一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
2023-03-04
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2012年9月 第18卷第3期 安庆师范学院学报(自然科学版) Journal of Anqing Teachers College(Natural Science Edition) Se}pt.2012 VOl_18 NO.3 一类 E线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性 张苒 ,蒋威 (安徽大学数学科学学院,安徽合肥230039) 摘要:本文主要利用Schauder不动点定理,结合锥不动点定理,讨论一类非线性分数阶微分方程边值问题的正解 的存在性问题。 关键词:分数阶微分方程;边值问题;正解;格林函数;不动点定理 中图分类号:O175.8 文献标识码:A 文章编号:1007—4260(2012)03—0001—03 0 引 言 近几年来分数阶微分方程是微分方程领域的热点之一,其在研究和工程方面有着广泛的应用。这其 中,分数阶微分方程的边值问题得到了广大学者越来越多的关注n ]。 文献[1]研究了分数阶微分方程两点边值问题 too “(t)+ t,配(t))=0,0<t<1, 1< ≤2 I (0)=u(1)=0 的正解的存在性。 文献[2]研究了分数阶微分方程两点边值问题 f o (t)= £, ( )),0<t<1,1< <2 I (0)= (1)=o 的正解的存在性。 文献[3]研究了如下的分数阶边值问题: too (t)= t, (t)),0<t<1,3<0c≤4 【 (0)=11, (0)=M”(0)=/2,tt(1)=0 的正解的存在性。 文献[4]研究了如下的分数阶边值问题: rDo (t)= t,u(t)),0<t<1,3<ot≤4 【 (0)= (1)= (0)= (1)=0 的正解的存在性。 在已有文献中,讨论的分数阶微分方程中 的范围大多是1< ≤2或3<Ot≤4,边值条件也有所 不同。本文利用Schauder不动点定理,结合锥不动点定理,讨论下面非线性分数阶微分方程边值问题 rOo u(t)+ t, (t))=0,0<t<1,2< ≤3 【u(O)= (0)= (1)=0 收稿日期:2012—02—29 基金项目:国家自然科学基金项目(11071001),高校博士点专项科研基金(20093401110001),安徽省高校重大项目 (KJ2010ZD02)和安徽省自筹经费项目(KJ2012Z338)资助。 作者简介:张苒,女,安徽当涂人,硕士,研究方向为泛函微分方程与控制论; 蒋威,男,安徽五河人,博士,安徽大学数学科学学院教授,博士生导师。 ・2・ 安庆师范学院学报(自然科学版) 2012年 的正解的存在性问题,其中2< ≤3是一个实数,Do 是标准的Riemann—Liouville分数阶导数, :[0,1]×[0,+∞)一[0,+∞)是连续的。 1 预备知识 定义1 设 ):(0,+∞)_ )∈c(o,+∞),则函数 )的 阶Riemann—Liouville分 数阶积分可以定义为:/olfr(t) 志J。(f—s) s) ,其中 >0,t>o 定义2 设 ):(0,+。。)一+ )∈c(o,+∞),则函数 )的 阶Riemann—Liouville分 数阶导数可以定义为:D t)= 一(未) J.二 as其中 >0,t>0,n=[ ]+1。 引理l 设OL>0,且 ∈c(o,1)t3 L(O,1),则分数阶微分方程Do+ ( )=0有唯一解:M(t)= C.t 一C t 一・一C t ,其中C ∈ ,i=1,2,…,n,n为大于或等于 的最小整数。 引理2 设 >0,且 ∈c(o,1)n L(0,1),若D “∈c(o,1)n L(0,1),则 +D +u(t)= M(t)+Clt +C2t +…+C t ,其中C ∈R,i=1,2,…, ,n为大于或等于a的最小整数。 引理3(Schauder不动点定理)设K是Banach空间E的有界凸闭集,而T:K—K是全连续的,则 存在 E K,使得Tx= 。 引理4 (锥不动点定理)设 是Banach空间,P E是E中的锥,蜴, 是E中的两个有界开球, 0∈ 且力 c ,假设A:P n( \ 。)一P是全连续算子,若条件 (i)ll A lI≤l lll, ∈P n a力。且ll A lI≥l Ill, ∈P f3 a , (ii)ll A ll≥I lll, ∈P n a力 且ll A ll≤l llJ, ∈P n a 中有一个成立,则A在区域P n力2\ 中至少有一个不动点。 2 主要结果 引理5 设 )∈c[o,1],且2< ≤3,则分数阶微分方程边值问题 [Do+ (f)+ t)=0,0<t<1,2< ≤3 、tu(0)= (O)= (1)=0 ,1、 , 存在唯一解 (t)=I G(t,s s)ds,其中 ∞ =而1 "ta-I( :: , (2) 证明 由引理2知u(t)=一 t)一Cl 。