一类四阶微分方程周期边值问题正解的存在性

第２８卷　第２期　Ｖｌ０１．２８　ＮＯ．２　新乡学院学报：自然科学版　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉｎｘｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　２０１１年４月　Ａｐｒ．２０１１　一类四阶微分方程周期边值问题正解的存在性　庄乐森　（新乡学院数学系，河南新乡４５３００３）　摘要：讨论了一个周期边值问题，并在适当的条件下，根据锥拉伸与锥压缩定理得出了此类问题正解存　在的充分条件。　关键词：锥拉伸与锥压缩定理；正解；周期边值问题　中图分类号：Ｏ１７５．８；Ｏ１７５．１２　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４—３３２６（２０ｌ１）０２—０１０８—０２　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｔｏ　Ｆｏｕｒｔｈ　０ｒｄｅｒ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＺＨＵＡＮＧ　Ｙａｏ．ｓｅｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｘｉｎｘｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉｎｘｉａｎｇ　４５３００３，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｆｏｕｒｔｈ　ｏｒｄｅｒ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗａｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　Ｔｈｅ　ｓｕｆｉｃｉｆｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｃｏｎｅ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｒｅｓｓ　ｔｈｅｏｒｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｅ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｒｅｓｓ　ｔｈｅｏｒｙ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　０　引言　在工程实际中，广泛应用微分方程周期边值问题解，数学工作者重视正解存在性的重要意义［Ｉ－４】。因　此，笔者研究了问题　ｆ“（　（　）：ｆ（ｔ，“０），Ｕｔｔ（ｆ）），ｔ∈［０，２７【］；　【　‘　０）＝　（　）（２ｒｔ）（ｉ＝０，１，２，３）　微分方程组，同时，利用锥拉伸与锥压缩定理，得到了问题（１）正解存在的充分条件。　，．