浙江省9+1高中联盟2020_2021学年高二数学下学期期中试题

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A{x∣0x3},B{x∣1x4}，则AB（ ）

A．{x∣0x4} B．{x∣1x3} C．{x∣1x4} D．{x∣1x3} 2．已知(1i)z2，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．用数学归纳法证明项是（ ） A．

11nn111nN•,n2时，从nk到nk1，不等式左边需添加的2n11111111 D． B． C． 2k1k2k12(k1)k2k12(k1)2(k1)4．若幂函数f(x)m2m2x2m2m3在(0,)上是减函数，则实数m的值是（ ）

A．1或3 B．3 C．1 D．0

x2y21表示椭圆”的（ ） 5．已知mR，“2m4”是“方程

m24mA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若随机变量~B(n,p)，且E()2,D()8，则p（ ） 5A．

1234 B． C． D． 55557．某寝室6名同学打算在“五一假期（1日至5日）”中，随便选择一天参加志愿者活动，则不同的参加种数是（ ）

1

56 D．5 A．C56 B．A6 C．

568．函数f(x)lnx21kx2x2x(kR)的图像不可能是（ ）

．．．

A． B．

C． D．

log5(1x),x1,aR f(x) 则方程 f9．已知，函数2(x2)2,x1,1x2a的实根个数最多有（ ）

xA．6个 B．7个 C．8个 D．9个

210．已知a,b,cR，对任意x[1,1]，均有axbxc1，则当x[1,1]时，函数

f(x)∣ax2bxc)cx2bxa∣的最大值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．

x2311．若双曲线y21(b0)的渐近线方程为yx，则焦点到渐近线的距离是_______，焦距为

b32__________．

312．计算：20233823(25)__________，52lg2015lg0.2___________．

113．已知1xax1的展开式中所有项的系数和为64，则实数a_______，常数项为__________．

x2614．已知f(x)是函数f(x)的导函数， f1e，其中e是自然对数的底数，对任意xR，恒有22

f(x)2f(x)0，则不等式f(x)e22x的解集为_________．

15．已知a,b,c,dN，满足方程abcd10，则这个方程解的组数为_________．（用数字作答）

16．已知空间向量OA,OB,OC两两夹角均为

，且|OA||OB||OC|．若存在非零实数,，使得3 OP(OAOB),BQ(OCOB)，且OPPQBQPQ0，则_________，_________．

x2y21，过平面内一点P作两条互相垂直的直线l1,l2与分别相交于A，B和C，D，17．已知椭圆:2516若

1141，则|OP|的最小值为_________．

|AP||BP||CP||DP|256三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

218．（本题满分14分）已知b是实数，函数f(x)xbxlnx．

（I）当b0时，求f(x)的最小值； （II）若f(x)0恒成立，求b的值．

19．（本题满分15分）为了纪念中国古代数学家祖冲之，2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，某校数学文化节中，书吧推出“与有缘”摸球兑奖活动，规则如下：一只不透明的箱子里放着完全相同且分别标有编号的八个球（三个3，一个1，四个4），从中一次性任意摸出3个球，根据摸出的3个球的编号数字（数字无顺序）兑奖，设一、二、三等奖如下：

获奖等级 一等奖 二等奖 三等奖 3个球的编号数字 3，1，4 1，3，3或1，4，4 3，3，3或4，4，4 奖品 280元购书卡一张 140元购书卡一张 70元购书卡一张 其余情况视为无奖，每人只能一次摸球机会

（I）求摸奖者在一次摸球时恰好获得“280元购书卡一张”的概率； （II）求摸奖者在一次摸奖中获得奖品金额（单位：元）的分布列与期望．

20．（本题满分15分）如图，在四棱锥BACDE中，AE平面ABC，AC//DE，BAC120，

ABAEDE1AC2，F，G，H别为线段BE，CD，AC的中点． 23

（I）求异面直线BE与GH所成角的余弦值； （II）求直线DF与平面BCD所成角的正弦值．

21．（本题满分15分）如图，设曲线:yx1过抛物线:y2px(p0)的焦点F，直线l1过F与从下到上依次交于A，B，与交于F，P，直线l2过F与从下到上依次交于C，D，与交于Q，F，直线l1,l2的斜率乘积为2．

22

（I）求P，Q两点的纵坐标之积；

（II）设ACF,PQF,BDF的面积分别为S1,S2,S3，求

S1S3的值． 2S222．（本题满分15分）已知函数f(x)x3ax32,a0． a（I）当a3时，求函数f(x)在区间[1,1]上的最大值与最小值； （Ⅱ）当0a1时，求过点P(2,0)且与曲线f(x)相切的直线的条数．

2020学年第二学期9+1高中联盟期中考试

高二数学A卷参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

4

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B B A D D C B 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．3，4 12．5，25 13．1，8 14．x∣x12 15．286 16．

511,31211 17．5 三、解答题:本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．解：（I）当b0时，f(x)x2，定义域为{x∣x0}，

f(x)2xlnxx21xx(2lnx1)， 令f(x)0，得0xe12，令f(x)0，得xe12， 3分

所以函数f(x)在区间0,e12上单调递减，在区间e12,．上单调递增， 6分

2所以f(x)的最小值为fe12e12lne121 7分

2e（II）法1：当x1时，不等式f(x)0成立； 9分 当x1时，有lnx0，

则只需xb0对任意x(1,)恒成立，故b1； 11分 当0x1时，有lnx0，

则只需xb0对任意x(0,1)恒成立，故b1； 13分 综上所述，b的值为1． 14分 法2：当b0时，由（I）知，舍去； 9分 当b0时，因为x2bx0对任x(0,)恒成立，

