统还有两个互不接触的局部反馈回路L6G4G5H1，L7G6H2，且二者与L2G1G2G9H3间两两互不接触。故特征式为

1(L1L2L3L4L5L6L7)L2L6L2L7L6L7L2L6L7

因前向通道P2与回路L6、L7不接触，故求余子式2时L1、L2、L3、L4、L5取0，有

21(L6L7)L6L7

而其余前向通道均与任意反馈回路相接触，故有

13451

根据梅逊增益公式，有

C(s)15G(s)gPkkR(s)k1

PPPPP134522

两级RC串联网络如图（a）所示，其信号流图见图（b），试用梅逊公式求出传递函数Uo(s)Ui(s)。

图 两级RC串联网络

解：全系统只有一条前向通道，其增益为P11。反馈回路共有三个，其回路增益分别为：

R1C1sR2C2sL1111，L2，L3，有一对互不接触回路L1、L2，故特征式为 R1C1sR2C2sC1sR21(L1L2L3)L1L2

因三个回路均与前向通道接触，故求余子式时L1、L2、L3取0，有

11

根据梅逊增益公式，系统传递函数为

1R1C1sR2C2sC(s)1G(s)P111111R(s)1 R1C1sR2C2sC1R2sR1C1sR2C2s1R1C1R2C2s2(R1C1R2C2C2R1)s1

分别用结构图变换法及梅逊公式求图所示各系统的传递函数C(s)R(s)。

图 系统结构图

(a) 解：

1） 结构图变换法

如图(a)所示，虚线框内部分为典型的负反馈环节，因此系统动态结构图的等效变换如图(b)所示。系统闭环传递函数为

G1(s)G1(s)(1G2(s))C(s)R(s)1G(s)gG2(s)1G2(s)G1(s)G2(s)11G2(s)R(s) －G1(s) + C(s)

R(s) －G1(s) C(s)

G2(s) （a）

图 题(a)系统结构图等效变换

G2(s) 1G2(s)（b）

2） 梅逊公式法

全系统有一条前向通道，其增益为P1G1，反馈回路有两个，其回路增益分别为：L1G1G2，

L2G2，之间相互接触，故特征式为

1(L1L2)1G1G2G2

反馈回路L2与前向通道不接触，因此余子式为

11G2

G1(1G2)C(s)P11 R(s)1G1G2G2(b)解：

1） 结构图变换法

如图(a)所示，虚线框内部分为典型的负反馈环节，因此系统动态结构图的等效变换如图(b)所示。系统闭环传递函数为

G1(s)G(s)G2(s)(1H1(s)H2(s))C(s)gG2(s)1

G(s)H(s)R(s)11G1(s)H1(s)H1(s)H2(s)111H1(s)H2(s)R(s) －G1(s) H1(s) H2(s) －G2(s) C(s) R(s) －G1(s) H1(s) 1H1(s)H2(s) （b）

G2(s) C(s) （a）

图题(b)系统结构图等效变换

2）梅逊公式法

全系统有一条前向通道，其增益为P1G1G2，反馈回路有两个，其回路增益分别为：L1G1H1，

L2H1H2，其中L2与前向通道不接触，故特征式为

1(L1L2)1G1H1H1H2

余子式为

11H1H2

G(s)G2(s)(1H1(s)H2(s))C(s)P111 R(s)1G1(s)H1(s)H1(s)H2(s)(c)解：

1） 结构图变换法

如图(a)所示，虚线框内部分为典型的负反馈环节，而G3(s)为一独立的并联环节，因此系统动态结构图的等效变换如图(b) 、(c)所示。系统闭环传递函数为

G1(s)G2(s)C(s)G3(s) R(s)1G1(s)G2(s)H2(s)G2(s)H1(s)G3(s) R(s) －+=G1(s) + G2(s) H1(s) H2(s) C(s) （a）

