上海市2020届高三年级二模试卷(十区)

宝山区2019学年第二学期期中 高三年级数学学科教学质量监测试卷

（120分钟，150分）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分），考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。

1．己知复数z满足z1+i2020，则z__________. 24i（其中，i为虚数单位）

2．函数yarcsinx1的定义域是__________. 3．计算行列式的值，

0123=__________.

x2y24．已知双曲线C：221(a0,b0)的实轴与虚轴长度相等，则C的渐近线方程是

ab__________.

2，nN*，则数列an的各项和为__________. n(3)56．一个圆锥的表面积为，母线长为，则其底面半径为__________.

65．已知无穷数列anrn7．某种微生物的日增长率为r，经过n天后其数量由p0变化为p，并且满足方程pp0e.

实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r__________.（精确到1%）

18．已知x的展开式的常数项为第6项，则常数项为__________.

2x9．某医院ICU从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是__________.

10．已知方程xtx10(tR)的两个根是x1,x2，若|x1x2|22，则t=__________.

2nx＋y2，11．已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x,y)为平面区域x1，上的一个动点，

y2，uuruuur则OAOM的取值范围是__________.

rrrrrrrrrrrr12．已知平面向量a,b,e满足e1，ae1，be1，ab4，则ab的最小值

是__________.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13．抛物线y4x2的准线方程是（ ）

1

理科王（虹口）高中数学阿强老师

(A)x2

(B)x1

(C)y

18 (D)y1 1614．若函数f(x)sinxacosx的图像关于直线x

(A)1

(B)1

4

对称，则a的值为（）

(D)3

(C)3

15．用数学归纳法证明−1+3−5+⋯+(−1)𝑛(2𝑛−1)=(−1)𝑛𝑛,𝑛∈𝑁∗成立。 那么，“当n1时，命题成立”是“对nN*时，命题成立”的（）

(A)充分不必要条件. (C)充要条件.

(B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.

16．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2都有

f(x)x2fx1x1fx2,x0,0，则函数g(x)x（）

x1x20,x0,(A)是偶函数，且在(0,)上单调递减. (C)是奇函数，且单调递减.

(B)是偶函数，且在(0,)上单调递增. (D)是奇函数，且单调递增.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编

号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB900，

C1AB2AC2，D是AB的中点．

（1）若三棱柱ABCA1B1C1的体积为33， 求三棱柱ABCA1B1C1的高；

（2）若C1C2，求二面角DB1C1A1的大小.

2

AA1CDB1B理科王（虹口）高中数学阿强老师

18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知函数f(x)2sinx+，g(x)最小正周期为.

（1）若yf(x)是奇函数，求f(x)和g(x)在[0,]上的公共递减区间D； （2）若h(x)f(x)g(x)的一个零点为x

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个. （1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个。（精确到0.1万个）

（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划? （精确到1万个）

3

2cosx，0，0,，它们的

6，求h(x)的最大值.

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20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

x2y2已知直线l：ykxm和椭圆：1相交于点A(x1,y1),B(x2,y2).

42（1）当直线l过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线l的方程； （2）点C(2,1)在上，若m0，求ABC面积的最大值； （3）如果原点O到直线l的距离是

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

定义设an是无穷数列，若存在正整数k使得对任意nN*，均有ankan（ankan），则称an是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列an的间隔数.

（1）若an=n(1)，an是不是近似递增数列，并说明理由；

nOx23，证明：△AOB为直角三角形． 3y（2）已知数列an的通项公式为an列Sn的间隔数，求a的取值范围； （3）已知an=

12n1a,其前n项的和为Sn,若2是近似递增数

n+sinn，证明an是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数. 2

4

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崇明区2019学年第二学期第二次高考模拟考试试卷

数 学

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）

【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】

1．行列式

1234的值等于__________.

2．设集合Ax1≤x≤2，Bx0≤x≤4，则AIB__________.

3．已知复数z满足3iizi，i为虚数单位，则z__________.

14．已知函数f(x)2x1，其反函数为yf(x)，则f1(3)__________.

5．已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于__________. 16．2x2的展开式中含x5项的系数是__________.（用数字作答）

x417．若sin，则cos2__________.

238．已知数列{an}是无穷等比数列，其前n项和记为Sn，若a2a33,a3a4则limSn__________.

n3， 29．将函数f(x)sinx的图像向右平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图像．若对满足f(x1)g(x2)2的任意x1、x2，x1x2的最小值是

，则的最小值是__________. 310．已知样本数据x1,x2,x3,x4的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是__________.

uuuruuur11．在△ABC中，AB(3cosx,cosx),AC(cosx,sinx)，则△ABC面积的最大值是__________.

12．对于函数f(x)，其定义域为D，若对任意的x1,x2D，当x1x2时都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)为“不严格单调增函数”．若函数f(x)定义域为D{1,2,3,4,5,6}，值域为

A{7,8,9}，则函数f(x)是“不严格单调增函数”的概率是__________.

