测量不确定度案例分析

【案例】对一等活塞压力计的活塞有效面积检定中，在各种压力下，测得10次活塞有效面积与标准活塞面积之比l(由l的测量结果乘标准活塞面积就得到被检活塞的有效面积)如下：

0.250670 0.250673 0.250670 0.250671 0.250675 0.250671 0.250675 0.250670 0.250673 0.250670 问l的测量结果及其A类标准不确定度。

【案例分析】由于n=10, l的测量结果为l，计算如下

n l1nli0.250672i1 由贝塞尔公式求单次测量值的实验标准差

nil2

s(l)li1n12.05106

由于测量结果以10次测量值的平均值给出，l 的A类标准不确定度为

由测量重复性导致的测量结果u(l)A

s(l)n0.6310

6【案例】对某一几何量进行连续4值：0.250mm 0.236mm 0.213mm 测量值的实验标准差。

【案例分析】由于测量次数较少，用极差法求实验标准差。

s(xRi)Cu(xi) 次测量，得到测量0.220mm，求单次 式中， R——重复测量中最大值与最小值之差；

极差系数c及自由度ν可查表3-2

表3-2极差系数c及自由度ν

n c 2 0.9 3 1.8 4 2.7 5 3.6 6 4.5 7 5.3 8 6.0 9 6.8 1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 ν

查表得cn=2.06

Rs(xi)u(xi)(0.2500.213)mm/2.060.018mm C2)测量过程的A类标准不确定度评定

对一个测量过程或计量标准，如果采用核查标准进行长期核查，使测量过程处于统计控制状态，则该测量过程的实验标准偏差为合并样本标准偏差SP。

若每次核查时测量次数n相同，每次核查时的样本标准偏差为Si，共核查k次，则合并样本标准偏差SP为

spsi1k2ik

此时SP的自由度ν=(n-1)k。

则在此测量过程中，测量结果的A类标准不确定度为

uA

式中的n为本次获得测量结果时的测量次数。 【案例】对某计量标准（测量过程）进行过2次核查，均在受控状态。各次核查时，均测10次，n=10，

SPn计算得s1=0.018mm， s2=0.015mm

在该测量过程中实测某一被测件（核查标准），测量6次，求测量结果y的A类标准不确定度。

【案例分析】因核查2次，故k=2，则测量过程的合并样

2s12s20.01820.0152smm0.017mmp本标准偏差为 k2在该测量过程中实测某一被测件（核查标准），测量6次，则测量结果y的A类标准不确定度为

uA0.017mmSP0.007mmn 6其自由度为ν=(n-1)k=（10-1）×2=18 3）规范化常规测量时A类标准不确定度评定

规范化常规测量是指已经明确规定了测量程序和测量条件下的测量，如日常按检定规程进行的大量同类被测件的检定，当可以认为对每个同类被测量的实验标准偏差相同时，通过累积的测量数据，计算出自由度充分大的合并

样本标准偏差，以用于评定每次测量结果的A类标准不确定度。

在规范化的常规测量（检定）中，测量m个同类被测量，得到m组数据，每次测量n次，第j组的平均值为x，

j则合并样本标准偏差SP为

xspj1i1jmnijxj2m(n1)

对每个量的测量结果x的A类标准不确定度

u(xj)A

自由度为ν=m(n-1)

SPn

【案例】取3台同类型同规格电阻表，各在重复性条件下连续测量10次，共得3组测量列，每组测量列分别计算得到单次实验标准差：

s1=0.20Ω， s2=0.24Ω， s3=0.26Ω 求合并样本标准偏差SP及自由度。

【案例分析】采用合并样本标准差的方法得：

sp2mnxxijj1m21j1i1222s0.200.240.260.23 m(n1)m1j3自由度ν=m(n-1)=3×(10-1)=27

4）用预评估重复性进行A类评定

类似于规范化常规测量，在日常开展同一类被测件的常规检定、校准或检测工作中，如果测量系统稳定，测量重复性不变，则可用该测量系统，以与测量被测件相同的测量程序、操作者、操作条件和地点，预先对典型的被测

