高三理科数学周测试题

3xln(2xx2)的定义域为 x1 （A）(2,) （B）(1,2) （C）(0,2) （D）[1,2] （2）已知复数z2i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则zz

1i（A）2i （B）2i （C）-2 （D）2

（3）已知向量a(3,1),b(0,1),c(k,3)，若a2b与c共线，则k的值

为

（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3

1（4）已知命题p:xR,x1lgx，命题q:x(0,),sinx2，则下

sinx列判断正确的是 （A）命题pq是假命题 （B）命题pq是真命题 （C）命题p(q)是假命题 （D）命题p(q)是真命题

（5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选

的4人中至少有1名女生的概率为

14824（A） （B） （C） （D）

1515515log2x,(x0)（6）已知函数f(x)x，则不等式f(x)1的解

2,(x0)（1）函数f(x)=集为

（A）(2,) （B）(,0) （C）(,0)(2,) （D）(0,2)

（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入3

个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为

（A）4cm （B）3cm （C）2cm （D）1 cm

（8）已知函数f(x)x2ax的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线

x3y10垂直，记数列{1}的前n项和为Sn，则S2016的值为 f(n)（A）

2015201620142017 （B） （C） （D） 20162017201520181

（9）函数f(x)(1cosx)sinx在[,]的图象的大致形状是

2xy0,y2（10）实数x,y满足条件xy40,则2的取值范围为

xx3.1139（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的

（A）[4,) （B）[,2] （C）[0,4] （D）[,4]

表面积为

(A)20+2 (B) 206 (C) 142 (D)16

y2122（12）已知抛物线yx与双曲线2x1(a0)

8a有共同的焦点F，O为坐标原点， P在x轴上方且在双曲线上，则OPFP的最小值为（ ）．

（A）323 （B）233 （C）37 （D）

44（13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数X服从正态分布N(200,102)，则

P(X190)=__________．

(附：若Z～N(,2)，则P(Z)=0.6826，

P(2Z2)=0.9544.)

x2y2(14)已知双曲线221(a0,b0)两条渐近线的

ab夹角为60，则该双曲线的离心率为 . (15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k值为 .

(16)已知等差数列{an}满足a10,5a88a13，则前n项和Sn取

最大值时，n的值为 . 图3

2

(17)（本小题满分12分）已知如图4，△ABC中，AD是BC边的中线，

BAC120，且ABAC15.

2A (Ⅰ)求△ABC的面积；

18．(本小题满分12分)

某市在以对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．

(1)某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表： 等级 优秀 合格 不合格 x 15 5 男生（人） y 15 3 女生（人） 根据表中统计的数据填写下面22列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评介测评结果为优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 总计 男生 女生 总计 CB(Ⅱ)若AB5，求AD的长. D（2）以（１）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．

（i）求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；

（ii）记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望．

n(adbc)22参考公式：K，其中nabcd．

(ab)(cd)(ac)(bd)临界值表： P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635

3

（19）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且ABC60，AB=PC=2，PA=PB=2. （Ⅰ）求证：平面PAB平面ABCD； （Ⅱ）设H是PB上的动点，

求CH与平面PAB所成最大角的正切值.

（20）(本小题满分12分)

6x2y2已知椭圆C：2+21(ab0)的离心率为，若动点A在椭圆C3ab上，动点B在直线yab6上.（c为椭圆的半焦距） c2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若OAOB(O为坐标原点)，试探究点O到直线AB的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

(21)（本小题满分12分）

已知aR，函数fxexax2，gx是fx的导函数，

1（Ⅰ）当a0时，求证：存在唯一的x0,0，使得gx00；

2a（Ⅱ）若存在实数a,b，使得fxb恒成立，求ab的最小值．

(22)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程

x2y21． 已知椭圆C的普通方程为：94(Ⅰ) 设y2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；

4

(Ⅱ) 设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）

高三理科数学周测参考答案及评分说明

1----6 BCC DAC 7----12 BBA DAA

解析：（6）如右图，易得所求不等式的解集为(,0)(2,)，

4（7）设球的半径为r，依题意得3r3r2(6r6)r3.