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理科王（虹口）高中数学阿强老师

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】

a13．若矩阵21xy3是线性方程组的系数矩阵，则（ ）

2xy1bA．a1,b1

2B．a1,b1 C．a1,b1 D．a1,b1

x2y214．若抛物线y8x的焦点F与双曲线1的一个焦点重合，则n的值为（ ）

3n

A．1

B．1

C．2

D．13

15．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai,ai1的矩形的周长(i1,2,L)，则“数

列{An}为等差数列”的充要条件是（ ）

A．{an}是等差数列

B．a1,a3,L,a2n1,L或a2,a4,L,a2n,L是等差数列 C．a1,a3,L,a2n1,L和a2,a4,L,a2n,L都是等差数列

D．a1,a3,L,a2n1,L和a2,a4,L,a2n,L都是等差数列，且公差相同

16．已知函数f(x)m2xx2nx，记集合A{x|f(x)0,xR}，集合

B{x|f(f(x))0,xR}．若AB，且A、B都不是空集，则mn的取值范围是（ ）

A．0,4

B．1,4

C．3,5

D．0,7

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】

17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． （1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；

BB 1

（2）求点C到平面A1BE的距离.

A1 A

C1C DD E 1

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18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）

a 已知函数f(x)2xx(a0)．

2（1）判断f(x)在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （2）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．

19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域．经测量，边界AB与AD的长都是2千米，BAD60，BCD120． （1）如果ADC105，求BC的长（结果精确到0.001千米）；

（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）

7

B A C D

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20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)

小题满分7分）

x2 已知椭圆:y21的右焦点为F，直线xtt(2,2)与该椭圆交于点A、B

2（点A位于x轴上方），x轴上一点C(2,0)，直线AF与直线BC交于点P． （1）当t1时，求线段AF的长； （2）求证：点P在椭圆上； （3）求证：S△PAC≤

21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)

小题满分8分）

an,an是偶数 在无穷数列{an}中，anN*，且an12，记{an}的前n项和为Sn．

an3,an是奇数2． 2（1）若a110，求S9的值； （2）若S317，求a1的值；

（3）证明：{an}中必有一项为1或3．

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奉贤区2019学年第二学期第二次高考模拟考试试卷

数 学

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）

【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】

1、若球的表面积为16cm2，则球的体积为__________cm3 2、已知圆的参数方程为x62cos，则此圆的半径是__________.

y2sin3、设z2021bi（i为虚数单位），若zz20292，则实数b__________.

x2y24、已知P为曲线:1上位于第一象限内的点，F1、F2分别为的两焦点，若

412F1PF2是直角，则点P坐标为__________.

xy25、已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x,y)为平面区域x1上的一个动点，

y2uuuuruuur则OMOA的取值范围为__________.

6、从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志 愿者又有女志愿者的概率是__________.（结果用数值表示）

7、在△ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是__________. 8、已知等差数列{an}的各项不为零，且a3、a13、a63成等比数列，则公比是__________. 9、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是__________.

2x210、集合A{x|x0}，B{x||xa|2}，若AIB，

24则实数a的取值范围是__________.

11、三个同学对问题“已知m,nR，且mn1，求思路：

11的最小值”提出各自的解题 mn11mnmnnm2，可用基本不等式求解； mnmnmn11mn11乙：，可用二次函数配方法求解；

mnmmmnm(1m)甲：丙：

1111nm()(mn)2，可用基本不等式求解；参考上述解题思路， mnmnmn9

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a21可求得当x时，y2（0x10，a0）有最小值__________.

x100x212、在平面直角坐标系内有两点A(m,1)，B(2,1)，m2，点A在抛物线y22px上，

F为抛物线的焦点，若2|AB||AF|6，则m__________.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】

13、某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数 据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ） A. 1.5小时 B. 1.0小时 C. 0.9小时 D. 0.6小时

14、如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点， 角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂 线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)， 则yf(x)在[0,]上的图像大致为（ ）

A.B. C.D.

af(n)（ ） 15、设函数f(x)loga(1a)，其中a0，且a1，若nN，则limnnaa11A. 1 B. aC.D. 或a

aax*16、已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1，且公比q1，若集合kakbk，则集合元素最多有（ ）个

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】

17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长AB2，侧棱BB14，过点B作B1C的垂线交侧棱C1C于点E，交B1C于点F.

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（1）求EC的长；

（2）求A1B与平面BED所成的线面角.

18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 已知向量a(cosx,sinrrr2(ab)rr（R）. abrr2(ab)rr，并求当1时方程f(x)2的解集； （1）化简f(x)ab32r3xx，x)b(sin,cos)（xk，kZ），令f(x) 222（2）已知集合P{h(x)|h(x)h(x)2，D是函数h(x)与h(x)定义域的交集且D不是空集}，判断元素f(x)与集合P的关系，说明理由.

19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为b（b0），固定部分为1000元.

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

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20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)

小题满分7分）

直线L1:2xy330上的动点P到点T1(9,0)的距离是它到点T(1,0)的距离的3 倍.