件的典型被测量值，进行n次测量（一般n不小于10），由贝塞尔公式计算出单个测得值的实验标准偏差s(x)，即重复性。在对某个被测件实际测量时可以只测量n次（1≤n＜n），并以n次独立测量的算术平均值作为被测量的估计值，则该被测量估计值的A类标准不确定度为

u(x)s(x)s(x)/n

用这种方法评定的标准不确定度的自由度仍为

 = n -1。可以提高对估计的A类标准不确定度的可信程度。

应注意，当怀疑测量重复性有变化时，应及时重新测量和计算实验标准偏差s(x)。

【案例】已知对某一电压值进行测量的单次实验标准差预评估值为s=0.025V,进行规范化常规测量，测量重复性未变化，对电压值进行3次测量，若测量3次的算术平均值作为被测量的估计值，求被测量估计值的A类标准不确定度。

【案例分析】因规范化常规测量，测量系统稳定，测量

重复性不变，则：UA＝

sn=

0.025V3≈0.015V

A类评定的几点说明：

a、当测量结果取其中任一次，则u(x)=s；

u(x)b、当测量结果取算术平均值，则

sn；

smu(xm)c、当测量结果取n次中的m次平均值，则

d、自由度：νn1。

；

e、评定方法的选定：一般当测量次数n＞6时用贝塞尔

公式计算实验标准差n≤6时用极差法

【案例】某检定员在评定某台计量仪器的重复性sr时，通过对某稳定量Q重复观察了n次，按贝塞尔公式，计算出任意观察值qk的实验标准差s(qk)=0.5，然后，考虑该仪器读数分辨力δ=1.0，由分辨力导致的标准不确定度为

u（q）=0.29δq=0.29×1.0=0.29

将s(qk)与u（q）合成，作为仪器示值的重复性不确定度ur(qk) ur(qk)s(qk)u(q)(0.5)(0.29)0.580.6

2222 【案例分析】 重复性条件下，示值的分散性既决定于仪器结构和原理上的随机效应的影响，也决定于分辨力。依据JJF1059—1999第6.11节指出：“同一种效应导致的不确定度已作为一个分量进入uc(y)时，它不应再包含在另外的分量中”。

该检定员的这一评定方法，出现了对分辨力导致的不确定度分量的重复计算，因为在按贝塞尔方法进行的重复

观察中的每一个示值，都无例外地已受到分辨力影响导致测量值q的分散，从而在s(qk)中已包含了δq效应导致的结果，面不必再将u(q)与s(qk)合成为ur(q)。该检定员采用将这二者合成作为ur(qk)是不对的。

有些情况下。有些仪器的分辨力很差，以致分辨不出示值的变化。在实验中会出现重复性很小，即：s(qk)≤u(q)。特别是用非常稳定的信号源测量数字显示式测量仪器，在多次对同一量的测量中，示值不变或个别的变化甚小，反

而不如u(q)大。在这一情况下，应考虑分辨力导致的测量不确定度分量，即在s(qk)与u(q)两个中，取其中一个较大者，而不能同时纳入。

3) 标准不确定度B类评定的实例

【案例1】校准证书上给出标称值为1000g的不锈钢标准砝码质量ms的校准值为1000.000325g，且校准不确定度为24μg(按三倍标准偏差计)，求砝码的标准不确定度。 【评定】由于a=U=24μg, k=3, 则砝码的标准不确定度为 u(ms)=24μg/3=8μg

【案例2】校准证书上说明标称值为10Ω的标准电阻在23℃时的校准值为10.000074Ω，扩展不确定度为90μΩ，置信水平为99%，自由度趋于无穷,求电阻的相对标准不确定度。

【评定】 由校准证书的信息可知 a=U99=90μΩ，p=0.99

假设为正态分布，查表得到k=2.58，则电阻校准值的

标准不确定度为

uB(RS)= 90μΩ/2.58=35μΩ

相对标准不确定度为：uB(RS)/RS=3.5×10。 【案例3】手册给出了纯铜在20℃时线热膨胀系数 α20(CU)为 16.52×10℃，并说明此值的误差不超过 ±0.40×10℃,求α20(CU)的标准不确定度。

