圆锥曲线离心率专题训练
1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．
[
2．二次曲线 A．
B．
时，该曲线离心率e的范围是（ ）
C．
D．
，1）
B．
[
，1）
C．
（0，
]
D．
（0，
]
3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（ ） A． B． C． D．
[，1） （，1） [，） （0，） 4．双曲线 A． （﹣∞，0）
的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（ ）
B． （﹣3，0）
C． （﹣12，0）
D． （﹣60，﹣12）
5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（ ） A． B． C． D．
7．已知椭圆x+my=1的离心率 A．
8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
（0，）
B．
C．
2
2
，则实数m的取值范围是（ ）
D．
B．
（，） C．
（，） D．
（，1）
Word 文档
9．椭圆是（ ） A．
的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b，4b]，则该椭圆的离心率e的取值范围
2
2
B．
C．
D．
10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为 （ ）
A． [2，+∞）
11．已知双曲线
的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线
B． （
，+∞）
C．
[
，+∞）
D． （
，+∞）
的距离之和为S，且S A．
12．已知F1，F2是椭圆
，则离心率e的取值范围是（ ） B．
C．
D．
的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆
离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C．
D．
13．已知方程x+2ax+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（ ） A．
14．已知椭圆 A．
15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且心率的取值范围是（ ） A． B．
32
B．
C．
D．
上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
B．
C．
D．
，则双曲线的离
C． （1，2） D．
2
16．已知双曲线
﹣
=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双
曲线离心率的取值范围是（ ） A． B．
（1，] （1，） 17．椭圆
+
C．
（2，]
D． （，2]
=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，
]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A．
[
18．已知椭圆
的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使
，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
（0，
19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆
的上顶点B和左焦点F，且被圆x+y=4截得
2
2
，1]
B．
[
，]
C．
[
，1）
D．
[
，]
）
B．
（
）
C．
（0，
）
D．
（
，1）
的弦长为L，若 A． 20．双曲线
，则椭圆离心率e的取值范围是（ ）
B．
C．
D．
的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的
距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和 A．
B．
．则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
C．
D．
21．点A是抛物线C1：y=2px（p＞0）与双曲线C2：
2
（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A
到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（ ） A．
B．
C．
D．
22．在椭圆
心率的范围是（ ）
上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离
3
A．
2
B．
C．
D．
23．椭圆（ ） A．
（0， 24．椭圆 A． （0，1）
+y=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是
]
B．
[
，1）
C．
（0，] D．
[，1）
（a＞b＞0）上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
B．
（0，
C．
D．
25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P
为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C．
D．
26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，
其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C．
D．
27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若
A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D． （1，2） （1，1+） （1，） （﹣1，1+）
28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若
，则双曲线离心率e的取值范围为（ ）
．又以
A．
29．已知椭圆
B．
C．
D．
（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且
，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
30．已知P为椭圆
（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P
有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B．
（0，） （，1）
C． （1，） D． （，+∞）
5
参考答案与试题解析
1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．
[，1）
B．
[
，1）
C．
（0，
]
D．
（0，
]
解：如图所示，
下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点． 设椭圆上任意一点P（x0，y0），则
，可得
．
∴|OP|2
=