（1）求点P的坐标；

uuuruurx2y2（2）设双曲线221的右焦点是F，双曲线经过动点P，且PFTT10，求双曲线

ab的方程；

（3）点T(1,0)关于直线xy0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k0）的

x2y2直线L与（2）中的双曲线221交于不同的两点M、N，且满足|QM||QN|，若

ab存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由.

21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）

两个数列{n}、{n}，当{n}和{n}同时在nn0时取得相同的最大值，我们称{n}与

{n}具有性质P，其中nN*.

（1）设(1x)2022的二项展开式中xk的系数为ak（k0,1,2,3,,2022），kN， 记a0c1，a1c2，，依次下去，a2022c2023，组成的数列是{cn}；

1x记b0d1，b1d2，，依次下去，b2022d2023，组成的数列是{dn}；

判别{cn}与{dn}是否具有性质P，请说明理由；

同样地，(x)2022的二项展开式中xk的系数为bk（k0,1,2,3,,2022），kN，

（2）数列{tdn}的前n项和是Sn，数列{19823n}的前n项和是Tn，若{Sn}与{Tn}具有性质P，d,tN，则这样的数列{tdn}一共有多少个？请说明理由；

（3）两个有限项数列{an}与{bn}满足an1an(bn1bn)，nN*，且a1b10，是否存在实数，使得{an}与{bn}具有性质P，请说明理由.

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*理科王（虹口）高中数学阿强老师

虹口区2019学年度第二学期学生学习能力诊断测试

高三数学 试卷2020. 5

一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，

每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1. 函数f(x)3cos2x1的最小值为_________. 2. 函数f(x)1x的定义域为_________. 3x3.设全集UR,若Axx23,则ðUA_________.

4．3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为_________.

5．已知函数g(x)的图像与函数f(x)log2(3x1)的图像关于直线yx对称，则

g(3)_________.

6.设复数zcossini2i（i为虚数单位），若z2,则tan2_________.

7. 若(ax2+515)的展开式中的常数项为，则实数a的值为________.

2x8.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b23,c8,A30,则sinC_________.

x20,uuuruuur9.已知点A(3,2),点P满足线性约束条件设O为坐标原点，则的OAOPy10,x2y4,最大值为_________.

x2y210.已知F1,F2是椭圆C:21(a3)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60的

a3uuuuruuuuruuuuruuuur直线与椭圆C的一个交点为M.若MF1MF2MF1MF2,则椭圆C的长轴长为________.

11.已知球O是三棱锥PABC的外接球，PAABBCCA2,PB22, 点D为BC的中点，且PD7,则球O的体积为_________.

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5x1,x112.已知函数fx8，若方程ffxa恰有5个不同的实数根，则

,x1x1实数a的取值范围为________.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的

相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分. 13.已知抛物线y24x上的点M到它的焦点 的距离为5，则点M到y轴的距离为（）

（A）2（B）4 （C）5（D）6

14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm）, 则该几何体的表面积（单位：cm2）为（）

（A）32（B）36 （C）40（D）48

4俯视图（第14题图）正视图534侧视图1(0,)上有且仅有两个零点，则实f(x)sin(x)(0)15．已知函数在区间

262数的取值范围为()

（A）2,14141010

（B）（C）（D）,42,,6333316．设等比数列an的前n项和为Sn,首项a11,且2S2S43S3.已知m,nN,若存在正整数i,j(1ij),使得mai,mn,naj成等差数列，则mn的最小值为（）

（A）16 （B）12 （C）8 （D）6

三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必

要的步骤.

17．(本题满分14分)本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形， PA底面ABCD,且PAAD2AB2,设E,F,G

P分别为PC,BC,CD的中点，H为EG的中点，如图.

（1）求证：FH// 平面PBD；

（2）求直线FH与平面PBC所成角的大小.

BAEHGF（第17题图）CD14

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18．(本题满分14分)本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数f(x)a4(a为实常数). 3x1（1）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）当f(x)为奇函数时，对任意的x1,5，不等式f(x)最大值.

19．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分．

某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“H”型图形，“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横

u恒成立，求实数u的x33向矩形长边的倍，设O为圆心，AOB2,记

2“H”型图形的面积为S．

（1）将AB , AD用R,表示，并将S表示成 的函数；

ODAMC（2）为了突出“H”型图形，设计时应使S尽可 能大，则当为何值时，S最大？并求出S的最大值.

（第19题图）B15

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20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.

x22222设双曲线C:2y1的左顶点为D,且以点D为圆心的圆D:(x2)yr(r0)a与双曲线C分别相交于点A,B,如图所示.

(1) 求双曲线C的方程；

(2) 求DADB的最小值，并求出此时圆D的方程；

(3) 设点P为双曲线C上异于点A,B的任意一点，且直线PA,PB与x轴分别相交于点

uuuruuurM,N,求证：OMON为定值（其中O为坐标原点）.

yPADNMBOx（第20题图）

21.(本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.

已知项数为m(mN,m2)的数列an满足条件:

①anN(n1,2,L,m);②a1a2Lam.