3 (8)依题意知f(x)x2ax的图象在点A(1,f(1))处的切线斜率

kf'(1)2a3a1，故

1111， f(n)n(n1)nn1111S2016122311120161． 2017201720162017331可排除（B）,故选(A). （9）由f()1可排除（C）、(D)，由f()342(10)设

y1k，则k为可行域内的点与原点连线的斜率，易得k2，故x31k24. 9

5

（11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：

1圆柱（圆柱的411(412)2(41+21)3202.

22

13. 0.8413 14. 233或2 15. 6 16. 21

解析：(13) P(X190)=P(X)1P(X)0.50.8413

23(16)由5a88a13得5(a17d)8(a112d)da1，

6131由ana1(n1)da1(n1)(a1)0n21，

361所以，数列{an}前21项都是正数，以后各项为负数，故Sn取最大值时，n的值为21.

115（17）解：(Ⅰ)∵ABAC15，∴ABACcosBACABAC,

222即ABAC15，------------------------------3分 ∴SABC1ABACsinBAC1153153.-------5分

2224(Ⅱ)解法1：由AB5得AC3， 在△ABC中，由余弦定理得：

BC2AB2AC22ABACcosBAC2591549,

得BC7，----------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：

BCAB，

sinBACsinACD6

得sinACDABsinBACBC53253，-------------------------------9分 71411，--------10分 14∵0ACD90 ∴cosACD1sin2ACD在△ADC中，

AD2AC2CD22ACCDcosACD9497111923， 42144解得AD19.---------------------------------------12分】 2【解法2：由AB5得AC3， 在△ABC中，由余弦定理得：

BC2AB2AC22ABACcosBAC2591549,

得BC7，----------------------------------------------------7分

AC2BC2AB29492511,--------9分 在△ABC中，cosACB2ACBC23714在△ADC中，由

AD2AC2CD22ACCDcosACD9497111923， 42144解得AD19.----------------------------12分】 2（18）（1）设从高一年级男生中抽出m人，则 ∴x25205,y20182

优秀 非优秀 总计 男生 15 10 25 女生 15 5 20 m45,m25． 500500400总计 30 15 45 45(1551015)291.1252.706 而k301525208 ∴没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．

7

15152，∴从该市4532高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为．

3 记“所选3名学和g中恰有2人综合素质评价‘优秀’学生”为事件A，则事

224件A发生的概率为：P(A)C32()2(1)；

3392（ii）由题意知，随机变量X~B(3,)，

32∴随机变量X的数学期望E(X)32．

3

（2）（i）由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为

（19）解：(Ⅰ)证明：取AB中点O，连结PO、CO，---------1分 由PA=PB=2，AB=2，知△PAB为等腰直角三角形， ∴PO=1，PO⊥AB，-----------------------------------2分 由AB=BC=2，ABC60，知△ABC为等边三角形， ∴CO3，----------------------------------3分 由PC2得PO2CO2PC2,

∴PO⊥CO，--------------------------------------4分 又ABCOO，

∴PO⊥平面ABC，---------------------5分

又PO平面PAB，∴平面PAB平面ABCD----------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABC，COAB，

如图所示，以O为原点，OC、OB、OP所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，

则C(3,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，--------------------------7分 设点H的坐标为(0,m,n)，BHBP，

则(0,m1,n)(0,1,1)，∴m1,n，即H(0,1,)，------8分 则HC(3,1,)，OC(3,0,0)为平面PAB的法向量， 设CH与平面PAB所成的角为， 则sin|cosOC,HC||OCHC|

|OC||HC| 8

333(1)2()23,------10分

172()222当16时，sin取最大值，(sin)max，-------------------------11分 27又(0,]，此时最大，tan6， 2即CH与平面PAB所成最大角的正切值为6.----------------12分】 (20)解：(Ⅰ)依题意得：

c6ab6-----① --------②------1分 a3c2 ①×②得b1，-----------------------------------2分

c2a2b22，解得a23----------------------3分 又22aa3x2∴所求椭圆C的方程为y21.--------------------------4分

