函数奇偶性的六类经典题型

类型一：判断奇偶性

[例1] 判断下列函数奇偶性

（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）

且

（

奇偶性

且）

∴ 奇函数 （2），关于原点对称

∴ （3）

奇函数

，关于原点对称

∴ 既奇又偶

（4）考虑特殊情况验证：

（5）

且 ；

无意义 ； ∴ 非奇非偶

，关于原点对称

∴ 为偶函数

类型二：根据奇偶性求解析式

1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.

解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，－x>0，

*精*

f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，

即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1. 答案：－－x－1 2.求函数

（1）解：

时，

∴

的解析式 为R上奇函数，

时，

，

∴ （2）解：

时，

为R上偶函数，

时，

∴

类型三：根据奇偶性求参数

1.若函数f(x)= xln（x+ax）为偶函数，则a= 【解题指南】f(x)= xln（x+ax）为偶函数，即yln(xax2)是奇函数，利用

22f(x)f(x)0确定a的值.

【解析】由题知yln(xax2)是奇函数，

所以ln(xax2)ln(xax2)=ln(axx)lna0，解得a=1. 答案：1.

x＋1x＋a

2.函数f(x)＝为奇函数，则a＝______.

x3

解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1. 答案：－1

3.已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝( )

1

A. 7C．1

B．－1 D．7

22*精*

1

解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝.又f(x)

71

为偶函数，所以3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，解得b＝0，所以a＋b＝.

74.若函数f(x)＝x－|x＋a|为偶函数，则实数a＝______. （特殊值法） 解析：由题意知，函数f(x)＝x－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0. 答案：0

2x＋x， x≤0，

5.已知函数f(x)＝2为奇函数，则a＋b＝________.（待定系数法）

ax＋bx， x>0

22

解析：当x>0时，－x<0， 由题意得f(－x)＝－f(x)， 所以x2－x＝－ax2－bx， 从而a＝－1，b＝1，a＋b＝0. 答案：0

6.（1）（2）

答案：（1）

，为何值时，为奇函数； 为偶函数。

为何值时，

（恒等定理）

∴ （2）∴ ∴ ∴

时，

奇函数

（恒等定理）

2xbf(x)x12a是奇函数。 7.已知定义域为R的函数

（Ⅰ）求a,b的值；（特殊值法）

22f(t2t)f(2tk)0恒成立，求k的取值范围； tR（Ⅱ）若对任意的，不等式

解析： （Ⅰ）简 解：取特殊值法 因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，

*精*

b112x0b1f(x)a2a2x1 即

11122a2.a1又由f（1）= - f（1）知a4

-

12x11f(x)22x122x1，易知f(x)在(,)上 （Ⅱ）由（Ⅰ）知

为减函数

22f(t2t)f(2tk)0 f(x)又因是奇函数，从而不等式：

222f(t2t)f(2tk)f(k2t)， 等价于

因f(x)为减函数，由上式推得：

t22tk2t2．

1412k0k.23t2tk0tR3即对一切有：，从而判别式

类型四：范围问题

1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2,1)

B．(－1,2)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：选C ∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.

12.定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f 2＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________．

1解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f 2＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上1

－＝0， 递增，且f 211

∴f(x)>0时，x>或－22即满足f(x)>0的x的集合为

11

x－.

22

11－ 答案：x22

*精*

3.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝

x3，x≤0，若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( ) gx，x>0，

A．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(1,2)

解析：选D 设x>0，则－x<0. ∵x<0时，g(x)＝－ln(1－x)， ∴g(－x)＝－ln(1＋x)． 又∵g(x)是奇函数， ∴g(x)＝ln(1＋x)(x>0)，

B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－2,1)

x3，x≤0，

∴f(x)＝其图象如图所示．由图象知，函数f(x)在R上是增函数．

ln1＋x，x>0.

∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x，即－24.定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)＜－1的解集

是__________．

1

x02

∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，

log2x，x>0，

∴f(x)＝0，x＝0，

－log2(－x)，x<0.

x>0，

∴f(x)＜－1

logx<－12x＝0，x<0，

或或0<－1－log2(－x)<－1

0＜x＜2或x＜－2.

1

5.已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( )

9A. B．2 431C. D． 44

解析：选A.设x＞0，则－x＜0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.

311

所以在[1，3]上，当x＝时，f(x)max＝；当x＝3时，f(x)min＝－2.所以m≥且n≤－2.

244

9

故m－n≥.

4

6.已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，且当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，又已知函数g(x)＝x2

*精*

－2x＋m.如果对于任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，那么实数m的取值范围是____________．

解析 由题意知，当x∈[－2,2]时，f(x)的值域为[－3,3]．因为对任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，所以此时g(x2)的值域要包含[－3,3]．又因为g(x)max＝g(－2)，g(x)min＝g(1)，所以g(1)≤－3且g(－2)≥3，解得－5≤m≤－2.

类型五：奇偶性+周期性

1.f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－2，则f(log16)

2的值等于( )．

4711A．－ B．－ C. D．－ 3222解析：f(log16)

2

＝－f(－log16)＝－f(log26)

2＝－f(log26－2)

6－

＝－(2log262－2)＝－4－2

1

＝，故选C. 2

2.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且x∈[0,4]时，f(x)＝4－x，则f(2 011)的值为__________．

解析：f(4)＝0，

∴f(x＋8)＝f(x)，∴T＝8， ∴f(2 011)＝f(3)＝4－3＝1.

类型六：求值

1

log2的值为1.已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，则f3( )

23A．－2 B．－ C．2 D.2－1

3

解析：当x∈(－2,0)时，－x∈(0,2)，又∵当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，∴f(－x)＝2－x－1，又因为函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝2－x－1，∴x∈(－2,0)时，

1log211132f(x)＝1－.∵－2＜log2＜0，∴f(log2)＝1－＝－2.故选A.

2x33

答案：A

2.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝__________.解析：根据已知

1*精*

g(－2)＝f(－2)＋9，即3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6. 答案：6

3.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋ex(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为________．

由f(x)是奇函数得f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6)－e1

答案：ln 6－

6

x2sinx14.已知函数f(x)(xR)存在最大值M和最小值N, 则M＋N的值为

x21__________．

－ln 6

1

＝ln 6－.

6

12x3,x[t,t](t0)，若函数f(x)的最大值是M，最小值2是m，则Mm________.

分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对f(x)求导.事实上，理科学生，求导得

5.设函数f(x)xln(ex1)xexf'(x)ln(e1)xx，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因

e11此，须从考察函数f(x)的性质下手，事实上，令g(x)xln(ex1)x2，易求得

2g(x)g(x)，所以g(x)是奇函数，所以g(x)的最大值与最小值之和是0，从而f(x)的最大值与最小值之和是6.

x 答案是：6.

2aacosx3sinx （a、b∈R）有最大值和最小值，且

2cosx最大值与最小值的和为6，则a

6.已知定义域为R的函数f(x)A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】

试题分析：由已知f(x)a3sinx3sinx，注意到g(x)是奇函数，

2cosx2cosxg(x)maxg(x)min0，所以f(x)maxf(x)minag(x)maxag(x)min2a6，

所以a3.