一C2t 一C,t ,进而对上式两边求导得 u (t)=一 : t)+( 一1)c1t +( 一2)C2t +( 一3)C3t 由u(o)=0存在,必有C,=0;由u (0)=0存在,必有C =0;由 (1)=0,得 c =一 志进而得到 (1 If( s=一 (1 s= s Ⅱ( )一志 s+志 。'ta-1(1 高{厂0[ta-I( 广 一( (i)Vt,s∈(0,1),G(t,s)>0; -l(1 s) = G(t,s s 引理6(2)式格林函数G(t,s)具有如下性质: (ii)G(t,s)在区间[0,1]上为关于t单调递增的连续函数; (iii)Yt∈(0,1),成立G(t,s)≤G(1,s),G(t,s)≥c(o,s)。 证明 先证明(ii),令t=s,连续性显然。下面证明当s固定时,G(t,s)是关于t单调递增的。 当0≤t≤s≤1时,因为2< ≤3,所以t (1一s) 是关于t单调递增的; 第3期 张苒,蒋威:一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性 ・3・ 当0≤s≤t≤1时,令h(t)=t 一 (1一s) 一 一(t—s) ~,贝0 h (t)=( 一1)[(t—ts) 一 一(t—s) 一 ] 因为0≤s≤t≤l,所以t—ts≥t—s,即h (t)≥o故当0≤s≤t≤1时,G(t,s)是关于t单调递增 的。由G( ,s)的连续性得G(t,s)在区间[O,1]上关于t单调递增。 (i)由(ii)的证明可以看出,无论是0<t≤s<1还是0≤s≤t≤1,都有G(t,s)>0。 (iii)由G(t,s)的单调性知,对Vt∈(0,1),成立G( ,s)≤G(1,s),G(t,s)≥G(0,s)。 令E=c[o,1],其中范数定义为I lJI=max I (£)J,显然E是Banach空间。令P={ ∈E J M(£)≥0},显然p是锥,且P c 。 ,1 定理1 令算子 为:Tu(t):=f G(t,s)f(s, (s))ds,那么T:P_+P为全连续算子。 J 0 证明 先证 为一致有界的:假设-f2是P中的有界集,即jM>0,对于V ∈ ,都有 令H=m axll≤M, (f。Ⅱ)E[0,1]x[0,M] ,、.、 I t,配)I+l,对于V ∈力,成立i Tu( )I≤』G( ,s)f(s,u(s))ds≤ ,0 日I G(1,s)ds,则 ( )有界,故 一致有界。 J 0 下面证明 为等度连续:对于V ∈ ,V >0, t2一tl< 时,有 >0,V 。,z:∈[0,1],不妨设t <t2,当 I Tu(t2)一tu( )l_I』G(t2,s s,u(s))ds—J G(cl's s,u(s))dsl_I J[G(t2,s)一G( s) s,u(s))dsI≤ 日[J[0 G(£:,s)一G( s)]ds+I[G(£ ,s)一G( s)]ds+f[G(£ ,s)一G( s)]ds]= tl J t2 [ [ l(1一s广 _(f: tl .1(1 巾。 J t2 + nt 1一s) ~一(t:一s) 一t l_s) ]山+f It; (1一s) 一£ 1一s) ] ]≤ 志[ 由函数Y= _1)(1_ .2] + at~ a-1)(1 .I)(1- _2] = 的一致连续性知 ~ -1)(1-s广 = ~ _1) 一f ~< ,故 为等度连续。由Arzela—Ascoli定理知 是紧 算子,又因为,( ; ),G(t;s)都是连续的,由此易知 连续,所以T:P—P是全连续的。 定理2 假设 t, )在[0,1]×[0,∞)上连续,若存在两个正数0<r <r ,使得以下条件 (i)若( , )∈[0,1]×[0,r2]时,有 , )≤Mr2; (ii)若(t, )∈[0,1]X[0,r ]时,有 t, )≥Nr 成立,则系统(1)在区间[0,1]上至少有一个正解u(t),满足r ≤Il ll≤rz,其中 M=(J G(1,s)ds)~,N=(I G(0,s)ds) 证明 由引理5和定理1可知,T:P—P是全连续的,那么方程(1)有解u当且仅当u满足等式 =Tu。下面利用锥不动点定理来证明。 第一步,令 :={ ∈P IlI≤r:},则对于u∈a ,'it∈[0,1],有0≤ (£)≤rz,由条件 (i)可以得到: l l1l=。m—axlJfn'G(t,s) (s))ds≤MrzJ。G(1,s) =rz= I 第二步,令 :={ ∈P I Il l1≤r。},则对于 ∈a ,V t∈[0,1],有0≤u(t)≤r1 (下转第9页) 第3期 钱学明:具有变耦合时滞的离散时间神经网络的同步 ・9・ [6]LIU Yu—rnag,WANG Zi—dong,LIU Xiao—hui.Synchronization and State Estimation for Discrete—Time Complex Networks With Distribu— ted Delays[J].IEEE Trans.On Systems,Man and Cybernetics—Part B:Cybenretics,2008,38(5):1 314—1 325. [7]LIANG Jin—ling,WANG Zi—dong。