若数列bn满足bn的“关联数列”.

(a1a2Lam)anN(n1,2,L,m),则称bn为数列anm1(1)数列1,5,9,13,17是否存在“关联数列”？若存在,写出其“关联数列”；若不存在,请说明理由；

(2)若数列an存在“关联数列”bn,证明:an1anm1(n1,2,L,m1); (3)已知数列an存在“关联数列”bn,且a11,am2049,求数列an项数m的最小值与最大值.

16

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金山区2019学年第二学期质量监控

高三数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生

应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．集合Ax|03．i是虚数单位，则

i的值为____________. 1i11314．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数aa022________.

2x115．已知函数f(x)，则f(0).

11x226．已知双曲线2y1a0的一条渐近线方程为2xy0，则实数a=___________.

a7．已知函数f(x)lg1xsinx1，若f(m)4，则f(m). 1x1,n1,2,n8．数列an的通项公式annN*，前n项和为Sn，则limSn.

n1,n3,2n9．甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是（结果用最简分数表示）．

10．若点集A(x,y)|x2y21，Bx,y|2x2,1y1，则点集

Q(x,y)|xx1x2,yy1y2,(x1,y1)A,(x2,y2)B所表示的区域的面积是urur11．我们把一系列向量ai(i1,2,...,n)按次序排成一列，称之为向量列，记作ai，已知

__________.

ururuur1向量列ai满足：a1(1,1)，anxn,ynxn1yn1,xn1yn1(n2)，设n表

217

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uuuruurn2，对任意正整数n，不等式示向量an1与an的夹角，若bnn111...loga12a恒成立，则实数a的取值范围是________. bn1bn2b2n12．设nN，an为(x2)nx1的展开式的各项系数之和，mt6，tR，

*n12a2anabn122...nn（[𝑥]表示不超过实数x的最大整数），则

333(nt)2bnm的最小值为___________.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为l1:a1xb1yc10，l2:a2xb2yc20，那么“

2a1a2b10”是“两直线l1、l2平行”的( )． b2（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件 14．如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等

腰梯形，则原平面图形的面积是( ). （A）

1222 （B）（C）22

22（D）12

15．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是( ).

uuuruuuuruuuur（A）A1AA1D1A1B12uuuur23A1B1

uuuruuuuruuur（B）AC1A1B1A1A)0 uuuuruuur（C）向量AD1与A1B的夹角是120

uuuruuuruuur（D）正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|ABAA1AD|

16．函数fx是定义在R上的奇函数，且fx1为偶函数，当x[0,1]时，fx若函数gxfxxm有三个零点，则实数m的取值范围是( ). （A）(x.11,)（B）(12,21)44

18

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（C）(4k11,4k)（kZ）（D）(4k12,4k+21)（kZ） 44三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知四棱锥PABCD,PA底面ABCD,PA1，底面

P E A D

ABCD是正方形，E是PD的中点，PD与底面ABCD所成角的

大小为.

6（1）求四棱锥PABCD的体积；

（2）求异面直线AE与PC所成角的大小（结果用反三角函数值

表示）.

B

C

18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知函数fx2cos2x3sinx. 2（1）求函数f(x)在区间0,上的单调递增区间； （2）当f()=

11，且，求sin()的值. 519

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19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．

随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放.据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型(nN)：

*(1n6)200n1500,n6以fn3003112400,(7n28)表示第n个时刻进入园区的人数；

23400650n,(29n36)(1n15)0,以gn400n5000,(16n28)表示第n个时刻离开园区的人数．

8200,(29n36)设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即n1；8

点30分作为第2个计算单位，即n2；依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．

（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的游客人数𝑓(19)+𝑓(20)+𝑓(21)+𝑓(22)和离开园区的游客人数𝑔(19)+𝑔(20)+𝑔(21)+𝑔(22)；

（2）请问，从12点（即𝑛=16）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由．

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

y21交于Px1,y1、Qx2,y2两不同点，且△OPQ的面已知动直线l与椭圆C:x22积SVOPQ，其中O为坐标原点.

2（1）若动直线l垂直于x轴，求直线l的方程;

22222（2）证明x1x2和y1y2均为定值;

（3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得三角形面积SVODESVODGSVOEG在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.

20

2?若存2理科王（虹口）高中数学阿强老师

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

若无穷数列{an}满足：存在kN，对任意的nn0nN为常数）,则称{an}具有性质Qk,n0,d.

（1）若无穷数列{an}具有性质Q3,1,0，且a11，a22，a33，求a2a3a4的值；

（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1c51，

**，都有ankand（db5c181，anbncn，判断{an}是否具有性质Qk,n0,0，并说明理由；

（3）设无穷数列{an}既具有性质Qi,2,d1，又具有性质Qj,2,d2，其中

i,jN*,ij,i,j互质，

求证：数列{an}具有性质Qji,2,

jid1. i

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闵行区2019学年第二学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷

（满分150分，时间120分钟）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题 每个空格填对得5分），考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果. 1．设集合A1,3,5,7，Bx4x7,则AIB__________. 2．已知复数z满足iz1i(i为虚数单位），则Imz__________. 3．若直线axby10的方向向量为1,1，则此直线的倾斜角为__________. 4．记Sn为等差数列an的前n项和，若S32S1S2,a12,则a5__________. 5．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为__________.