3（Ⅱ）依题意知直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为ykx，

1（1）若k0，则直线OB的方程为yx，

kyAkxA32设A(xA,yA),B(xB,yB)，则由x2，----------------6分 xA22A3k1yA131yxBB3k2k2由，---------------------------------------------------7分 xB2y6B23(k21)∵|OA|xy1k|xA|，-----------------------8分 23k12A2A2123(k21)∴|OB|xy1()|xB|,---------------------9分

k2设点O到直线AB的距离为d，则

2B2B3(k21)3(k21)22SAOB|OA||OB|（3k21)3k12d==1.------10分 22222|AB|3(k1)|OA|+|OB|3(k1)3(k1)3k212 9

(2)若k0，则A点的坐标为(3,0)或(3,0)，B点的坐标为(0,6)， 2621，---------------------------------------------11分 这时，d634综上得点O到直线AB的距离为定值，其值为1.--------------------------------12分

36)，--------------------------5分 22x062y00，-----由点A在椭圆C上和OAOB分别可得：y01和tx023---6分

设点O到直线AB的距离为d，则有|OA||OB||AB|d,-------------------7分

【解法二：设A、B的坐标A(x0,y0)、B(t,1|AB|2|OA|2|OB|2|OA||OB||AB|d2,--------8分

d|OA|2|OB|2|OA|2|OB|222222x0111111112222262222222262d|OA|2|OB|2x0y0xyxy3xyt(2)()y200000002(26)2x01-------------------------------------------------11分 2x23(x010)3所以点O到直线AB的距离为定值，其值为1.-------------------------------12分】

232x0223(x0y0)232x0(21)（Ⅰ）证明：∵gxfxex2ax，gxex2a，--------------1分 当a0时，gx0，∴函数gx在(-,+)上的单调递增，-----------2分

11又ge2a10，g010，----------------------------------3分

2a1∴存在唯一的x0,0，使得gx00；---------------------------4分

2a（Ⅱ）解：（1）当a0时，则当x(,0)时，g(x)0，即函数f(x)在(,0)上单调递增，且当x时，f(x)，这与f(x)b矛盾；--5分

（2）当a0，由exb，得b0，∴ab0；-----------------6分

（3）当a0，由（Ⅰ）知当x,x0时，g(x)0；当xx0,时，

g(x)0；

即fx在,x0上单调递减，在x0,上单调递增，-------------------7分 ∴fxminfx0，------------------------------------------------------------8分

10

ex0其中x0满足e2ax00，故a且x00，

2x0x0∵fxb恒成立，∴bf(x0)

x122即bex0ax0，于是abaex0ax0ex010，-----------9分

2x021x12记h(x)ex(1)，x0，则h'(x)2exx1x1，---------10分

2x22x由h'(x)0得x1，即函数h(x)在(,1)上单调时递减， h'(x)0得1x0，即函数h(x)在(1,0)上单调递增，

1∴h(x)minh(1)，

e1综上得ab的最小值为，此时x01．-------------------------------------12分

e4t22)9(1t2)---1分 （22）解：(Ⅰ)将y2t代入椭圆的普通方程得x9(14于是得x31t2，-------------------------------------------------2分

x31t2,x31t2,∴椭圆C的参数方程为（t为参数）和（t为参

y2t.y2t.数）---4分

(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，----------------------------------5分 设点P的坐标为(3cos,2sin)，(0则S四边形AOBP)-------------------------------6分 211SBPOSOPA23cos32sin--------------8分

223sin3cos32sin()，(0)------------------------------9分

24当sin()1，即时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为32.-44-------10分

11