=+=≥b2
，当且仅当x0=0时取等号．
∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点． 若椭圆上存在点P，使得PF2
1⊥PF2，则c≥b，∴c≥b2
=a2
﹣c2
，化为，解得．
又e＜1，∴．
故选B．
2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（ ）
A． B．
C．
D．
解：∵m∈[﹣2，﹣1]，
∴该曲线为双曲线，a=2，b2
=﹣m，
∴c=
离心率e==
∵m∈[﹣2，﹣1]， ∴∈[
，]，
∴e∈
故选C
6
3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（ ） A． [，1） B． （，1） C． [，） D．
（0，）
解：可设椭圆的标准方程为：
（a＞b＞0）．
设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上． 该圆为：
，化为x2
﹣ax+y2
=0．
联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2
=0，
则，解得，
∵0＜x＜a，∴，
化为c2＞b2=a2﹣c2
， ∴，又1＞e＞0．
解得
．
∴该椭圆的离心率e的范围是．
故选：C．
4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，0） B． （﹣3，0）
C． （﹣12，0）
D． （﹣60，﹣12）
解：∵双曲线
的离心率e∈（1，2），
∴双曲线标准方程为：﹣=1∴k＜0，
∴1＜e2
＜4，1＜
＜4，﹣12＜k＜0，
故答案选 C
5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ A．
B．
C．
D．
） 7
解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1）， 则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．
在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，
解得x1=
2
．
∵x1∈（0，a]，∴0≤
2
2
＜a，即4c﹣3a≥0．且e＜1
2222
∴e=≥．
．
故椭圆离心率的取范围是 e∈
故选A．
6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（ ） A． B． C． D．
解：不防设椭圆方程：
（a＞b＞0），
再不妨设：B（0，b），三角形重心G（c，0）， 延长BG至D，使|GD|=设D（x，y），则由解得：而D
，得：，
．
是椭圆的内接三角形一边AC的中点，
，
，
，
，
所以，D点必在椭圆内部， 则
．
把b=a﹣c代入上式整理得：
222
．
即．
又因为椭圆离心率e∈（0，1）， 所以，该椭圆离心率e的取值范围是
．
8
故选B．
7．已知椭圆x+my=1的离心率 A．
B．
C．
2
2
，则实数m的取值范围是（ ）
D．
解：椭圆x+my=1化为标准方程为
22
①若1＞，即m＞1，∴∴∴②若∴∴∴
，即0＜m＜1，
，
，
，
，
，
，
∴实数m的取值范围是故选C．
8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A．
（0，）
解：设椭圆的方程为
+
=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为
﹣
=1（m＞0，n＞0），
B．
（，） C．
（，） D．
（，1）
|F1F2|=2c，
∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形， ∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF2|=|F1F2|=2c， ∴|PF1|=2a﹣2c；①
9
同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c；② 由①②可得a=m+2c． ∵e2=∈（1，2）， ∴
＜
=＜1，
，
=+2∈（，3），
又e1==∴∴
=
＜e1＜．
故选C．
9．椭圆是（ ）
A．
的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b，4b]，则该椭圆的离心率e的取值范围
2
2
B．
C．
）
D．
解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab， 由已知得：3b≤2ab≤4b，∴3b≤2a≤4b， 平方得：9b≤4a≤16b， 9（a﹣c）≤4a≤16（a﹣c）， 5a≤9c且12a≥16c， ∴即e∈
≤≤
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
故选B．
10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为 （ ）
A． [2，+∞）
B． （
，+∞）
C．
[
，+∞）
D． （
，+∞）
解：BD==，
10
∴a1=∴e1=但e1+e2
，c1=1，a2=，e2=
，c2=x， ，e1e2=1
中不能取“=”，
∴e1+e2=
+=+，
令t=∴e1+e2∈（
﹣1∈（0，，+∞）
﹣1），则e1+e2=（t+），t∈（0，﹣1），
∴e1+e2的取值范围为（故选B．
11．已知双曲线
，+∞）．
的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线
的距离之和为S，且S A．
，则离心率e的取值范围是（ ） B．
C．
D．
解：直线l的方程为 ，即bx﹣ay﹣ab=0．
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离 d1=，
同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．d2=，s=d1+d2==．
由S，即
4
2
得•a≥2c．
2
于是得4e﹣25e+25≤0． 解不等式，得 由于e＞1＞0， 所以e的取值范围是 e∈故选A．
12．已知F1，F2是椭圆
离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆．
．
C．
D．
解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，
11
当且仅当P点位于短轴端点P0处时， 张角∠F1PF2达到最大值．由此可得： ∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，
∴△P0F1F2中，∠F1P0F2≥60°，可得Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥30°， 所以P0O≤
2
2
2
OF2，即b
2
2
c，其中c=
∴a﹣c≤3c，可得a≤4c，即∵椭圆离心率e=，且a＞c＞0 ∴故选C
≥
13．已知方程x+2ax+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（ ） A．
3
3
2
B．
2
C．
D．
