第Ⅰ卷
一、选择题
1．设i是虚数单位.z是复数z的共轭复数．若z·zi＋2＝2z，则z＝( ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案 A
解析 设z＝a＋bi，a，b∈R
代入z·zi＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi
2a＝2a＝1
则2解得因此z＝1＋i. 2
a＋b＝2b，b＝1，
2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
1A. 6答案 D
解析 赋值S＝0，n＝2 进入循环体：检验n＝2<8， 11
S＝0＋＝，
22
n＝2＋2＝4； 检验n<8， 113 S＝＋＝，
244 n＝4＋2＝6； 检验n<8， 3111 S＝＋＝，
4612
25
B. 243C. 4
11D. 12
n＝6＋2＝8，
检验n＝8，脱离循环体， 11
输出S＝. 12
3．在下列命题中，不是公理的是( ) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A
解析 B、C、D选项是公理．
4．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 C
解析 若a＝0，f(x)＝|x|在(0，＋∞)上单调递增； 若a≠0，f(x)＝|(ax－1)x|＝ax－12x2 11x－x－2a2x2aa
f′(x)＝；
|ax－1x|
当x>0时，若a<0，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增． 11
若a>0，由f′(x)>0解得0 2aa 因此“a≤0”⇔“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”． 5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( ) A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 答案 C 1 解析 x男＝(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 51 x女＝(88＋93＋93＋88＋93)＝91， 5 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 122222s2甲＝(4＋4＋2＋2＋0)＝8， 5122222s2乙＝(3＋2＋2＋3＋2)＝6. 5 1 6．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x|x<－1或x>2，则f(10x)>0的解集为( ) A．{x|x<－1或x>－lg 2} B．{x|－1 11 解析 由已知条件0<10x<，解得x 7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2 π B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 2π C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 2D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 答案 B 解析 如图，在极坐标系中圆ρ＝2cos θ与圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别π 为θ＝和ρcos θ＝2. 2 8．函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，fx1fx2fxn使得＝＝…＝，则n的取值范围为( ) x1x2xn A．{3,4} C．{3,4,5} 答案 B 解析 过原点作直线与函数y＝f(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n的取值范围是{2,3,4}． B．{2,3,4} D．{2,3} →→→→ 9．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，则点集→→→ {P|OP＝λOA＋μOB.|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( ) A．22 答案 D 解析 由|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2， 1π 知cos∠AOB＝，又0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝， 23 →→→ 点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域如图所示； B．23 C．42 D．43 其面积为4S△AOB＝43. 10．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案 A 解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知x1≠x2， 2 3x1＋2ax1＋b＝0，且2若x1 3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同实根． 二、填空题 x＋a8 4 11．若3的展开式中x的系数为7，则实数a＝________. x 1 答案 2解析 8－r Tr＋1＝Cr8x a44333 3r＝arCr8x8－r，由8－r＝4得r＝3，由已知条件aC8＝7，则a33x 11＝，a＝. 82 12．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________. 答案 2π 3 解析 由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a， 5b7b则a＝，c＝2a－b＝ 33 a2＋b2－c212πcos C＝＝－，又0 13．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________． 答案 [1，＋∞) 解析 以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a 2 y＝x由2得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0. 2 x＋y－a＝a a>0即(y－a)[y－(a－1)]＝0，由已知解得a≥1. a－1≥0， 14．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________． 答案 an＝3n－2 解析 由已知S梯形AnBnBn＋1An＋1 ＝S梯形An＋1Bn＋1Bn＋2An＋2 S△OBn＋1An＋1－S△OBnAn ＝S△OBn＋2An＋2－S△OBn＋1An＋1， 即S△OBnAn＋S△OBn＋2An＋2 ＝2S△OBn＋1An＋1 22222 由相似三角形面积比是相似比的平方知OA2n＋OAn＋2＝2OAn＋1，即an＋an＋2＝2an＋1， 22因此{a2n}为等差数列an＝a1＋3(n－1)＝3n－2， an＝3n－2. 15．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过 点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． 1 ①当0 ②当CQ＝时，S为等腰梯形； 2 31 ③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝； 433 ④当 6. 2 1 解析 截面S与DD1的交点为M，由平面与平面平行的性质定理知AM∥PQ，若0 23DM D1重合，四边形APQD1为等腰梯形，命题②正确；当CQ＝时，由△PCQ∽△ADM，4AD＝ CQCQ3C1RC1Q1 ，则DM＝AD·＝.连接MQ交C1D1于R点＝＝，即D1R＝2C1R，又PCPC2D1RD1M2 13 D1R＋C1R＝1，则C1R＝故命题③正确．当 3，则S的面积·2·3＝，故命题⑤正确． 22三、解答题 π ωx＋(ω>0)的最小正周期为π. 16．