但当0x1时，lnx0，此时 f(x)0，舍去； 11分

当b0时，令x2bx0，得xb，令b1，得b1，

5

2此时f(x)xxlnx，

因为yxx与ylnx在区间(0,1)与(1,)内同号，

所以f(x)0． 13分 综上所述，b的值为1． 14分

319．解：（I）从八个球中一次性任意摸出3个球，共有nC856种结果， 2分

2其中“280元购书卡一-张”的3个球的编号数字为3，1，4，

111满足要求的种数为mC3C1C412种， 4分

故摸奖者在一次摸球时恰好获得“280元购书卡一张”的概率为Pm123 6分 n5614（II）由的可能取值为0，70，140，280，则 8分

3P(280),14112C1C32C1C49， P(140)3C85633C3C453015P(70),P(0)1P(280)P(140)P(70)， 3C8565628故的分布列为

 P 0 70 140 280 15 285 569 563 14故摸奖者在一次摸奖中获得奖品金额的期望为 14分

E0155937014028088.75元 15分 2856561420．解：（I）因为AE底面ABC，所以AEAC，在平面ABC以AC的垂线为x轴，AC，AE 所在直线为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 2分

31B(3,1,0),C(0,4,0),E(0,0,2),D(0,2,2),F2,2,1,G(0,3,1),H(0,2,0),1)， G(0,3,1)，

H(0,2,0)．

6

由于BE(3,1,2),则cosBE,GHGH(0,1,1)， 4分

BEGH33（注：其中公式正确给2分） ，|BE||GH|824故异面直线BE与GH所成角的余弦值为

34； 7分 （II）由于BC(3,5,0),CD(0,2,2),DF35,,122， 9设直线DF与平面BCD所成角为， 设平面BCD的一个法向量为n(x,y,z)，

由于BCn0则DFn03x5y0（注:其中公式正确给2分）

2y2z0取x5，则yz3，所以n(5,3,3)， 12分 故sin|DFn|3186|DF||n|318124，（注：其中公式正确给2分） 故直线DF与平面BCD所成角的正弦值186124． 15分

21．解：（I）由于y22px(p0)的焦点Fp,0在曲线:y22x1上， 所以p2,y24x． 2分

设直线l1:yk1(x1)，直线l2:yk2(x1)，

联立yk1(x1)消去x得2y2x1k1yy，得 y0 或y1k， 1

分7

所以yP1k,P11,12； 1k1k1同理y111Qk,Q1k,2 4分 22k2又k11k22，所以P，Q两点的纵坐标之积为2． 6分 （II）联立yk1(x1)消去x得y24xk21y4y4k10， 设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Dx4,y4，

则y41y2k,y1y24， 1同理y43y4k,y3y44， 2又x11x216y221y21,y1y2k1x1x22,x1x224k2， 1同理x3x41,x3x424k2． 10分 2设PFQ，

则S1S132|FA||FC|sin12|FB||FD|sin14x11x21x31x41sin2 14x1x2x1x21x3x4x3x41sin2 1444112424sin24k2121sin2 12分 k1k21k2由（I）得|PF|21k214,|QF|21k214，则 1k12k2S2214|PF|2|QF|2sin21111124k2424sin

1k1k2k2

8

141112k22k2121sin 1k21k2 111621121sin2 14分

k1k2故S2221S3S24k11k21sin264． 15分11k221sin2 2k22．解：（I）当a3时，因为1x1，

所以f(x)x33|x1|2x33x1,f(x)3x233x21 2由f(x)0，则函数f(x)在区间[1,1]上单调递减，

所以f(x)maxf(1)3,f(x)minf(1)1． 5x33（II）由于f(x)ax5,xa, 6分x33

ax1,xa.当x3a时，设切点为x3ax3x20,x005，因为切线斜率 kfx00a，所以x30ax05x23x2a，化简得2x32006x052a0．

0令g(x)2x36x252a，则g(x)6x212x6x(x2)， 因为0a1，所以

3a3，函数g(x) ?Ú 3a,，上单调递增， 又g3a54(1a)a352a0，此时g(x) ?Ú 3a,无零点， 没有符合题意的切线． 9分 当x3a时，同理得2x3x20602a10，令h(x)2x36x22a1， 则h(x)6x212x6x(x2)，因为

3a3，

分分

9

所以h(x)在 (,0)单调递增，在(0,2)单调递减，在2,3a单调递增， 由于h(0)2a1,h(2)2a7,h354(1aa)a32a1， 又0a1，则h(2)2a70， 12分 故当0a12时，h(0)2a10,h3a54(1a)a32a10， 故函数h(x)只有1个零点，即符合题意的切线只有1条；

当a12时，h(0)2a10,h354(1a)aa32a10， 故函数h(x)只有2个零点，即符合题意的切线只有2条；

当

12a1时，h(0)2a10,h354(1a)aa32a10， 故函数h(x)只有3个零点，即符合题意的切线只有3条；

综上可知，当0a12时，过点P(2,0)有1条直线与曲线yf(x)相切；当a12时，过点P(2,0)有2条直线与曲线yf(x)相切； 当12a1时，过点P(2,0)有3条直线与曲线yf(x)相切． 15

分 10