LIU Xiao—hui.Robust Synchronization of na Array of Coupled Stochastic Discrete—Time Delayed Neu- rla Networks[J].IEEE Trnas.On Neural Networks,2008,19(11):1 910—1 921. Global Synchronization in an Array of Discrete——time Delayed Neural Networks with Time—varying Delayed Coupling QIAN Xue.ming ’ (1.School of Interact of Things,Wuxi Professional Cortege of Science and Technology,Wuxi,Jiangsu 214028,China; 2.School of Internet of Things,Jiangnan University,Wuxi,Jinagsu 214122,China) Abstract:This paper discusses an array of discrete—time delayed neural networks witll time—varying delayed coupling,and laso,by employingLyapunov—Krtmovskiifunctional,and conducting alinearmatrixinequality(LMI)approach,Kronecker prod- uet is developed to derive the criteria for the synchronization,which can be readily checked by using some standard numerical packages such a8 the MATLAB.Furthermore.the desoription of hte activation functions is more generla hten hte Lipschitz condi— tions.And the criteria of synchronization ale therefore less conservative. Key words:discrete—time,coupled neural networks,time—varying delayed coupling,global exponentially snychronization (上接第3页) 由条件(ii)可以得到III Tu II= iG(t,s s, (s))ds≥Ⅳr,Jf三G(0,s)(1s=r。=II 0,由引理4得, 必然存在不动点u,使得 =Tu,定理得证。 参考文献: [1]Zhanbing Bai,Haishen Lu.Posiitve solutionsfor boundary value problem of nonlinearfracitonal diferenital equation[J].J.Math.Ana1.Air- p1.,2005,(311):495-505. [2]Daqing Jinag,ChengjunYuan.The posiitve properties oftheGreenfunctionforDiircMet—type boundary value problems ofnonlinearfraction。 la difeerntial equatiosn and its印phcaiton[J].Nonlinera nAalysis,2010,(72):710—719. [3]Sihua Linag,Jihui Zhang.Posiitve oslutions for boundary value problem of nonlinera fractional difeerntila equation[J].Nonlinear Analysis, 2009,(71):5 545—5 550. [4]Xiaojie Xu,Daqing Jiang,Chengjun Yuan.Mulitple positive solutions ofr the boundary value problem of a nonlinear fractional diferentila e_ quation[J].Nonlinear Analysis,2009,(71):4 676—4 688. 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