初三数学二次函数知识点总结填空

初三数学 二次函数 知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函数，叫做二次函数。 这b，c是常数，a0）里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0 x0时，y随x的增大而 ；x0时，y随x的增大而 ；x0时，y有 a0 x0时，y随x的增大而 ；x0时，y随x的增大而 ；x0时，y有 ．

2. yax2c的性质： 上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0 x0时，y随x的增大而 ；x0时，y随x的增大而 ；x0时，y有 ． x0时，y随x的增大而 ；x0时，y随x的增大而 ；x0时，y有 ． a0

3. yaxh的性质：

左加右减。 a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0 xh时，y随x的增大而 ；xh时，y随x的增大而 ；xh时，y有 ． xh时，y随x的增大而 ；xh时，y随x的增大而 ；xh时，y有 ． a0

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4. yaxhk的性质：

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0 xh时，y随x的增大而 ；xh时，y随x的增大而 ；xh时，y有 ． xh时，y随x的增大而 ；xh时，y随x的增大而 ；xh时，y有 ． a0

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；

k处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k 2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成 （或 ）

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⑵yaxbxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成 （或 ）

22四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 h k ．

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五、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式 ，确定其 、 及 ，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的

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五点为： 、 、以及 、与 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点： ， ， ， ，

六、二次函数yax2bxc的性质

1. 当a0时，抛物线 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．

当 时，y随x的增大而 ；当 时，y随x的增大而 ；当 时，y有 ． 2. 当a0时，抛物线 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当 时，y随x的增大而 ；当 时，y随x的增大而 ；当 时，y有 ．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式： （a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式： （a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式： （a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a（a决定了抛物线开口的 和 ， 决定开口方向， 决定开口的大小．）

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然 ．

⑴ 当a0时，抛物线 ，a的值越大，开口 ，反之a的值越小，开口 ； ⑵ 当a0时，抛物线 ，a的值越小，开口 ，反之a的值越大，开口 ． 2. 一次项系数b（在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的 ．） ⑴ 在a0的前提下，

当b0时， ，即抛物线的对称轴在 ； 当b0时， ，即抛物线的对称轴 ； 当b0时， ，即抛物线对称轴在 ． ⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即

当b0时， ，即抛物线的对称轴在 ； 当b0时， ，即抛物线的对称轴 ； 当b0时， ，即抛物线对称轴在 ．

ab的符号的判定：对称轴 在y轴左边则 ，在y轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异” 总结：

3. 常数项c（决定 ）

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在 ，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 ； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为 ，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在 ，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 ．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

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二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用 ．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用 ；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用 ； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用 ； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用 ．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 2. 关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 3. 关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

22b2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

22n对称 5. 关于点m，yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk

22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原

抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（ ）：

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一元二次方程axbxc0是二次函数yaxbxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次① 当 时，图象与x轴交于两点Ax1，b24ac方程axbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.

a222② 当 时，图象与x轴只有一个交点；

③ 当 时，图象与x轴没有交点.

1' 当 时，图象落在x轴的 ，无论x为任何实数，都有 ； 2' 当 时，图象落在x轴的 ，无论x为任何实数，都有 ． 2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为 ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 0 抛物线与x轴有两个交点 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 0

二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 十一、函数的应用

刹车距离二次函数应用何时获得最大利润

最大面积是多少

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二次函数图像参考：

y=2x2+2y=2x2y=2x2-4y= -x22y= -x2y=-2x2

y=2x2y=2(x-4)2

y=2(x-4)2-3y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2y=2x2y=x2y=3(x-2)2y=3(x+4)2y=3x2y=x22第 6 页 共 6 页