北京中考二模29题汇总

一、 在平面直角坐标系下与函数有关的新概念问题，

（一） 、最后一问为函数与特殊三角形存在性问题综合。

1、(昌平二模)29. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：形如yaxmaxm与yaxmaxm的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．

（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ； （2）判断二次函数yx2x与yx23x2的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出a与

22m的值，如果不是，请说明理由；

（3）若一对兄弟抛物线各自与x轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线x2且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．

2、（朝阳二模）29.如图，顶点为A（－4,4）的二次函数图象经过原点（0,0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON. （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P的坐标是（－6,3），求△OPN的面积； （3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，

请解答下面问题：

① 求证：∠PNM＝∠ONM；

② 若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合 条件的点P的坐标.

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3、（石景山二模）29．对于平面直角坐标系xOy中的点Pm,n，定义一种变换：作点

Pm,n关于y轴对称的点P'，再将P'向左平移kk0个单位得到点Pk'，Pk'叫做对

点Pm,n的k阶“”变换．

（1）求P3,2的3阶“”变换后P3'的坐标；

（2）若直线y3x3与x轴，y轴分别交于A,B两点，点A的2阶“”变换后得

到点C，求过A,B,C三点的抛物线M的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线M的对称轴与x轴交于D，若在抛物线M对称轴上存

在一点E，使得以E,D,B为顶点的三角形是等腰三角形，求点E的坐标．

（二）函数与特殊四边形的综合

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4、（门头沟二模）29．我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．

如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别 交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．

yF1DO（A）BCF2ABOxDxCyF1F2

图1 图2

（1）如图1，如果抛物线y=x的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么

2

① a= ，b= ．

② 如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ） A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形

（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．

求四边形ABCD的面积．

2（3）如果抛物线yxx13237的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为23， 3请直接写出点B的坐标．

5、（顺义二模）29．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y22xbxc与x轴交33

于A，B两点，其中B（6，0），与y轴交于点C（0，8），点P是x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合）． （1）求抛物线的表达式；

（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，点E关于直线PC的对称点为E'，若

点E'落在y轴上（不与点C重合），请判断以P，C，E，E'为顶点的四边形的形状， 并说明理由；

（3）在（2）的条件下直接写出点P的坐标．

yy C PC AABOBxOx 备用图

（二） 函数与圆相关知识综合

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6、 （海淀二模）29. 如图1，在平面直角坐标系

xOy内，已知点

A(1,0)，

B(1,1)，

C(1,0)，

D(1,1)，记线段AB为T1，线段CD为T2，点P是坐标系内一点.给出如下

定义：若存在过点P的直线l与T1，T2都有公共点，则称点P是T1T2联络点．

例如，点P(0,)是T1T2联络点．

（1）以下各点中，__________________是T1T2联络点（填出所有正确的序号）；

①(0,2)；②(4,2)；③(3,2).

3212y32yBA–4–3–2–11DCO1234BAx–4–3–2–11DCO1234x–1–2–3–1–2 图1

–3

备用图

（2）直接在图1中画出所有T1T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示；

（3）已知点M在y轴上，以M 为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为T1T2联络点， ①若r1，求点M的纵坐标； ②求r的取值范围．

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二、在平面直角坐标系下与函数有关的新概念问题，没有与几何综合

7、（丰台二模）29．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．

1（1）分别判断函数y （x＜0）和y2x3（x＜2）

y4x是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界； （2）如果函数yx2 （a≤x≤b,b＞a）的上确界是b，

且这个函数的最小值不超过2a1，求a的取值范围； （3）如果函数yx22ax2（1≤x≤5）是以3为上确界的 有上界函数，求实数a的值.

3211O12345x126

8、（房山二模）29.如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线. （1）一条抛物线的“友好”抛物线有_______条.

A . 1 B. 2 C. 3 D. 无数 （2）如图2，已知抛物线L3：y2x28x4与y轴交于点C，点C关于该抛物线对称轴的对称点为D，请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的表达式;

（3）若抛物线ya1(xm)n的“友好”抛物线的解析式为ya2(xh)2k,请直接写出a1与a2的关系式为 . y

2yL3L2

A

x OOx

B

L1 图2 图1 9、（西城二模）29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点

M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的τ型线，点P为图形G的τ型点， △PMN为图形G关于点P的τ型三角形． （1）如图1，已知点A(0,3)，B(3,0)，以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A，B

两点中，⊙O的τ型点是____，画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形；（画 出一个即可）

（2）如图2，已知点E(0,2)，点F(m,0)（其中m＞0）．若线段EF为原点O的τ型线，

且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为C43，求m的值； 9（3）若H(0,2)是抛物线yx2n的τ型点，直接写出n的取值范围．

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三、纯几何问题的新概念问题及作图题。

10、（平谷二模）29．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0,0）点有1个，即点O． （1）“距离坐标”为（1，0）点有 个；

D AD C

M(p,q) MABAB

OO OBD

C

图1 C 图2 图3

（2）如图2，若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为

（p，q），且∠BOD=120°．请画出图形，并直接写出p，q的关系式； （3）如图3，点M的“距离坐标”为（1，3），且∠AOB=30°，求OM的长．

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11、（怀柔二模）29. 阅读理解：

学习了三角形全等的判定方法:“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和直角三角形全等的判定方法“HL”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA”的情形进行研究．

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D. 初步探究：

如图1，已知AC=DF, ∠A=∠D,过C作CH⊥射线AM于点H，对△ABC 的CB边进行分类，可分为“CB深入探究：

第一种情况，当BC第二种情况，（1）如图2，当BC=CH时，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第三种情况，（2）当CH（3）从上述三种情况发现，只有当BC=CH时，才一定能使△ABC≌△DEF． 除了上述三种情况外，BC边还可以满足什么条件，也一定能使△ABC≌△DEF？写出结论,并利用备用图证明.

AH

AH(B)MDENCFCFHMDN图1 图2 CFMDN备用图 9

12、（东城二模）29．定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这 个封闭图形的等分线。 （1）请在如下的三个图形中，分别作一条等分线.

圆 平行四边形 等腰三角形 (2)请在图中用尺规作图作一条直线l，使它即是矩形的等分线，也是圆的等分线.(保留作．．．．图痕迹，不写作法)

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