G3(s) R(s) －G1(s) G2(s) 1G2(s)H1(s)+=C(s) H2(s) （b）

G3(s) R(s) G1(s)G2(s) 1G2(s)H1(s)G1(s)G2(s)H2(s)（c）

图 题(c)系统结构图等效变换

C(s) 2）梅逊公式法

全系统有两条前向通道，其增益为P1G1G2，P2G3；反馈回路有两个，其回路增益分别为：

L1G1G2H2，L2G2H1，其中P2是一条独立的前向通道，与P1及反馈回路均不接触，故特征式为

1(L1L2)1G1G2H2G2H1

余子式为

11，21G1G2H2G2H1

PG1(s)G2(s)C(s)P1122G3(s) R(s)1G1(s)G2(s)H2(s)G2(s)H1(s)(d)解：

1） 结构图变换法

该系统具有比较复杂的交叉连接结构。从图(a)可见，对于相加点③，前向通道有两组。第一组有两个分支，为A→相加点①→相加点③，及A→相加点①→相加点②→相加点③；同理，第二组也有两个分支，为A→相加点②→相加点③，及A→相加点②→相加点①→相加点③。

同理，如(a)图所示，系统虚线框外有一条反馈系数为1的主负反馈通道，并由于系统有如上分析的四条前向通道，因此系统有四条反馈系数为1的负反馈回路。此外，虚线框内，还存在一个局部负反馈回路，为相加点①→相加点②，也就是相加点②→相加点①。

综上，系统动态结构图的等效结构如图(b)所示，系统的交叉结构已经解开，仅具有简单的串联、并联、负反馈结构，其等效简化过程见图(c) 、(d)。

系统闭环传递函数为

G2(s)G1(s)2G2(s)G1(s)1G1(s)G2(s)G2(s)G1(s)2G1(s)G2(s)C(s)

G(s)G(s)2G(s)G(s)R(s)121G2(s)G1(s)3G1(s)G2(s)1211G1(s)G2(s)2）梅逊公式法

由前面的分析，并注意各信号的正负，全系统有四条前向通道，其增益为P1G1(s)，P2G2(s)，

P3G1(s)G2(s)，P4G2(s)G1(s)。

反馈回路有五个，其回路增益为：L1G1(s)，L2G2(s)，L3G1(s)G2(s)，

L4G2(s)G1(s)，L5G2(s)G1(s)，五个反馈回路相互接触，并与四条前向通道均有接触。注意：

回路L1G1(s)和L2G2(s)的共同路径是A→B，③→C，如图(a)粗黑虚线所示，其传递函数分别为

G(s)1。

故系统特征式为

1(L1L2L3L4L5)1G1G23G1G2

12341

C(s)14gPkkR(s)k1

G2(s)G1(s)2G1(s)G2(s)1G1(s)G2(s)3G1(s)G2(s)

①－R(s) A=B=－+=G1(s) ③+=+=C=C(s)②－+=G2(s) 连杆、电位器 （a） G2(s) G2(s) ①－②+=－G1(s) ③R(s) A=－B=+=+=C=C(s) G1(s) +=+=G2(s) －G1(s) （b）

G2(s)1 R(s) －G1(s) 1G1(s)G2(s)G2(s) 1G1(s)G2(s)+=+=C(s) G1(s)1 （c）

R(s) －(G2(s)1)G1(s)(G1(s)1)G2(s) 1G1(s)G2(s)1G1(s)G2(s)C(s) （d）

图题(d)系统结构图等效变换

R(s) －+ －G1(s) a G2(s) －G3(s) b G4(s) C(s)

(a)

1 G1(s)1 G4(s)G3(s) －R(s) －+ －a G1(s) G2(s) G4(s) C(s)

b (b)

1 G1(s)G4(s)R(s) －－+ G1(s)G2(s) －G3(s)G4(s) C(s) (c)

R(s) －G1(s)G2(s) 1G1(s)G2(s)1G3(s)G4(s) 1G3(s)G4(s)C(s)

1 G1(s)G4(s)(d)

图题(e)系统结构图等效变换

(f)

解：结构图变换法

为解除交叉连接，可分别将相加点a前移、分支点b后移，如图(a)所示。 动态结构图的等效变换见图(b)、(c)、(d)。系统闭环传递函数为

G(s)G4(s)G1(s)G2(s)g31G1(s)G2(s)1G3(s)G4(s)C(s)R(s)1G1(s)G2(s)gG3(s)G4(s)gG1(s)G4(s)11G1(s)G2(s)1G3(s)G4(s)G1(s)G4(s)G(s)G4(s)G1(s)G2(s)g31G1(s)G2(s)1G3(s)G4(s)G3(s)G2(s)G(s)G4(s)11gg11G1(s)G2(s)1G3(s)G4(s)1G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G2(s)G3(s)

2）梅逊公式法

全系统有一条前向通道，其增益为P1G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)；反馈回路有四个，其回路增益为：