16．在3x的二项展开式中，常数项的值为__________.

x7．若x,y满足xy1,且y1,则x3y的最大值为__________.

8．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为__________.

9. 已知直线l1:yx，斜率为q(0q1)的直线l2与x相交于点A，与y轴相交于B0(0,a)，过B0作x轴的平行线，交l1于点A1.过A1作y轴的平行线，交l2于点B1 再过B1作x轴的平行线，交l1于点A2,…这样依次得到线

8B1A2，A2B2，...Bn1An,AnBn，记xn段B0A1，A1B1，xn__________. 为Bn横坐标，则limn10.已知f(x2)是定义在R上的偶函数，当x1,x22,且x1x2时，总有

x1x20，则不等式f(3x11)f(12)的解集为__________.

f(x1)f(x2)11.已知A,B,C是边长为1的正方形边上任意三点，则ABgAC的取值范围__________.

22

uuuruuur理科王（虹口）高中数学阿强老师

12.已知函数f(x)sinxcosx4sinxcosxk，若函数f(x)在区间0,内恰好有奇数个零点，则实数k的所有取值之和为__________. 二 选择题

13. 在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ）

A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 14. 某县共有300个村，现采取系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数k30020，即每20个村抽15取一个村，在1到20中随机抽取一个数字7，则在41到60这20个数中应取得号码是（ ） A 45 B 46 C 47 D 48

15.已知抛物线的方程为y24x，过其焦点F的直线交抛物线于M,N两点，交y轴于点E,

uuuuruuuruuuruuur若EM1MF,EN2NF, 则12（）

A 2 B 2 C 1 D 1

16. 已知关于x的实系数方程：x24x50和x22mxm0的四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m取值范围是（）

A{5} B{1} C0,1 D0,1U1

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上相应编号的区域写出必要的步骤）

17（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第一题满分6分，第二题满分8分） 在

直

三

棱

柱

ABCA1BC1中，

ABBC,ABBC2,AA123,M是侧棱C1C上一点，

设MCh

3，求多面体ABMA1B1C1的体积

（1）若h（2）若异面直线BM与AC11所成的角为60，求h的值

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18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知函数（1）当

f(x)3cos2x3sinxcosx(0)

f(x)的最小正周期为2时，求的值

（2）当1时，设三角形VABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，已知

Af3，且a27,b6，求VABC的面积。 2

19.《本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

如图，A、B两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造储备仓库，共享民生物资，当点P在线段AB的中点C时，建造费用为2000万元；若点P在线段AC上（不含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比；若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、B之间的距离成反比，现假设P、A之间的距离为x千米(0x100)，A地所需该物资每年的运输费用为2.5x万元，B地所需该

f(x)表示建造仓库费用，g(x)表示两地物资

物资每年的运输费用为0.5(100x)万元，每年的运输总费用（单位：万元）。 （1）求函数

f(x)的解析式：

（2）若规划仓库使用的年数为n并解释其实际意义，

nN,*H(x)f(x)ng(x)，求H(x)的最小值 ，

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20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

x2y21 的上、下顶点，若动直线在平面直角坐标系中，A,B分别为椭圆:2l过点P(0,b)(b1)，且与椭圆相交于C、D两个不同点（直钱l与y轴不重合，且

C、D两点在y轴右侧，C在D的上方），直线AD与BC相交于点Q .

（1）设的两焦点为F1,F2，求F1AF2的值：

uuur3uuur（2）若b3，且PDPC ，求点Q的横坐标；

2（3）是否存在这样的点P，使得点Q的纵坐标恒为不存在，请说明理由。

1？若存在，求出点P的坐标；若3

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21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知数列xn,·若对任意nN,都有

*2*xnxn2xn1，则称数列xn为“差增数列”. 2（1） 试判断数列ann(nN)是否为“差增数列”，并说明理由；

（2） 若数列an为“差增数列”，且anN,a1a21,对于给定的正整数m，

*当akm,项数k的最大值为20时，求m的所有可能取值的集合；

（3） 若数列lgxn为“差增数列”(nN,n2020),且lgx1lgx2Llgx20200,

*证明：x1010x10111.

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浦东新区2019学年度第二学期教学质量检测

高三数学试卷卷 2020.05

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直

接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，否则一律得零分．

2，集合A=0，1，则∁UA ． 1．设全集U=0,1，2．某次考试，5名同学的成绩分别为：96、100、95、108、115，则这组数据的中位数为 ． 3．若函数fxx，则f1211 ．

4．若1i是关于x的方程xpxq0的一个根（其中i为虚数单位，p、qR），则5．若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积之比为 ． 6．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2pq ．

xt1t为参数，圆O的参数方程

yt为xcos为参数，则直线l与圆O的位置关系是 ．

ysin

7．若二项式12x4xxxx展开式的第4项的值为42，则limn223n ．

8．已知双曲线的渐近线方程为yx，且右焦点与抛物线y4x的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.