解：设f（x）=x+2ax+3bx+c，由抛物线的离心率为1，可知f（1）=1+2a+3b+c=0，故c=﹣1﹣2a﹣3b， 所以f（x）=（x﹣1）[x+（2a+1）x+（2a+3b+1）]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率， 故g（x）=x+（2a+1）x+（2a+3b+1），有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点， 故有g（0）＞0，g（1）＜0，即2a+3b+1＞0且4a+3b+3＜0， 则a，b满足的可行域如图所示， 由于而
，则P（﹣1，）
表示（a，b）到（0，0）的距离，
2
2
且（0，0）到P（﹣1，）的距离为d=可确定
的取值范围是（，+∞）．
12
故答案为：A．
14．已知椭圆 A．
上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
B．
C．
D．
解：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点， 则
，化为
．
∴|PA|=x+（y﹣b）=
2
2
2
==f（y），
∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），
由二次函数的单调性可知：f（y）在（﹣b，b）单调递减， ∴
2
2
2
，
2
2
2
化为c≤b=a﹣c，即2c≤a， ∴
．
又e＞0．
∴离心率的取值范围是故选：C．
15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且心率的取值范围是（ ） A． B． C． （1，2）
解：∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x
则tanα= ∵
∴1＜tanα＜
．
，则双曲线的离
D．
， ，即1＜＜
13
∴1＜
=
＜3求得
＜＜2
故选B．
16．已知双曲线
﹣
=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双
曲线离心率的取值范围是（ ） A． B．
（1，] （1，）
解：根据内角平分线的性质可得
C．
（2，]
D． （，2]
=，再由双曲线的定义可得
5PF2﹣PF2=2a，PF2=，由于 PF2=≥c﹣a，∴再由双曲线的离心率大于1可得，1＜e≤， 故选 A．
17．椭圆
+
≥c，≤．
=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，
]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A．
[
，1]
B．
[
，
]
C．
[
，1）
D．
[
，
]
解：∵B和A关于原点对称 ∴B也在椭圆上 设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα …② |BF|=2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a ∴
=
=
即e=
∵a∈[∴∴∴
，]， ）≤1
≤α+π/4≤≤sin（α+≤e≤
故选B
14
18．已知椭圆
的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使
，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
（0，
解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：即：aPF1=cPF2
设点P（x0，y0）由焦点半径公式，
得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0） 解得：x0=
=
＞﹣a，
﹣1或e＞
﹣1，又e∈（0，1），
，
）
B．
（
）
C．
（0，
）
D．
（
，1）
由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则整理得e+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣故椭圆的离心率：e∈（故选D．
﹣1，1），
2
19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x+y=4截得
22
的弦长为L，若 A．
2
2
，则椭圆离心率e的取值范围是（ ）
B．
C．
D．
解：圆x+y=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=
∵直线l：y=kx+2被圆x+y=4截得的弦长为L，
2
2
∴由垂径定理，得2即∴
≤
，解之得d≤
，解之得k
2
2
，
∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F， ∴b=2且c=
=﹣，即a=4+
2
15
因此，椭圆的离心率e满足e=
2
==
∵k
2
，∴0＜
≤，可得e∈（0，
2
]
故选：B
20．双曲线
的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的
距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和 A．
B．
．则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
C．
D．
解：直线l的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离 ，
同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离.，．
由于是得 5
，得
2
4
．．
≥2e，即4e﹣25e+25≤0．
2
2
解不等式，得 ≤e≤5． 由于e＞1＞0， 所以e的取值范围是 故选D．
21．点A是抛物线C1：y=2px（p＞0）与双曲线C2：
2
．
（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到
抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（ ） A．
B．
C．
D．
解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，
联立⇒；
16
故A（
，
）．
∵点A到抛物线C1的准线的距离为p， ∴
+
=p；
∴=．
∴双曲线C2的离心率e==故选：C．
22．在椭圆
心率的范围是（ ）
A．
=．
上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离
B．
C．
D．
解：由椭圆定义可知：|MF1|+|MF2|=2a， 所以
在△MF1F2中，由余弦定理可知又
2
…①，
…②
，…③，
2
2
由①②③可得：4c=4a﹣4b﹣2|MF1|•|MF2|cosθ． 所以|MF1|•|MF2|cosθ=0．
所以c≥b，即c≥b=a﹣c，2c≥a，所以e∈故选B．
23．椭圆 A．
（0，
解：∵椭圆方程为：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，
．
+y=1上存在一点P对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=
B．
[
2
2
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
D．
[，1）