、　一　正解的存在性问题，其中＿厂∈Ｃ（［０，２兀］ｘＲ　ＸＲ　，Ｒ），并将四阶微分方程周期边值问题转化为二阶周期边值　１预备知识及引理　假设０＜ｋ＜１／４，下面考察如下二阶微分方程周期边值问题　ｆ“　（ｆ）＝ｆ（ｔ，　（ｆ），Ｖ（ｆ）），ｔ∈［０，２ｒｔ］；　【““　（０）＝Ｕ“’（２７ｔ）（ｉ＝０，１）　其巾Ｕ、ｖ∈Ｃ　［０，２ｒｔ】。显然，问题（１）与下述问题等价　…　一　ｆ“　（ｆ）＋ｋｕ（ｔ）＝ｆ（ｔ，　（ｆ），Ｖ（ｆ））＋ｋｕ（ｔ），ｔ∈［０，２ｒｅ］；　｝“（　（０）＝“（　（２兀）（ｆ＝０，１）。　…　通过计算，可知问题（３）等价于积分方程“（　）＝ｆ　Ｇ（ｆ，　）［－厂（　，“（　），ｖ（　））＋　（　）】出，ｚ∈［０，２７ｔ］，其中，当　０　ｔ＜　２ｒｔ时，Ｇ０，　）＝ｃｏｓ［，ｆ（ｒｃ—ｔ＋ｓ）］／（２４－ｋｓｉｎ４－ｋＴｔ）；　０≤　＜ｔ　２ｒｔ时，Ｇ（　，　）＝ｃｏｓ［，ｆ（￣＋ｔ～ｓ）］／（２－ｆｋ　ｓｉｎ√＝＿兀）。南０＜ｋ＜１／４可知Ｇ（ｔ，　）＞０、Ｏ＜ｔ，　２兀，且有Ｏ＜ｒｎｉ　Ｇ（ｆ，　）＝ＣＯＳ－ｆｋｘ／（２＂Ｊｋ　ｓｉｎ４ｋＴｔ），　－ｔ．ｊＳ２　ｍａｘ　Ｇ（ｔ，Ｓ）＝１／（２４－ｋ　ｓｉｎ　４ｋｌｔ）。　收稿日期：２０１Ｉ－０ｌ。１４　修回日期：２０１１－０２－２１　作者简介：庄乐￣（１９８０一），女，河南新乡人。助教，硕士，研究方向：非线性泛函分析。Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｙｓ１９００－０２＠１６３．ｃｏｒｎ。　庄乐森：一类四阶微分方程周期边值问题正解的存在性　・１０９・　为叙述方便，记　＝ｍｉ０　ｆ．　ｎＧ（ｔ，　），　＝ｍａＸ　Ｇ（ｆ，　），　＝ｍＭ一　＝ｃｏｓ√　丌。　２　．０　，．ｓ５２ｎ　．设　＝Ｃ［０，２ｎ］ｘ　Ｃ［０，２７【］，对Ｖ“、Ｖ∈　，令ｌｌ　，Ｖ）　＝　ｌＩ＋ＩＩＶ　ｌＩ，其中ｌＩ“ＩＩ＝罂　Ｉ“（ｆ）ｌ。易知（　，ＩＩ＿ｌ　）　为Ｂａｎａｃｈ空间，设Ｐ＝｛（“，Ｖ）ｌ“（　）　０，ｖ（ｔ）≥０，且“（ｆ）≥　ＩｉｕＩＩ，Ｖ（　）≥ｏ－ｌＩＶ　），由锥的定义，不难验证Ｐ　是　巾１个锥。在问题（１）中，令ｕ　：ｖ，则问题（１）等价于下面二阶微分方程组周期问题　“　（ｆ）＝ｖ（ｆ），ｆ∈［０，２ｒｔ］；　。　Ｖ　（ｆ）＝ｆ（ｔ，“（ｆ），１，（ｆ））；　（～　４）　ｖ‘『）（ｏ）＝１，　『）（２７ｃ）（江０，１）。　于是，问题（１）在Ｃ　［０，２７【］中的解等价于问题（４）在Ｃ　［０，２ｎ］ｘＣ　［Ｏ，２ｒｔ］中的解，而问题（４）又等价于积分方程　组：　｛Ｉ　“（ｆ）＝ｌ：　“Ｇ（ｔ，　）［ｖ（　）＋／ｃｕ（ｓ）］ｄｓ，　，　（５）　｛ｖ（ｔ）＝　Ｇ（ｔ，　）［厂（　，　（　），１，　））＋ｋｖ（ｓ）］ｄｓ，　从而，问题（１）在Ｃ　［０，２ｒｔ］中的解等价于问题（５）在ｃ［ｏ，２ｘ］ｘｃ［ｏ，２ｒｔ】中的解。　定义算子４：ｘ　ｃ［ｏ，２ｎ］（ｉ＝１，２）如下：Ａ１（“，ｖ）（ｆ）＝ｆ　Ｇ（ｔ，　）［１，（　）＋ｋｕ（ｓ）］ｄｓ，　（“，ｖ）（ｆ）＝ｆ　Ｇ（ｔ，　）　［ｆ（ｓ，　（　），ｖ（　））＋ｋｖ（ｓ）］ｄｓ，再令Ａ：Ｘ＿÷Ｘ为Ａ（ｕ，１，）：（４（“，１，），　（“，ｖ）），则问题（１）在Ｃ　［Ｏ，２兀］中的解等价　于算子　在　中的不动点。　引理１：Ａ：Ｘ　Ｘ为全连续算子。　