L1G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)，L2G1(s)G2(s)，L3G3(s)G4(s)，L4G2(s)G3(s)，四

个反馈回路与前向通道均有接触，但L2与L3相互独立，故特征式为

1(L1L2L3L4)L2L31G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s) 1G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G2(s)G3(s)11

G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)C(s)P11 R(s)1G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G2(s)G3(s)

试用梅逊公式求图所示系统的传递函数。

1 g

R(s) a b h c d e i f C(s) R(s) 1 a b c d C(s)

e 1 图 系统信号流图

（a） （b）

(a)解：全系统有四条前向通道，其增益为P1abcdef，P2ahdef，P3abcdi，P4ahdi，反馈回路有一个，其回路增益为：Lcdeg，与四条前向通道均有接触，故特征式为

1L

12341

PPPPPPPC(s)P112233441234R(s)

(bcefhefbcihi)ad1cdeg(b)解：全系统有一条前向通道，其增益为Pabcd，反馈回路有三个，其回路增益分别为：L1ab，

L2de，L3abcd，与前向通道P均有接触，但L1、L2互不接触，故特征式为

1(L1L2L3)L1L2

C(s)Pabcd R(s)1ababcddeabde

已知各系统的脉冲响应函数，试求系统的传递函数G(s)。 （1）g(t)0.125e1.25t； （2）g(t)2t5sin(3t解：（1）g(t)0.125e1.25t 等式两端取拉氏变换，得

3)。

1111 G(s)gg8s524s54解：(2) 方法1：

g(t)2t5sin(3t)2t5sin3(t)

39在零初始条件下，等式两端取拉氏变换，根据拉氏变换的时域平移定理，得

s23G(s)2522e9

ss3由欧拉公式ejcosjsin，且sjj3,js/3，则有

j3gj232323139G(s)252e252e3252(j)ss9ss9ss922方法二

231s325(33s)5(g)s2s29232s22(s29)

根据三角函数的求和定理，系统的脉冲响应函数可展开为

g(t)2t5sin(3t)2t5(sin3tcoscos3tsin)333

132t5(sin3tgcos3tg)22在零初始条件下，等式两端取拉氏变换，得

G(s)

253325(33s) (sg)2s2s2922s2(s29)MATLAB实验指导

求解时间函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)。 （1）f(t)3cos(2t4) （2）f(t)4t2e3t

解：（1）MATLAB程序如下

syms t; %定义t为变量 f =3*cos(2*t+1/4*pi); %定义时间函数f Fs=laplace(f) %求解拉氏变换 输出结果为 Fs =

3/8*2^(1/2)*s/(1/4*s^2+1)-3/4*2^(1/2)/(1/4*s^2+1) 即时间函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)为

F(s)32s321 g2g8s4s21144（2）MATLAB程序如下

syms t %定义t为变量 f=4*t^2*exp(-3*t) %定义时间函数f Fs= laplace(f) %求解拉氏变换 输出结果为 Fs = 8/(s+3)^3

即时间函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)为

F(s)8 (s3)3

求解F(s)的反拉普拉斯变换f(t)。

s2s100F(s)

s(s2100)解：MATLAB程序如下

syms s %定义s为变量 y2=ilaplace((s^2+s+100)/(s*(s^2+100))) %求解拉氏反变换 输出结果为

y2 = 1+1/10*sin(10*t)

即F(s) 的拉普拉斯反变换f(t)为

f(t)1

在零初始条件下求解微分方程

1sin10t 10&&&&&&&y(t)2&y(t)2y(t)2&x(t)3x(t)2x(t)，x(t)(t)

解：MATLAB程序如下

方法一：利用MATLAB的dsolve函数直接求解高阶微分方程 syms t;

f='D3c+2*D2c+2*Dc=2*dirac(2,t)+3*dirac(1,t)+2*dirac(t),c(0)=0,Dc(0)=0,D2c(0)=0'; %定义微

分方程及初始条件

c=dsolve(f,'t') %求解微分方程 上述指令中，dirac(t)为MATLAB定义的单位脉冲函数，dirac(1,t)与dirac(2,t)为其一阶及二阶导数。 输出结果为 c=

