同学们，我们又在奥数网见面了！一提到“数学”，大家第一个想到的大多都会是计算。计算是数学的“地基”，只有打牢这个“地基”，我们的数学大厦才能建高、建好！在数学计算中有许多好的方法技巧和规律，我们如果能理解掌握、灵活运用，“数学大厦”的地基就会为你的成长提供最好的帮助！呵呵！下面就让我们一起来看看吧！
加减法中的巧算
小朋友们，你知道“凑整”的思想么？在速算、巧算中我们常常为了方便计算而采用“凑整”的思想，它大大加快了我们的计算速度和正确率 。
【例1】 用你的好办法算出下式结果： （1）1350＋49＋68＋51＋32＋1650
（2）33＋105＋18＋95＋57＋56＋12＋114 （3）378+26+609 （4）66+218+79+87
分析：（1）先观察算式，找能凑整的数，一般找能凑整的数看个位就可以了。如右图，我们可以先把能凑整的数标出来，能“凑整”的先算，写成算式时一定要看清是不是每个数都写进去了，故有：（1）式=（1350＋1650）＋（49＋51）＋（68＋32）=3000＋100＋100=3200
（2）式 =（33＋57）＋（105＋95）＋（18＋12）＋（56＋114）= 90＋200＋30＋170 = 290＋200 = 490
分析：在许多情况下，我们没有如例１那么理想的“凑整”状态，这个时候我们可以自己创造条件，变成理想的“凑整”状态，而后进行计算。
（3）原式=（378+22）+（609+1）+（26-22-1）=400+610+3=1013
或，原式=（378+2）+（26+4）+（609-2-4）=380+30+603=410+603=1013
（4）原式=（66+4）+（218+2）+（87+3）+（79-4-2-3） 去括号和添括号的法则：在只有加减=70+220+90+70=450方法不唯一，以上仅供参考！可鼓励学生运算的算式里，如果括号前面是“＋”多方位凑整求和。 号，则不论去掉括号或添上括号，括 号里面的运算符号都不变；如果括号 前面是“－”号，则不论去掉括号或 添上括号，括号里面的运算符号都要【例2】 用你的好办法算出下式结果： 改变，“＋”变“－”，“－”变“＋”，（1）356+（84-36） 即： （2）376-（87-24） a＋（b＋c＋d）＝ a＋b＋c＋d （3）1000-90-80-20-10 a－（b＋a＋d）＝ a－b－c－d （4）178-33-16-29 a－（b－c）＝ a－b＋c
分析：（1）原式=356+84-36=356-36+84=320+84=404
注意：在加减运算中，改变运算顺序时要带着符号搬家。
（2）原式=376-87+24=376+24-87=400-87=313
（3）式 =1000-（90＋80＋20＋10）=1000-200=800
（4）式 =178-（33+16+29）=178-78=100
“添加括号，凑整求值”需要我们有较强的观察力，也许现在你会觉得这个方法并不那么简洁，但只要你领会思想，能较熟练运用，它会帮你算的又快又对！在计算时，我们一定要“先观察，再动手算”！
【例3】 用你的好办法算出下式结果： （1）1847-1928＋628-136-64 （2）1348-234-76＋2234-48-24 （3）323-189 （4）467＋997
（5）987-178-222-390
分析：（1）原式=1847-(1928-628)-(136＋64)=1847-1300-200＝347
（2）原式=(1348-48)+(2234-234)-(76＋24)=1300＋2000-100＝3200
（3）式=323-200+11=123+11＝134
（4）式=467＋1000-3（把多加的3再减去）＝467-3+1000=1464
（5）式=987-（178＋222）-390＝987-400-400+10=197
注意从上面的计算中体会思路！
【例4】 用你刚才学过的好办法算出下式结果：
1966+1976+1986+1996+2006
分析：1966+1976+1986+1996+2006
=（1986-21）+（1986-10）+1986+（1986+10）+（1986+20） =1986×5-（20+10-10-20） =9930
【例5】 挑战一下：我们动动脑子再来看看下面的题目：
1234+2341+3412+4123
分析：1234+2341+3412+4123
=（1000+200+30+4）+（2000+300+40+1）+（3000+400+10+2）+（4000+100+20+3）=（1000+2000+3000+4000）+（200+300+400+100）+（30+40+10+20）+（4+1+2+3）=10000+1000+100+10 =11110
乘法中的巧算
★★★ 乘11，101，1001的速算法：
一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得： a×11=a×(10＋1)=10a＋a a×101=a×(100＋1)=100a＋a a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a
例如：38×101=38×100＋38=3838
★★★ 乘9，99，999的速算法：