证明：首先证明４：Ｘ　ｃ［ｏ，２７ｔ］（ｉ＝１，２）是全连续的。以　为例，对　中任意有界集　，可知　（　）是　列紧的。事实上，由　有界可知，存在常数Ⅳ，使得对Ｖ（ｕ，ｖ）ｅ　Ｓ，有Ｉｌ（“，１，）　＝　ｌ－ｔ－　Ｉ＜Ｎ。对　Ｖ（ｕ，ｖ）∈Ｓ，　∈［０，２ｘ］，有Ｊ　（“，　（ｆ）ｌ：Ｊ　Ｇ（ｆ，　）［　（　，“（　），ｖ（　））＋　（　）］　Ｉ＜　ｌ　Ｌ厂（　，“（　），Ｖ（　））＋ｋｖ（ｓ）］ｄｓ　ｌ　≤ＭＫ，其中Ｋ：ｍａｘ｛Ｉｆ（ｔ，“（　），ｖ（ｆ））＋ｋｖ（ｔ）ｌ：０　ｔ≤２ｚ，ｌｌｕｌＩ＋ＩＭ－Ｎ）。故　（．ｓｆ）是一致有界的，并且，易　知　（　）是等度连续的，因此，由Ａｓｃｏｌｉ—Ａｒｚｅｌａ定理可知，　（　）是列紧集，于是，可得　是紧算子。又　易知　是连续的，故　是全连续的。进而，可以证明　是全连续算子。　引理２：若（ｕ，１，）∈Ｐ使得ｆ（ｔ，“（ｆ），１，（　））＋ｋｖ（ｔ）　０，对Ｖｔ∈［０，２ｒｅ］，则　（　ｃ　Ｐ。　证明：若ｆ（ｔ，“（ｆ），ｖ（ｆ））＋　（ｆ）≥ｏ，则对Ｖ（ｕ，ｖ）∈Ｐ，由４的定义，可知４（ｕ，１，）≥０，并且４（“，ｖ）（ｆ）＝　ｆ　Ｇ（　，　）（Ｖ（　）＋地（　））　≥ｍｆ　（Ｖ（　）＋地（ｓ））　Ｍ一‘』　Ｍ（Ｖ（　）＋ｋｕ（　））ｄｓ＞＿ｃｒ　ｍ　ａ：ｘ　Ｉ＂　２　Ｇ（ｆ，　）（Ｖ（　）＋ｋｕ（　））出　＝ｃ　ｆＩ　４（　，　）ｆＪ，　Ａ２（　，　）　）＝ｆ　ｎ－“Ｇ（ｔ，　）（／（　，　（　），　（　））＋　（　））ｄ　≥ｍＩ　ｏ一［／（　，　（　），　（　））＋　（　）］ｄ　≥ｍＭ　Ｊ．。２ｎＭ…ｓ，“（　），Ｖ（　））＋　（　））　＿＞０＂　ＩＴＩａ　ｘ　　ｆ。２　Ｇ（ｆ，　）（厂（　，“（　），１，（　））＋　（　））　＝　ＩＩ＆（ｕ，ｖ）ＩＩ，故有　（Ｐ）ｃ　Ｐ。　引理３：设Ｅ是Ｂａｎａｃｈ空间，Ｐ是Ｅ中的锥，岛、　是Ｅ中有界开集，０ｅ　Ｑ　、　ｃ　、Ａ：Ｐｎ　（　＼岛）　Ｐ全连续，若满足下列条件之一：１）ＩＪ　Ａｘ　｛Ｊ　ｘ｝ｌ，Ｖｘｅ　Ｐｎａ岛；Ｉ｛　ＩＪ，Ｖｘｅ　ＰＩ３　】。　２）Ｉｌ　Ａｘｌｌ＜　ＩＩ，Ｖｘ　Ｐｎ　ａ　；１　ＩＡｘ　ＩＩ　ｘ　ｉｌ，Ｖｘｅ　Ｐ　ｎ　ａ岛。￣ＩＶ／－，，Ａ在Ｐｎ（　＼岛）中必具有不动点。　２　主要结论　定理１：假设存在两个实数０＜ａ＜ｂ，使得下列条件成立：１）ｆ（ｔ，“（　），　（　））＋ｋｖ（ｔ）　０，Ｖｔｅ［０，２ｎ】，　ｕ（ｔ）＋１，（ｆ）∈［ｏ＇ａ，ｂ］；２）ｆ（ｔ，“　），１，（　））＋ｋｖ（ｔ）　，￣ａ／（２ｎＭ），对Ｖｆ∈［０，２ｘ］，ｕ（ｔ）＋ｖ（ｒ）∈【ｏ＇ａ，ａ］，五十　＝ｌ且　≥２ｎｍｋ；３）ｆ（ｔ，　（　），ｖ（ｆ））＋　（ｆ）＞ｂ／（２ｒｔｍ），对Ｖｆ∈［０，２兀］，“∽＋　ｆ）∈［ｏ－ｂ，６Ｉ；则问题（１）至少有一个正解。　证明：令　＝｛（　，ｖ）∈　：０（　，Ｖ）ｆＩｘ＜ｃ），ａ　＝（（“，Ｖ）∈　：『Ｉ（“，１，）『　Ｉ＝ｃ】，则　为　中有界开集。若　（“，ｖ）∈Ｐｎ　ａ　，贝４　ｏ＇ａ＝　（｝ｊ　ｕ　Ｉ【＋ｌ　１Ｖ　Ｉ１）　ｂｌ＋Ｖ　ＩＩ　Ｉ１＋ＩＩ　ｖ　ＩＩ＝Ｉｌ（Ｕ，１，）ｌＩｘ＝ａ，由此可得０≤ｆ（ｔ，“（ｆ），Ｖ（　））＋ｋｖ（ｔ）　ｎ／（２　），　口　Ｖ（ｆ）＋　（ｆ）　ａ，０　ｆ　２ｎ，于是，由条件１）和条件２）可知，ｌＩ４（“，　ｌ１＝　Ｇ（ｆ，　）（１，　）＋　（下转第１　１２页）　・Ｉ１２・　新乡学院学报：自然科学版　Ｉｌｎ　－Ｏ＋Ｉ２ＩｎＯ（－ｅｌｆ／ｏ－）一（２　。）