9．从mmN，且m4个男生、6个女生中任选2个人发言.假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果事件A和事件B的概率相等，则m ．

10．已知函数fxxalog2x2a2的零点有且只有一个，则实数a的取值集合

22为 ．

11．如图，在ABC中，BAC，D为AB中点，P为31APtACAB，CD上一点，且满足若ABC的面积

333为，则AP的最小值为 .

2A C P D 2B

12．已知数列an,bn满足a1b11，对任何正整数n均有an1anbnanbn，21n1c3，则数列cn的前2020项之和为 . bn1anbnab，设nabnn2n2n27

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二、选择题（ 本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必

须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

xy0xy1， 则目标函数f2xy的最大值为（ ）

13．若x、y满足 y0A．1

B．2

C．3

D．4

14．如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，在平面ADD1A1E、F分别为棱A1A、BC上的点，

内且与平面DEF平行的直线（ ）

A．有一条 B．有二条 C．有无数条 D．不存在 15．已知函数fxcosxcosx，给出下列结论： ①fx是周期函数； ② 函数fx图像的对称中心（k+③ 若fx1fx2，则x1x2kkZ；

④ 不等式sin2xsin2xcos2xcos2x的解集为xkA B D C

A1 B1

E

C1

D1

2F ,0)(kZ)；

15xk,kZ. 88D．① ② ④

则正确结论的序号是（ ）

A．① ②

B．② ③ ④

C．① ③ ④

16．设集合S1,2,3,...,2020，设集合A是集合S的非空子集，A中的最大元素和最小元素

之差称为集合A的直径，那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ） A．711949 B．2701949 C．270371949 D．270721949

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的A

D

F 正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．

（1）求此几何体的体积；

（2）设P是弧EC上的一点，且BPBE，求异面直线FP与CA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

E

B

P

C

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18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正方向重合，终边与单位圆分别交

于P、Q两点，若P、Q两点的横坐标分别为（1）求cos的大小；

31025、． 105（2）在ABC中，a、b、B、C对应的边长，若已知角C，c分别为三个内角A、tanA3，且a2bcc2，求的值． 4 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款fx（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x（万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型fx为参数）作为补助款发放方案．

（1）判断使用参数b12是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b的取值范围．

xb4（其中b4x29

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20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

x2 2y21a0的左、右焦点，在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别是椭圆：a直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AF1AF222. （1）求椭圆的方程；

（2）已知直线l经过椭圆的右焦点F2，P、Q是椭圆上两点，四边形ABPQ是菱形，求直

线l的方程；

（3）已知直线l不经过椭圆的右焦点F2，直线AF2、l、BF2的斜率依次成等差数列，求

直线l在y轴上截距的取值范围.

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分.

若数列an对任意连续三项ai,ai1,ai2，均有aiai2ai2ai10(iN)，则

称该数列为“跳跃数列”.

（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：

① 等差数列：1,2,3,4,5,； ② 等比数列：1,1111,,,； 24816an（2）若数列an满足对任何正整数n，均有an1a1列的充分必要条件是0a11.

a10.证明：数列an是跳跃数

219an（3）跳跃数列an满足对任意正整数n均有an1，求首项a1的取值范围.

5

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松江区2019学年度第二学期模拟考质量监控试卷

高三数学

（满分150分，完卷时间120分钟） 2020.5

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．若集合A{2,4,6,8}，B{x|x4x0}，则AIB= ▲ ．

2．已知复数z1a2i，z223i（i是虚数单位），若z1z2是纯虚数，则实数a= ▲ ． 3．已知动点P到定点(1,0)的距离等于它到定直线l:x1的距离，则点P的轨迹方程为 ▲ ．

4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1a54,a3a712，则S7= ▲ ． 5．若(xa)的展开式中x5项的系数为56，则实数a= ▲ ． 6．已知数列{an}的首项a11，且满足则limSn ▲ ．

n82an1an0(nN*)，数列{an}的前n项和为Sn，

127．用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是 ▲ 立方米．

x8．若函数f(x)log2(21)kx是偶函数，则k= ▲ ．

uuruur9．已知等边ABC的边长为23，点P是其外接圆上的一个动点，则PAPB的取值范

围是 ▲ ．

10．已知函数f(x)cos(2x6)，若对于任意的x1[,]，总存在x2[m,n]，使44得f(x1)f(x2)0，则mn的最小值为_ ▲ ．

11．已知集合An{(x1,x2,L,xn)xi1,i1,2,L,n}，元素1n(1,1,L,1)称为集合An的特征元素．对于An中的元素a(a1,a2,L,an)与b(b1,b2,L,bn)，定义：

fn(ab)a1b1a2b2Lanbn．当n9时，若a是集合A9中的非特征元素，

则f9(19a)1的概率为 ▲ ．

ax12．已知函数f(x)xlog2(x)数)，有以下命题：

2x0x0(aR且a为常数)和g(x)k(kR且k为常

①当k0时，函数F(x)f(x)g(x)没有零点；

② 当x0时，h(x)f(x)bf(x)c恰有3个不同的零点x1,x2,x3，则

x1x2x31；

③对任意的k0，总存在实数a，使得F(x)f(x)g(x)有4个不同的零点

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x1x2x3x4，且x1,x2,x4,x3成等比数列．

其中的真命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸

的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．若O为坐标原点，P是直线xy20上的动点，则OP的最小值为 (A)