【评定】 根据手册，α=0.40×10℃，依据经验假设为等概率地落在区间内，即均匀分布，查表得k=

3，铜

-6

-1

-6

-1

-6

-1

-6

的线热膨胀系数的标准不确定度为

u(α20)=0.40×10℃/

-6

-6

-1

3=0.23×10

-6

℃

-6

-1

【案例4】由数字电压表的仪器说明得知，该电压表的最大允许误差为±（14×10×读数＋2×10×量程），用该电压表测量某产品的输出电压，在10V量程上测1V时，测量10次，其平均值作为测量结果，得V=0.928571V，问测量结果的不确定度中数字电压表引入的标准不确定度是多少？

【评定】电压表最大允许误差的模为区间的半宽度 a=14×10×0.928571V＋2×10×10V=33×10V=33μV 设在区间内均匀分布，查表得k=量结果的标准不确定度为

u(V)=33μV /

3=19μ

3，则数字电压表引入测

-6

-6

-6

V

【案例5】某法计量技术机构为要评定被测量Y的测量结果y的合成标准不确定度uc(y)时，y的输入量中，有碳元素C的相对原子质量，通过资料查出C的相对原子质量为

Ar(C)=12.0107(8)。资料说明这是国际纯化学和应用化学联合会给出的值。如何评定由于C的相对原子质量不准确 引入的标准不确定分量？

【评定】 根据2005年国际纯化学和化学联合会给出的值，C的相对原子质量为Ar(C)=12.0107(8)，括号内的数是标准不确定度，与相对原子质量值的末位对齐。所以碳元素C的相对原子质量为Ar(C)=12.0107，其标准不确定度为uc=0.0008。

（3）合成标准不确定度计算举例

【案例1】一台数字电压表的技术说明书中说明：“在校准后的两年内，示值最大允许误差为±（14×10×读数＋2×10×量程）”。

现在校准后的20个月时，在1V量程上测量电压V，一组独立重复观察值的算术平均值为0.928571V，其A类标准不确定度为12μV。求该电压测量结果的合成标准不确定度。

-6

-6

【案例分析】根据案例中的信息评定如下： 测量结果：V=0.928571V，

测量结果的不确定度评定：经分析影响测量结果的主要不确定度分量有两项，分别用A类和B类方法评定，再将两个分量合成后得到合成标准不确定度。

（1） 由测量重复性引入的标准不确定度分量，用A类方

法评定：uA（V）=12μV。 （2） 由所用的数字电压表不准引入的标准不确定度分

量，用B类方法评定。 读数：0.928571V；测量上限：1V

a=14×10×0.928571V＋2×10×1V=15μV 假设为均匀分布，k=3 uB（V）= a/k =15μV/ （3）合成标准不确定度 由于上述两个分量不相关，可按下式计算 2222u(V)u(V)u(V)(12V)(8.7V)15VAB c-6-6

3=8.7μV 【案例2】在测长机上测量某轴的长度，测量结果为40.0010mm，要求进行测量不确定度分析与评定，给出测量结果的合成标准不确定度。

【案例分析】经分析，各项不确定度分量为： （1）读数的重复性引入的标准不确定度分量u1 从指示仪上7次读数的数据计算得到测量结果的实验标准偏差为0.17μm , u1=0.17μm 。

（2）测长机主轴不稳定性引入的标准不确定度分量u2

由实验数据求得测量结果的实验标准偏差为0.10μm , u2=0.10μm 。

（3）测长机标尺不准引入的标准不确定度分量u3 根据检定证书的信息知道该测长机为合格，符合±0.1μm 的技术指标，假设为均匀分布，取k=3， 则：u3=0.1μm /3=0.06μm 。