一　∑　，对模型进行最大化处理，并根据其一阶条件，有如下等式成立：　ｆ　ｆ　ｌ　ｌ　ｌ　＝　｜　ｆ＝ｌ　，＋　ｆ　ｆ：ｌ　ｆ－－１产）　始　扛ａ　／　驯酬＝０，３１ｎ　Ｉ　＝　∑［　ｆ＿ｉ　ｆ　岛／　（一　＝０，　Ｌ／　＝０－２∑￡　／　酬＝０，　ａｈ　粥＝ｏ－２∑写ｈ　－ｔＯ＇－。／｛　ｆ＿１　ｌ　ｆ＝Ｉ　ｌ｜｜　Ｄ）ｈ　／　墨　Ｄ）】＝０，　３１ｎ工／ａ　＝（２　）一　Ｉ２　Ｉｎ　Ｉｎ．　＋（２　）一‘　∑【　（￡＝ｆ　／　）ｌｎ　１ｎ　／　（一　／　）】＝０。　ｉ＝ｌ　这里，　＝Ｉｎ　－Ｉｎ　（　，　）＝Ｉｎ　Ｙｉ一（屈＋∑　Ｉｎ　＋２－１∑∑　Ｉｎ蕾Ｉｎ　），通过ＭＡＴＬＡＢ软件对上述　ｉ＝１　ｉ＝ｌｊ＝ｌ　方程进行求解，即可得技术参数　、截距　、　、　和　的估计值。　步骤二与矩量估计法的步骤三一样，根据已经估计出的参数计算出各生产单元的生产技术无效值。　Ｍａｔｅｒｏｖ于１９８１提出，在　＝　—ｕｉ时，对关于ｕｆ和　的联合密度等式进行最大化可推出Ｍ（ｕ，Ｉ　）。根据　（１）式和（２）式，可估计出各生产单元的技术无效及所有生产单元的平均技术无效值。　参考文献：　［１］林炳文．银行并购与效率之分析［Ｊ】．产业经济研究，２００４（Ｉ）：１７－２９．　［２】孙兆斌．国有商业银行边界效率分析［Ｊ］．产业经济研究，２００５（３）：４１—４７．　［３］ＡＩＧＮＥＲ　Ｄ，ＬＯＶＥＬＬ　Ｃ　Ａ　Ｋ，ＳＣＨＭＩＤＴ　Ｐ．Ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　Ｆｒｏｎｔｉｅｒ　Ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｍｏｄｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓ，１　９７７，６（１）：２　ｉ　３７．　【４］ＭＥＥＵＳＥＮ　Ｗ，ＢＲＯＥＣＫ　Ｄ．Ｅｆｉｃｉｆｅｎｃｙ　Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　Ｃｏｂｂ－Ｄｏｕｇｌａｓ　Ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｃｏｍｐｏｓｅｄ　Ｅｒｒｏｒ［Ｊ］．　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃ　Ｒｅｖｉｅｗ，１　９７７，１　８（２）：４３５－４４４．　【５】昆伯卡Ｓ　Ｃ，诺克斯・拉维尔ＣＡ．随机边界分析【Ｍ］．刘晓宏，杨倩，译．上海：复旦大学出版社，２００７：６５—６６．　【责任编辑王云鹏】　（上接第１０９页）　砌（　））　』　（１，（　）＋　（　））　≤２兀　口／（２ｍ，￣／－）＝４口，ＩＩ　，Ｖ）ｔｌ＝　ｍａｘ　　ｆ。２　Ｇ（ｆ，　）（厂（　，“（　），１，（　））＋　（　））　．