数学周报杯2009年全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．已知非零实数a，b 满足 2a4b2(a3)b242a，则ab等于（ ）．

（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．

解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为b2(a3)b20，于是

a3，b2，从而ab＝1．

2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）．

（A）

512 （B）512 （C）1 （D）2 （第2题） 【答】A．

解：因为△BOC ∽ △ABC，所以BOABBCAC，即 1aaa1，

所以， a2a10．

由a0，解得a152． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y

的方程组axby3，x2y2 只有正数解的概率为（ ）．

（A）

112 （B）29 （C）51318 （D）36 【答】D．

解：当2ab0时，方程组无解．

62b当2ab0时，方程组的解为x2ab,

y2a32ab.2ab0,由已知，得62b2ab0,2ab0,即332a3a2,或a2,

2ab0,b3,b3.由a，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得

a2，3，4，5，6，共有 5a1，b1，2，×2＝10种情况；或共3种情况． b4，5，6，又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为

1336． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，B90. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．（A）10 （B）16 （C）18 （D）32

图 1 图2 【答】B．

（第4题）

解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故

SABC＝1△2×8×4＝16.

5．关于x，y的方程x2xy2y229的整数解（x，y）的组数为（ ）． （A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组 【答】C．

解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为 x2yx(2y229)0．

由于该方程有整数根，则判别式≥0，且是完全平方数．

由 y24(2y229)y72≥1106， 解得 y2≤

116716.57．于是 y2 0 1 4 9 16  116 109 88 53 4 显然，只有y216时，4是完全平方数，符合要求． 当y4时，原方程为x24x30，此时x11,x23； 当y＝－4时，原方程为x24x30，此时x31,x43． 所以，原方程的整数解为

x11, x23,yx31,x43,14;y 24;y34; y44. 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．

【答】3750．

解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为

k5000,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为k3000.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

kxky50003000k, ky5000kx3000k,两式相加，得

k(xy)k(x5000300y)02k， 则 xy2113750．

500030007．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，

与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB的值为 ．

解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ． 由题设知AC13AD，AB13AE，在△FHA和△EFA中， EFAFHA90，FAHEAF

所以 Rt△FHA∽Rt△EFA，

AHAFAFAE.

而AFAB，所以

AH1AB3. （第7题） 8．已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1a2a3a4a59的五个不同的整

数，若b是关于x的方程xa1xa2xa3xa4xa52009的整数根，则b的值为 ． 【答】 10．

解：因为ba1ba2ba3ba4ba52009，且a1，a2，a3a，4a5，是五个不同的整数，所有ba1，ba2，ba3，ba4，ba5也是五个不同的整数．

又因为2009117741，所以

ba1ba2ba3ba4ba541．

由a1a2a3a4a59，可得b10．

9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．

【答】

6027． 解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且ACB90．

作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由ECF12ACB45，得CF＝x，

于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以

EFACBFBC， 即 x1520x20， （第9题） 解得x607．所以CE2x6027．

10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉

（第10题） 他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ． 【答】2．

解：设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应是8x．

于是报7的人心里想的数是 12(8x)4x，报9的人心里想的数是

16(4x)12x，报1的人心里想的数是 20(12x)8x，报3的人心里

想的数是4(8x)4x．所以

x4x， 解得x2．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知抛物线yx2与动直线y(2t1)xc有公共点(x1,y1)，(x2,y2)，

且x2x2212t2t3.

（1）求实数t的取值范围；

（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值. 解：（1）联立yx2与y(2t1)xc，消去y得二次方程

x2(2t1)xc0 ①

有实数根x1，x2，则x1x22t1,x1x2c．所以

cx1221x22[(x1x2)(x21x2)] =12[(2t1)2(t22t3)]＝12(3t26t4)． ② ………………5分

把②式代入方程①得

x2(2t1)x12(3t26t4)0． ③

………………10分

t的取值应满足

t22t3x221x2≥0， ④ 且使方程③有实数根，即

(2t1)22(3t26t4)＝2t28t7≥0， ⑤

解不等式④得 t≤-3或t≥1，解不等式⑤得 2222≤t≤22. 所以，t的取值范围为

222≤t≤222. ⑥ ………………15分

(2) 由②式知c12(3t26t4)32(t1)212.

由于c32(t1)212222在22≤t≤22时是递增的，所以，当t22 时,c321221)221162min(24. ………………20分 12．已知正整数a满足192a3191，且a2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．

解：由192a3191可得192a31．192326，且

a31a1a(a1)1(a1)a(a1)(a1)．

………………5分

因为aa11是奇数，所以26a31等价于26a1，又因为3(a1)a(a1)，所以3a31等价于3a1．因此有192a1，于是可得a192k1．

………………15分

又0a2009，所以k0，1，，10．因此，满足条件的所有可能的正整数a的

和为

11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分

13．如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．

解法

1：结论是DFEG．下面给出证

（第13A题） 明． ………………5分

因为FCDEAB，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得

DFBECDAB． 同理可得 EGADCEAB．

………………10分

又因为tanACBADBECDCE，所以有BECDADCE，于是可得 DFEG．

………………20分

解法2：结论是DFEG．下面给出证明．

……………… 5分

连接DE，因为ADBAEB90，所以A，B，D，E四点共圆，故

（第13A题） CEDABC． ………………10分

又l是⊙O的过点C的切线，所以ACGABC． ………………15分 所以，CEDACG，于是DE∥FG，故DF＝EG．

………………20分

14．n个正整数a1，a2，，an满足如下条件：1a1a2an2009； 且a1，a2，求n的最大值． ，an中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．

解：设a1，a2，，an中去掉ai后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数bi，

i1，2，，n．即 bi(a1a2an)ai．

n1于是，对于任意的1≤ij≤n，都有

bibjajain1，

ajai．) ………………5分 从而 n1(由于 b1bnana12008是正整数，故 n1n1325．1 ………………10分 n12由于 an1anan1an1an2a2a1 ≥n1n1n1(n1)2， 所以，(n1)2≤2008，于是n ≤45.

结合n123251，所以，n ≤9． ………………15分

另一方面，令a1801,a2811,a3821，…，a8871，

a982511，则这9个数满足题设要求．

综上所述，n的最大值为9. ………………20分