2 (B) 2 (C) 3 (D) 2 214．若xa1成立的一个充分不必要条件是1x2，则实数a的取值范围是 (A) 1a2 (B) a1 (C) a2 (D) a1或 a2 15．在正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q两点分别从点B和点

A1出发，以相同的速度在棱BA和A1D1上运动至点A和点D1，

在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为 (A) [,] (B) [arctan432,arctan2] 2 (C) [,arctan2] (D) [arctan42,] 2222216．已知实数x1,x2,L,x100[1,1]，且x1x2Lx100，则当x1x2Lx100取

得最大值时，x1,x2,L,x100这100个数中，值为1的个数为

(A) 50个 (B) 51 个 (C) 52 个 (D) 53个

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，

APABAD2，E是侧棱PB的中点． （1）求异面直线AE与PD所成的角； （2）求点B到平面ECD的距离．

BPEACD32

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18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

2已知函数f(x)2cosx23sinxcosx．

（1）求f(x)的最大值和最小正周期T；

（2）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知f()3，且a1，求ABC面积的最大值．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到tk6A212(万套)，其中k为工x4厂工人的复工率（k[0.5,1]）．A公司生产t万件防护服还需投入成本(208x50t)(万元) ．

（1）将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数；

（2）对任意的x[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.

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20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分6分．

x2y222如图，已知椭圆M:221(ab0)经过圆N:x(y1)4与x轴的两个

ab交点和与y轴正半轴的交点．

（1）求椭圆M的方程；

（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线l交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足

uuuruuur ACDB，求证：线段AB的中点E在定直线上．

21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知函数f(x)的定义域为D，若存在实常数及a(a0)，对任意xD，当xaD且xaD时，都有f(xa)f(xa)f(x)成立，则称函数f(x)具有性质

M(,a).

（1）判断函数f(x)x是否具有性质M(,a)，并说明理由；

（2）若函数g(x)sin2xsinx具有性质M(,a)，求及a应满足的条件；

（3）已知函数yh(x)不存在零点，当xR时具有性质M(t,1)（其中t0,t1），

* 记anh(n)(nN),求证：数列{an}为等比数列的充要条件是

21ta2a1t或2. a1a1t

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2019学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三数学 2020.5

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知U1,2,3,4,5,A1,3,5,则CUA_______________．

13的解集是_________. x2．不等式

3 ．函数fxcosx3的最小正周期为_____________．

24．若1i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程xpxq0的根，则pq=___________．

15．方程sinx在,上的解是__________________．

326. 若f(x)211是奇函数，则实数a的值为 ． x21a7．二项式(x15)的展开式中的常数项等于____________.（结果用数值表示） x8．已知直线a2x1ay30的方向向量是直线(a1)x2a3y20的法向量,则实数a的值为 .

9．从数字 1,2,3,4,5,6，7,8中任取2个数,则这2个数的和为偶数的

概率为____________. （结果用数值表示）

B67467A6576687567878548557uuuruuuruuuruuur10．在ABC中，若ABACABAC,AB2,AC1,E,F为uuuruuurBC边的三等分点，则AE•AF_____________．

11．如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A点由图中的道路到B点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A到B的行走线路，则此人从A到B遇见的行人总人数最小值是 .

12．设二次函数fx2m1xnxm2,m,nR且m222个零点，则mn的最小值为___________．

1在2,3上至少有一235

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二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长20%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比

为y，则y=f(x)的图像大致为 -------------------------------------------------（ ）

214．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为----------------（ ） （A）

2 （B）

2主视图1俯视图左视图3（C） （D） 2

2（第

14题图）

uuurt2cos的值是------------15．设点P(，当|OP|最小时，（ ） 1)(t0)是角终边上一点，

2t（A）

16．若数列an,bn的通项公式分别为an1对

任

意

n2020252555 （B） （C） （D） 5555a，bn数

12的

取

n2019n值

，且anbn范

围

为

nN恒成立，则实

a-----------------------------------------------------------------（ ） (A) 2,1 (B) 2, (C) 1,

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321 (D) 1,1 2理科王（虹口）高中数学阿强老师

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面 ABCD，E是PC的中点，已知AB2，AD22，PA2，求： （1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．