-exp(-t)*cos(t)+heaviside(t)*exp(-t)*cos(t)+heaviside(t)-1

由于冲激（脉冲）函数十分特殊，在t=0时刻不连续，其一阶导数是冲激偶[Inf –Inf]，为在原冲激函数坐标处的上下两个方向的‘箭头’，幅度分别为正负无穷大。因此，直接利用dsolve函数求解出来的

y(t)是围绕t轴对称的两组信号，实际上取为正的信号，即y(t)为

heaviside(t)*exp(-t)*cos(t)+heaviside(t)

heaviside(t)函数是MATLAB定义的单位阶跃信号，因此当t>0时，信号y(t)为

1+exp(-t)*cos(t)

关于heaviside(t)和dirac(t)函数的更多信息，请参考有关MATLAB与数字信号处理的书籍。

方法二：利用拉氏变换求解

在零初始条件下，对微分方程求拉氏变换，得出输出信号与输入信号之间的传递函数为

Y(s)2s23s2 X(s)s32s22当输入单位脉冲信号(t)时，输出为单位脉冲响应g(t)L[G(s)]，求解指令为 syms s;

Y=(2*s^2+3*s+2)/(s^3+2*s^2+2*s); %定义拉氏表达式 1y=ilaplace(Y) 输出结果为 y =

1+exp(-t)*cos(t) 即信号y(t)为

y(t)1etcost

求传递函数G(s)s23s3s43s35s26s2的零点和极点。 解：MATLAB程序如下

num=[1 3 3]; den=[1 3 5 6 2]; [z,p,k]=tf2zp(num,den) 输出结果为： z =

+ %零点 - p =

+ %极点 - k =

%求解反拉氏反变换 %分子多项式 %分母多项式 %求零、极点 1 %根轨迹增益

s23s2 将传递函数G(s)3分解为部分分式。

s5s26s解：MATLAB程序如下

num=[1 3 2]; %分子多项式 den=[1 5 6 0]; %分母多项式

[r,p,k]=residue(num,den) %求传递函数的留数、极点、常数项 输出结果为： Transfer function:

r = %留数 0

p = %极点 0

k = %常数项 []

说明传递函数可分解为：

21s3s2303 G(s)3s5s26ss3s2s2实际上，此传递函数有一对可对消的零极点，即2。

系统传递函数为G(s)解：MATLAB程序如下

num=[100 400]; %分子多项式

den=conv(conv(conv([1 0],[1 ]),[1 50]),[1 50]); %多项式相乘，求分母多

项式

100(s4)，求其传递函数模型的实现。 2s(s0.5)(s50)tf(num,den) %建立传递函数的多项式模型

输出结果为： Transfer function: 100 s + 400

---------------------------------------------- s^4 + s^3 + 2550 s^2 + 1250 s

s23s2 系统传递函数为G(s)4，求其零极点模型的实现。 32s3s5s6s解：MATLAB程序如下 num=[1 3 2]; den=[1 3 5 6 0];

[z,p,k]=tf2zp(num,den); %将传递函数模型转换为零极点模型 G=zpk(z,p,k) %输出系统的零极点模型 输出结果为： Zero/pole/gain: (s+2) (s+1)

-------------------------- s (s+2) (s^2 + s + 3)

此传递函数也有一对可对消的零极点：2。

单位负反馈系统前向通道由两个子系统串联而成

G1(s)求系统的闭环传递函数。

解：MATLAB程序如下

32s4，G2(s)2 s4s2s3num1=[3]; den1=[1 4]; num2=[2 4]; den2=[1 2 3];

[numc,denc]=series(num1,den1,num2,den2); %求环节串联后的分子与分母多项式 fopen=tf(numc,denc) %输出串联环节的传递函数（前向通道） fclosed=feedback(fopen,1) %单位负反馈连接，fopen为前向通道，输出

结果

输出结果为： Transfer function: 6 s + 12

---------------------------

s^3 + 6 s^2 + 11 s + 12 %串联后前向传递函数 Transfer function: 6 s + 12

----------------------------

s^3 + 6 s^2 + 17 s + 24 %闭环传递函数

某负反馈系统，前向传递函数G(s)与反馈传递函数H(s)分别为

G(s)求系统的闭环传递函数。

解：MATLAB程序如下 num1=[10]; den1=[1 1 0]; num2=[1 5]; den2=[1 10];

s510，H(s)

s(s1)s10[numc,denc]=feedback(num1,den1,num2,den2); %单位负反馈连接，(num1,den1)为前向通道 tf(numc,denc) %输出闭环系统的传递函数模型 输出结果为： Transfer function: 10 s + 100

---------------------------- s^3 + 11 s^2 + 20 s + 50