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin4(1)求ω的值； π 0，上的单调性． (2)讨论f(x)在区间2π wx＋ 解 (1)f(x)＝4coswx·sin4＝22sin ωx·cos ωx＋22cos2ωx ＝2(sin2 ωx＋cos2 ωx)＋2 π 2 ωx＋＋2. ＝2sin4 因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0. 2π 从而有＝π，故ω＝1. 2ω π 2x＋＋2. (2)由(1)知，f(x)＝2sin4π 若0≤x≤， 2ππ5π则≤2x＋≤. 444πππ当≤2x＋≤. 442 π 即0≤x≤时，f(x)单调递增； 8ππ5π当≤2x＋≤， 244 ππ 即≤x≤时，f(x)单调递减． 82 π 0，上单调递增， 综上可知，f(x)在区间8ππ在区间8，2上单调递减． 17．设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}． (1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)； (2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值． 解 (1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝故f(x)>0的解集为{x|x1 a. 1＋a2 a I的长度为. 1＋a2a (2)设d(a)＝， 1＋a21－a2 则d′(a)＝. 1＋a22令d′(a)＝0，得a＝1. 由于0 2d1－k1＋1－k2－k2－k3而＝＝<1. d1＋k1＋k2－k2＋k31＋1＋k2故d(1－k) 因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k,1＋k]上取得最小值. 2－2k＋k2x2y2 18．设椭圆E：2＋＝1的焦点在x轴上． a1－a2(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程； (2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上． 15 (1)解 因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝. 488x28y2 故椭圆E的方程为＋＝1. 53 (2)证明 设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)， 其中c＝2a2－1. y0由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝. x0＋c y0直线F2P的斜率kF2P＝. x0－cy0故直线F2P的方程为y＝(x－c)． x0－c cy0cy0当x＝0时，y＝，即点Q坐标为0，c－x. c－x00y0因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝. c－x0 y0y0由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1. x0＋cc－x0 22 化简得y0＝x20－(2a－1)① 将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限． 解得x0＝a2，y0＝1－a2. 即点P在定直线x＋y＝1上． 19．如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°. (1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面； (2)求cos∠COD. (1)证明 设面PAB与面PCD的交线为l. 因为AB∥CD，AB不在面PCD内，所以AB∥面PCD. 又因为AB⊂面PAB，面PAB与面PCD的交线为l，所以AB∥l. 由直线AB在底面上而l在底面外可知， l与底面平行． (2)解 设CD的中点为F， 连接OF，PF. 由圆及等腰三角形的性质知，∠COD＝2∠COF，OF⊥CD. 因为OP⊥底面，CD⊂底面，所以OP⊥CD. 又OP∩OF＝O，故CD⊥面OPF. 又CD⊂面PCD，因此面OPF⊥面PCD. 从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF. 故∠OPF为OP与面PCD所成的角． 由题设，∠OPF＝60°. 设OP＝h，则OF＝OP·tan∠OPF＝h·tan 60°＝3h. 根据题设有∠OCP＝22.5°， OPh得OC＝＝. tan∠OCPtan 22.5° 2tan 22.5° 由1＝tan 45°＝和tan 22.5°>0， 1－tan222.5°可解得tan 22.5°＝2－1. 因此OC＝h ＝(2＋1)h. 2－1 OF3h 在Rt△OCF中，cos∠COF＝＝＝6－3. OC2＋1h故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos2∠COF－1 ＝2(6－3)2－1＝17－122. x2x3xn 20．设函数fn(x)＝－1＋x＋2＋2＋…＋2(x∈R，n∈N*)．证明： 23n2 (1)对每个n∈N*，存在唯一的xn∈3，1，满足fn(xn)＝0； 1(2)对任意p∈N*，由(1)中xn构成的数列{xn}满足0 fn′(x)＝1＋＋…＋>0. 2n － 故fn(x)在(0，＋∞)内单调递增． 由于f1(1)＝0，当n≥2时， 111 fn(1)＝2＋2＋…＋2>0.故fn(1)>0. 23n 2 所以存在唯一的xn∈3，1，满足fn(xn)＝0. xn1(2)当x>0时，fn＋1(x)＝fn(x)＋>f(x)， n＋12n ＋ 故fn＋1(xn)>fn(xn)＝fn＋1(xn＋1)＝0. 由f(n＋1)(x)在(0，＋∞)内单调递增知xn＋1 fn(xn)＝－1＋xn＋2＋…＋2＝0.① 2n 2n1p xnxnxnxn＋p＋pn＋pn＋p fn＋p(xn＋p)＝－1＋xn＋p＋2＋…＋2＋＋…＋＝0.② 2nn＋12n＋p2＋ ＋ ①式减去②式并移项，利用0 ∑＝＋ 1111 ＝－<. 1kk－1nn＋pn 1因此，对任意p∈N*，都有0 21．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X. (1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m. 解 (1)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发 1 Ckkn－1信息”是相互独立的事件，所以A与B相互独立．由于P(A)＝P(B)＝k＝，故P(A) Cnn － k22kn－k2k＝P(B)＝1－.因此学生甲收到活动通知信息的概率P＝1－1－n＝. nn2(2)当k＝n时，m只能取n，有P(X＝m)＝P(X＝n)＝1. 当k 各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为(Ckn).当X＝m 时，同时收到李老是和张老师转发信息的学生人数恰为2k－m.仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m－kx由乘法计数原理知：事件|X＝m|所含基本事件数为 2kCknCk －m kkmkmk CmCn－k. n－k＝CnCk － － －－ － － － 2kmmkkmk CkCn－kCmCn－knCkk 此时P(X＝m)＝＝. k2CnCkn kmk 当k≤m＜t时，P(X＝m)≤P(X＝m＋1)⇔CmCn－k≤Cmkk － － ＋1－k 1k Cm⇔(m－k＋1)2≤(n－m)(2kn－k ＋－ k＋12k＋12 －m)⇔m≤2k－.假如k≤2k－ k≤2k－<2k＋1－≤t. n＋2n＋2k＋12 故P(X＝m)在m＝2k－和 n＋2k＋12 m＝2k＋1－处达最大值； n＋2当(k＋1)2不能被n＋2整除时． k＋1处达最大值． P(X＝m)在m＝2k－n＋2 (注：[x]表示不超过x的最大整数)． k＋12 下面证明k≤2k－ k＋12kn－k2 因为1≤k ＝≥0. n＋2n＋2 k＋12n－k＋12 而2k－－n＝－<0. n＋2n＋2k＋12k＋12 故2k－ 因此k≤2k－<1. n＋2 2 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容