ｆ　（　（　，“（　），Ｖ（　））＋　））出－－ＭＩ：　口／（２ｚａＣ）ａｓ＝＆以，则对Ｖ（“，１，）∈Ｐｎａ　，有　（　，１，）　＝１１４（ｕ，ｖ）Ｉ＋　０　（　ｆＩ＜口＝０（Ｕ，　０　；若（ｇ，ｖ）∈ＰＮ　ａ　，贝０　＂ｏｂ＝　（０　Ｕ　Ｉ＋　１，ｌＩ）≤Ｕ＋１，＜－１　ＩＵ　０＋ｌｆ　ｖ　Ｉ＝１ｉ（Ｕ，ｖ）ＪＩ　＝ｂ，于是，有　ｋｏ＂ｂ　ｖ（ｔ）－ｔ－ｋｕ（ｔ）　ｂ，ｆ（ｔ，　（ｆ），　ｆ））＋　（ｆ）　（２硎）　０，０　ｔ≤２ｎ，则由条件１）和条件３）可知，｝ｌＡＩ（Ｕ，　ｌＩ＝　２　Ｇ（ｆ）ｍａｘ　　［（Ｖ（　）＋地　））ｄｓ＞２ｍＴｔｋｏ＂ｂ＞０，　。，　（“，Ｖ）１：　』。２　Ｇ（ｆ，　）（厂（　，“（　），Ｖ（　））＋　（　））出　ｆ　（厂（　，　（　），ｖ（　））－ｔ－　（　））出　２ｒｔｍｂ／（２ｒｉｍ）＝ｂ，则对Ｖ（ｕ，ｖ）∈ＰＮａ　，有ｌＩ　Ａ（ｕ，ｖ）　＝ｌ　ｌＡｉ（Ｕ，１，）ｌＩ＋ｌＩ　Ａ２（Ｕ，ｖ）ＩＩ＞ｂ＝　Ｉｌ（Ｕ，　。综上所述，并由引理３，可知算子　在Ｐｎ（　＼　）中至少有一个不动点，即问题（１）至少有一　个正解。　参考文献：　［１】ＪＩＡＮＧ　Ｄ　Ｑ，ＧＡＯ　Ｗ　Ｊ，ＷＡＮ　Ａ　Ｙ　Ａ　Ｍｏｎｏｔｏｎｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　Ｅｘｔｒｅｍａｌ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　Ｆｏｕｒｔｈ－ｏｒｄｅｒ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ｃｏｍｐｕｔ，２００２，１　３２：４１　１－４２１．　［２】．ＬＩ　Ｙ　Ｘ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆＦｏｕｒｔｈ－ｏｒｄｅｒ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＡｎａｌ，２００３，５４：１０６９－１０７８．　［３］ＹＡＯ　Ｑ　Ｌ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ，Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ　ａｎｄ　Ｉｎｆｉｎｉｔｅ　Ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ａ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｆｏｕｒｔｈ－ｏｒｄｅｒ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌ，２００５，６３：２３７—２４６．　［４】ＬＩ　Ｆ　ＬＩＡＮＧ　Ｚ　Ｐ　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｅｃｏｎｄ　Ｏｒｄｅｒ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ｌｅｔｔ，２００５，１８：１２５６—１２６４．　［５］郭大钧．非线性泛函分析［Ｍ］．２版．济南：山东科学技术出版社，２００４：３０６－３１６．　【责任编辑王云鹏】