] ，1）
C．
（0，]
+y=0，
∴b=1，可得c=a﹣1，c=
17
∴椭圆的离心率为e=
，
又∵椭圆上一点P，使得角∠F1PF2=
∴设点P的坐标为（x0，y0），结合F1（﹣c，0），F2（c，0）， 可得∴
=（﹣c﹣x0，﹣y0），
=
+
2
=（c﹣x0，﹣y0）， =0…①
∵P（x0，y0）在椭圆
+y=1上，
∴=1﹣，代入①可得+1﹣=0
将c=a﹣1代入，得∵﹣a≤x0≤a ∴
，即
22
﹣a﹣
2
+2=0，所以=，
，解之得1＜a≤2
2
∴椭圆的离心率e==∈[，1）．
24．如果椭圆围是（ ）
A． （0，1）
（a＞b＞0）上存在点P，使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范
B．
（0，
C．
2
2
2
D．
解：设P（x，y），∵P到原点的距离等于该椭圆的焦距，∴x+y=4c① ∵P在椭圆
上，∴
②
联立①②得，∵0≤x≤a
22
∴
18
∴∴∴e∈故选C
25．椭圆
的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P
为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C．
D．
解：①当点P与短轴的顶点重合时， △F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形， 此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P； ②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时， 以F2P作为等腰三角形的底边为例， ∵F1F2=F1P，
∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上
因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时， 存在2个满足条件的等腰△F1F2P， 此时a﹣c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e
当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠ 同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e
且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P
这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形 综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）
19
26．设A1、A2为椭圆
的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得
，
其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A． B． C．
解：A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y），则∵
D．
=（﹣x，﹣y），
2
2
=（a﹣x，﹣y），
，∴（a﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=0，y=ax﹣x＞0，∴0＜x＜a．
代入=1，整理得（b﹣a）x+ax﹣ab=0 在（0，a ）上有解，
222322
令f（x）=（b﹣a）x+ax﹣ab=0，∵f（0）=﹣ab＜0，f（a）=0，如图： △=（a）﹣4×（b﹣a）×（﹣ab）=a（ a﹣4ab+4b ）=a（a﹣2c）≥0， ∴对称轴满足 0＜﹣
＜a，即 0＜
＜a，∴
＜1，
3
2
2
2
22
2
4
22
4
2
2
2
2
22232222
＞，又 0＜＜1，∴＜＜1，故选 D．
27．已知点F1、F2分别是双曲线
=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若
A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． （1，1+） B． （1，） C． D． （1，2） （﹣1，1+） ：解：根据双曲线的对称性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AF1E中，∠AEF＜45°，得|AF1|＜|EF1| ∵|AF1|=
=，|EF1|=a+c
20
∴
＜a+c，即2a+ac﹣c＞0
2
2
2
2
两边都除以a，得e﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2 ∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2） 故选D．
28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若
，则双曲线离心率e的取值范围为（ ）
．又以
A．
B． C． D．
解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴． 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称， 设c为双曲线的半焦距（c=2）， 依题意，记 h是梯形的高， 由定比分点坐标公式得
．
，
，
设双曲线的方程为 ，则离心率 ，
由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和 代入双曲线的方程，得 ，①
．②
21
由①式得
，③
将③式代入②式，整理得 故 由题设 解得
得，，
]． ，
，
所以，双曲线的离心率的取值范围为[故选A．
29．已知椭圆
（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且
，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A．
解：把x=c代入椭圆的方程可得
，解得
．
B．
C．
D．
取A，则B，
∵∠OBF=∠AOF﹣∠OFB，，=
∴tanα=tan∠OBF=====
，
∵∴
，∴
．
，
解得
．
22
故选A．
30．已知P为椭圆
（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P
有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B．
（0，） （，1）
C． （1，） D． （，+∞）
解：①当PF1⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形；同理当PF2⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形．
∵使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个， ∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴c＜b， ∴c＜b=a﹣c，∴
2
2
2
2
，又e＞0，解得．
故选A．
23
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