（4）温度影响引入的标准不确定度分量u4

根据轴材料温度系数的有关信息评定得到其标准不确

定度为0.05μm ，u4=0.05μm 。

由于各分量间不相关，则轴长测量结果的合成标准不确定度为：

uc4u12i0.170.100.060.05m0.21m2222 7．扩展不确定度的确定

【案例】上节案例2，在测长机上测量某轴的长度，经评定已知测量结果的合成标准不确定度uc=0.21μm 。求测量

结果的扩展不确定度。

【案例分析】根据已知信息，已知合成标准不确定度uc， 取k=2，则扩展不确定度：U=kuc=2×0.21μm =0.42μm 。 【案例】某测量结果的合成标准不确定度为0.01mm,其有效自由度为9，要求给出其扩展不确定度Up。（由该扩展不确定度所确定的区间具有包含概率为P=95%,且合成分布为正态分布。）

【案例分析】根据确定Up的步骤，计算如下；

1已知u(y)= 0.01mm, u(y)的有效自由度=9； ○

c

c

eff○

2要求P=95%=0.95,根据P和eff

查t分布表，得到t(0.95，9)=2.26;

○

3则kp=t(0.95,9)=2.26; ○

4计算Up，Up=kpuc

=2.26×0.01mm=0.023mm; ○

5所以，该测量结果的扩展不确定度 U95=0.023mm kp=2.26。

（5）综合案例

某实验室校准一台直流电压表，按照校准规范，连接并操作被校表和标准装置，标准装置是一台标准电压源，将标准电压输入到被校表，被校表在100V量程上置于示值100.000V。读标准装置显示的输出标准电压值，共测量10次，将标准装置在每次测量时的读数记录在表1中。

表1 原始记录表

序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

读数xi/v 100.015 100.016 100.001 99.998 99.988 100.008 100.012 100.013 100.015 100.011 查最近实验室标准装置的校准证书，由上级计量机构给出的100V时的修正值及其不确定度为： 修正值：Vs=20×10

Urel=45×10， k=3

要求：

（1） 计算原始记录中测量结果的算术平均值和实验标准

偏差。

（2） 确定标准装置的修正值及其扩展不确定度。

-6

-6

（3） 给出被校直流电压表在100V时的校准值及其k=2

的扩展不确定度。 答案如下：

（1） 计算原始记录中测量结果的算术平均值和实验标准

偏差。

x算术平均值：

10i1xi10100.008V；

实验标准偏差：

s(x)xi110ix21010.009V； 因此，按照记录的信息，算术平均为100.008V，实验标准偏差为0.009V。

（2）根据标准装置的最近的校准证书，标准装置的修正值为Vs=20×10。由上级出具的校准证书给出的修正值的扩展不确定度为Urel=45×10，k=3。

（3）给出被校直流电压表在100V时的校准值及其k=2的

-6

-6

扩展不确定度。

1由原始记录得出，标准装置读数的算术平均值为○

100.008V，修正值为Vs=20×10，经修正后的测量结果为

100.008V×(1+20×10)=100.010V

所以，被校表100V示值的校准值是100.010V。 2分析和评定被校表校准值的不确定度。 ○

a. 标准不确定度分量评定：

a标准装置的修正值引入的标准不确定度分量u1 ○

-6

-6

标准装置的修正值的不确定度由上级出具的校准证书给出，该标准不确定度分量用B类方法评定。由于修正值的扩展不确定度为Urel=45×10，k=3， 则：u1=Urel/k=45×10/3=15×10

-6

-6-6

b校准时测量重复性引入的标准不确定度分量u2 ○

测量数据的重复性由各种随机因素引起，也包括被校表

和标准装置的重复性。该标准不确定度分量用A类方法评定，由本次对被校表测量10次的数据，计算实验室标准

偏差得s(x)=0.009V，以10次测量的算术平均值作为测量结果，所以测量结果的重复性引入的标准不确定度分量u2为

u2s(x)n0.009V100.0028V

-6

相对标准不确定度为u2=0.0028V/100V=28×10 计算合成标准不确定度：

uc(15)(28)1022632106

计算k=2时的扩展不确定度：

Urel=2×32×10-6=64×10-6

=0.0064%≈0.007%

所以，被校表在100V示值的校准值为100.010V，其相对扩展不确定度为：

Urel=0.007%，k=2