一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得： a×9=a×(10-1)=10a-a a×99=a×(100-1)=100a- a a×999=a×(1000-1)=1000a-a
例如：18×99=18×100-18=1782
上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。
【例6】 请你先根据上面“乘法的凑整”的思路，一步步推算下列各题。 （1）356×1002 （2）23×1030 （3）626×997 （4）1234×9998
分析：（1）原式=356×（1000+2）=356000+356×2=356000+712=356712
（2）原式=23×（1000+30）=23000+690=23690
（3）原式=626×（1000-3）=626000-1878=624122
（4）原式=1234×(10000-2)=1234×10000-1234×2=12340000-2468=12337532
【例7】 请你计算出下式结果，并观察总结规律。
第一组： （1）37×101 （2）85×101
（3）79×101 （4）23×10101
（5）49×10101 （6）69×101010101
第二组： （1）123×1001 （2）287×1001
（3）395×1001001 （4）4567×10001
（5）3985×100010001 （6）43869×1000010000100001
分析：第一组：（1）37×101=3737 （2）85×101=8585
（3）79×101=7979 （有2个“1”，结果就有2组“79” ） （4）23×10101=232323
（5）49×10101=494949
（6）69×101010101=6969696969（有几个“1”，结果就有几个“69” ）
第二组：（1）123×1001=123123 （2）287×1001=287287
（3）395×1001001=395395395 （乘数是3位数，被乘数的1和1之间就夹了2个0） （4）4567×10001=45674567
（5）3985×100010001=398539853985
（6）43869×1000010000100001=43869（乘数是ｎ位数，被乘数的1和1之间就夹了（ｎ－１）个0）
★★★ 乘5，25，125的速算法：
一个数乘以 5，25，125时，因为 5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，进行简便运算得到结果。
例如：76×25=76×100÷4=7600÷4=1900 或 76×25=19×4×25=19×100=1900
上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。
【例8】 用你的好办法算出下式结果： （1）186×5 （2）96×125 （3）24×25 （4）75×25×8
分析： （1）186×5=186×(5×2)÷2=1860÷2=930 或 186×5=93×2×5=93×10=930 （2）96×125=96×(125×8)÷8=96000÷8=12000 或 96×125=12×8×125=12×1000=12000 （3）24×25=600 （4）75×25×8=75×2×25×4=100×150=15000
有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。
【例9】 用你的好办法算出下式结果： （1） 84×75 （2）56×625 （3）33×125 （4） 39×75
分析： （1） 84×75=(21×4)×(25×3)=(21×3)×(4×25)=63×100=6300
（2）56×625=(7×8)×(125×5)=(7×5)×(8×125)=35×1000=35000
（3）33×125=32×125+1×125=4000+125=4125
（4）39×75=(32+1)×125 =(40-1)×75=40×75-1×75=3000-75=2925
【例10】 ａ、ｂ代表任意数字，若（ａ＋ｂ）×（ａ－ｂ）＝ａ×ａ＋ｂ×ｂ，这个公式在数学上称为平方差公式。根据公式，巧算下列各题。 （1）98×102 （2）67×73 （3）64×28
（4）2×29×3×31
分析： （1）98×102=（100-2）×（100+2）=100×100-2×2=10000-4=9996
（2）67×73=（70-3）×（70+3）=70×70-3×3=4900-9=4891
（3）64×28=2×32×28=2×（30+2）×（30-2）=2×（30×30-2×2）=1792
（4）2×29×3×31=2×3×（30-1）×（30+1）=6×（900-1）=5400-6=5394
【例11】 拓展训练：同学们我们再加大难度，看看下面这两道题应该用什么方法算得更快。
（1）计算：28×5+2×4×35+21×20+14×40+8×62. 解：28×5+2×4×35+21×20+14×40+8×62
=2×2×7×5+2×4×5×7+3×7×4×5+2×7×5×2×4+8×62 =2×2×7×5×（1+2+3+4）+496 =10×14×10+496 =1400+496 =1896
（2）. 计算：55×66+66×77+77×88+88×99.