18．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

已知函数fx3x1,gx1x． （1）解不等式fx2；

（2）求Fxfxgx的最小值．

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PEADBC理科王（虹口）高中数学阿强老师

19. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为503米、圆心角为600的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案. 已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P，Q分别在弧AB、线段OA上． （1）若PON450，求此红旗图案的面积S；

（2）求组成的红旗图案的最大面积． P

B

N

20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

A

Q

M

O x2y2已知椭圆:221(ab0)的长轴长为22，右顶点到左焦点的距离为21，

abF1、F2分别为椭圆的左、右两个焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知椭圆的切线l（与椭圆有唯一交点）的方程为ykxm，切线l与直线x1和直线x2分别交于点M、N，求证：

MF2NF2为定值，并求此定值；

（3）设矩形ABCD的四条边所在直线都和椭圆相切（即每条边所在直线与椭圆有唯

一交点），求矩形ABCD的面积S的取值范围．

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21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设数列annN中前两项a1,a2给定，若对于每个正整数n3，均存在正整数kan1an2Lank，则称数列an为“数列”.

k1（1）若数列annN为a11,a2的等比数列，当n3时，试问：an与

2an1an2是否相等，并说明数列annN是否为“数列”； 2（1kn1）使得an（2）讨论首项为a1、公差为d的等差数列an是否为“数列”，并说明理由； （3）已知数列an为“数列”，且a10,a21 ，记Sn,kan1an2Lank,

n2,nN，其中正整数kn1， 对于每个正整数n3，当正整数k分别取1、2、

L、n1时

Sn,k的最大值记为Mn、最小值记为mn. 设bnngMnmn，当正整数kn满足3n2020时，比较bn与bn1的大小，并求出bn的最大值．

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2020年长宁区高三数学在线学习效果评估试卷

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知集合A(2,1]，B(0,)，则AB_______________．

2．行列式

55182的值等于______________．

3．1x的二项展开式的第三项的系数是 _______________． 4．若复数z满足z23，则z_______________．

x05．若实数x、y满足y0，则zxy的最小值为____________．

x2y26．直线l:x2t（t是参数）的斜率为____________．

y12tD1C1B17．如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱长为2， 底面边长为1，则直线D1B和底面ABCD所成的角的大小为 ______________．

A1DACB8．记等差数列an的前n项和为Sn．若a31，S714，则a5__________． 9．已知2,1,111,,,1,2,3．若函数f(x)x在(0,)上递减且为偶函数， 232则__________．

10．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，

则每个项目都有该校教师参加的概率为________（结果用数值表示）．

11．已知点M、N在以AB为直径的圆上．若AB5,AM3,BN2，则ABMN________． 12．已知函数f(x)1.若关于x的方程f(x)xb有三个不同的实数解，则实数b的

|x|1取值范围是___________________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．已知向量a(1,x,1)，b(x,1,1)，xR，则“x1”是“a∥b”的（）

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（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件 （C）充要条件（D）既非充分又非必要条件

14．某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已

知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（） （A）18（B）19（C）20（D）21

15．在直角坐标系xOy中，角的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O.已知角的终

边l

与单位圆交于点A(0.6,m)，将l绕原点逆时针旋转

与单位圆交于点B(x,y)， 24，则x（） 3（A）0.6（B）0.8（C）0.6（D）0.8

若tan16．在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线yx、x轴以及直线x1所围成的曲边

区域面积S的一种方法：把区间[0,1]平均分成n份，在每一个小区间 上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线yx上 （如图），则当n时，这些小矩形面积之和的极限就是S.已知

22yyx2122232n2线y1n(n1)(2n1)．利用此方法计算出的由曲 6O1x

x、x轴以及直线x1所围成的曲边区域的面积为（）

（A）

6332（B）（C）（D） 3243

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，母线长为22． （1）求该圆锥的体积；

（2）已知AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上 一点，且BOC90，M为线段AC的中点， 求异面直线OM与PB所成的角的大小．

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P

A O M B

C

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18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数f(x)sinx3cosx，xR．

（1）设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、若f(A)0，且b2， b、c．

c3，求a的值；

（2）求函数yf(x)cosx的最大值．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N. 已知向水中每投放1个单位的物

质N，x (单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示

16,0x68为y．根据经验，当水中含有物质N的量不低于4mol/L时，物质Nx212x,6x12才

能有效发挥作用．

（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天

至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．

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20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

x2y2已知椭圆：221（ab0）的右焦点的坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的

ab2

倍.椭圆的上、下顶点分别为A、B，经过点P(0,4)的直线l与椭圆相交于M、N两点

（不同于A、B两点）.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线BMl，求点M的坐标；

（3）设直线AN、BM相交于点Q（m,n)，求证：n是定值.

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

若数列cn满足“对任意正整数i,j,ij，都存在正整数k，使得ckcicj”，则称数 列cn具有“性质P”．已知数列an为无穷数列.

（1）若an为等比数列，且a11，判断数列an是否具有“性质P”，并说明理由； （2）若an为等差数列，且公差d0，求证：数列an不具有“性质P”； （3）若等差数列an具有“性质P”，且a32，求数列an的通项公式an.

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