解：55×66+66×77+77×88+88×99
=（11×5）×（11×6）+（11×6）×（11×7）+（11×7）×（11×8）+（11×8）×（11×9） =11×11×（5×6+6×7+7×8+8×9） =11×（10+1）×（30+42+56+72） =（110+11）×200 =121×200 =24200
附加题目 （此部分题目学生版没有）
【附1】用“基准数”求和的方法做一做下面的题目。 （1）11+12+13+14+15+16 （2）1997+998+99 （3）95+98+100+103 （4）73+74+76+78+79
分析：方法不唯一，这里只提供一种供参考。
（1）答案是：81，可以选10、13或14当基准数 ；
（2）1997+998+99=（2000-3）+（1000-2）+（100-1）=3100-6=3094
或者1997+998+99=（1997+3）+（998+2）+（99+1）-3-2-1=2000+1000+100-3-2-1=3100-6=3094 。 （3）95+98+100+103=（100-5）+（100-2）+100+（100+3）=400-7+3=400-4=396 （4）73+74+76+78+79=（76-3）+（76-2）+76+（76+2）+（76+3）=76×5=380
【附2】 计算：
（1）22﹣20+18﹣16+14﹣12+10﹣8+6﹣4+2﹣0 （2）(2+4+6+8+10)﹣(1+3+5+7+9) （3）(2+4+6+…+20)﹣(1+3+5…+19)
分析：（1）22﹣20+18﹣16+14﹣12+10﹣8+6﹣4+2﹣O
=(22—20)+(18﹣16)+(14﹣12)+(10﹣8)+(6﹣4)+(2﹣0)=2+2+2+2+2+2=12 （2）(2+4+6+8+10)﹣(1+3+5+7+9)
=(2﹣1)+(4﹣3)+(6﹣5)+(8﹣7)+(10﹣9)=1+1+1+1+1=5 （3）(2+4+6+…+20)﹣(1+3+5+…+19)
=10
【附3】计算：(2+4+6+…+100)﹣（1+3+5+…+99)
分析：(2+4+6+…+100)﹣(1+3+5+…+99)
=50
【附4】计算：(87+56+73+75+83+63+57+53+67+78+65+77+84+62) ÷14. 解：(87+56+73+75+83+63+57+53+67+78+65+77+84+62) ÷14
=[（8+5+7+7+8+6+5+5+6+7+6+7+8+6）×10+（7+6+3+5+3+3+7+3+7+8+5+7+4+2）]÷14 =[（14×7-7）×10+（14×7-28）] ÷14 =[（13×7）×10+（10×7）]÷14 =（130+10）×7÷14 =140×7÷14 =10×7
练习一
1．用简便方法求和：
①536+（541+464）+459 ② 588＋264＋148
③ 8996＋3458＋7546 ④567+558+562＋555＋563
解答： ① 536＋（541＋464）＋459＝（536+464）+（541＋459）=2000
② 588＋264＋148=588+（12+252）+148＝（588＋12）+（252＋148）＝600+400=1000 ③ 8996＋3458＋7546=（8996＋4）＋（3454＋7546）=9000+11000（把 3458分成 4和=9000+11000 3454） ＝20000
④ 567＋558+562＋555＋563＝560×5+（7-2+2-5+3）（以560为基准数）＝2800+5＝2805
2．用简便方法求差：
① 1870-280-520 ② 4995-（995-480） ③ 4250-294＋94 ④ 1272-995
解答： ① 1870-280-520＝1870-（280+520）=1870-800＝1070
②4995-（995-480）=4995-995+480=4000+480=4480 ③4250-294＋94=4250-（294-94）=4250-200=4050 ④ 1272-995=1272-1000+5=277
3．用简便方法计算下列各题：
① 478-128+122-72 ② 464-545＋99+345 ③ 537-（543-163）-57 ④ 947+（372-447）-572
解答：① 478-128＋122-72=（478+122）-（128＋72）＝600-200＝400 ② 464-545＋99＋345＝464-（545-345）+100-1=464-200＋100-1＝363
③ 537-（543-163）-57＝537-543＋163-57=（537＋163）-（543+57）=100 ④ 947＋（372-447）-572=947+372-447-572=（947-447）-（572-372）=300
4．计算下面各题：
①23×1010101 ②4568×100010001
③72×125 ④45×99 ⑤75×36
解答： ①23232323 ②456845684568 ③9000 ④4455 ⑤2700
5．计算下面各题：
①77×83 ②56×64 ③134×73 ④9×11×101 解答：①6391 ②3584 ③9782 ④9999
6. 计算：9×17+91÷17-5×17+45÷17. 解：9×17+91÷17-5×17+45÷17 =9×17-5×17+91÷17+45÷17 =（9-5）×17+（91+45）÷17 =4×17+136÷17 =68+8 =76
课外阅读
错误百出的考卷
琼斯在警察学院当学员。他以《贩毒犯》为题写了一份案例。
内容如下: 贩毒犯，某日中午，太阳当空照，在湖上留下长长的树影。马捷和沙多把一艘预先准备好的小船，推进了湖。他们顺着潮流漂向湖心这个湖是两个毗邻国家的界湖，由地下涌泉补充水源，不会干涸。马捷和沙多多次利用这个界湖干着走私的勾当。他们在湖心钓鱼，不时能钓到一些海鳟，把内脏挖出，然后装进袋里。夜幕降临，四周一片漆黑，两人把小船快速划到对岸，勺接应人碰头。然后一起把小船拖上岸，朝天翻起，船底装着一个不漏水的罐子。他们把小包毒品放在里面。他们干得相当顺利，午夜刚过10分钟，便开始往回划，在离开平时藏船处以北半公里的地方靠岸。两人将100包毒品取出平分了。5分钟后，一只海关巡逻队在午夜时分发现这只船时，没有引起丝毫怀疑。但当他俩回到镇上时，撞上了巡逻的警察，马捷和沙多被缉拿归案了。
哈莱金探长看完后，哈哈大笑，说:\"这张考卷里错误百出，琼斯应该留一级才对。\"
这张考卷里有多少处错误?
试卷共有4处错误:
1.中午，当太阳高悬天空中时，不论树木多高多矮，都不会有阴影; 2.水源靠地下涌泉补充的湖是没有潮流的; 3.海鳟是海水鱼;
4.贩毒犯开始往回划时是 \"午夜刚过10分\"，因此 \"午夜时分\"巡逻队不可能在对岸发现他们的船。
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