人教版
八年级数学
试题
学科：数学
教学内容：平行四边形的特征
学习目标
1．掌握平行四边形的定义及平行四边形的特征．
2．能够灵活运用平行四边形的特征进行有关的计算．
3．了解解决平行四边形问题的基本思想、是转化为三角形来处理． 4．掌握平行线的性质即平行线之间的距离相等． 学法指导
在理解的基础上识记平行四边形的概念及其性质，并根据相应的条件选用相应的性质利用平行四边形是中心对称图形来解决一些实际问题更容易． 基础知识讲解
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用符合“□”表示，四个顶点分别为A.B.C.D.则这个平行四边形记作□ABCD．
2．平行四边形的特征
（1）平行四边形的两组对边分别平行． （2）平行四边形的对边相等，对角相等． （3）平行四边形的对角线互相平分． （4）平行四边形是中心对称图形． 注意：特征（2）（3）利用平行四边形是中心对称图形的性质可推出． 3．平行线的性质
平行线的距离为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离．
由平行线距离的定义可知，每作两条距离与两平行线组成—个平行四边形，为此有无数个平行四边形，根据平行四边形的特征可得，平行线之间的距离处处相等. 重点难点
重点：平行四边形的定义和特征
难点：1．运用中心对称图形的特征来理解平行四边形的特征． 2．作适当的辅助线把平行四边形分解成三角形来解决一些问题． 3．平行线之间的距离处处相等，实质是平行四边形对边相等． 易错误区分析
1．利用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形易犯如下错误． 例如：已知如图12-1-1所示，在□ABCD中，AE＝CF.
求证：四边形EBFD是平行四边形 错证：∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AB＝DC，AD＝BC ∴在△ABE和△CDF中
AB＝DC ∠A＝∠C AE＝CF
∴△ABE≌△CDF（SAS） ∴BE＝DF ∴四边形EBFD为平行四边形
分析：BE＝DF不能得出四边形EBFD是平行四边形，而由BE∥DF，再由已知□ABCD才能得出．
正确证：连结BD
∵四边形ABCD为平行四边形
∴ADBC 又∴AE＝CF ∴ED＝BF ∴∠1＝∠2 ∴△BED≌△BFD ∴∠3=∠4 ∴BE∥DF
又∵ED∥BF ∴四边形BEDF为平行四边形
2．运用平行四边形的性质和平行线距离处处相等，易犯下面的错误． 例如：求证平行四边形对角线上的交点到一组对边的距离相等．
已知：如图12-1-2，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB OF⊥CD，垂足分别为E，F.
求证：OE＝OF
错证：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OA＝OC AB∥CD
∴∠3=∠4 ∵∠2=∠1 ∴△OAE≌△OCF ∴OE＝0F
分析：错在用∠1＝∠2，即把∠1与∠2当成对顶角了，因为OE，OF是从O点分别向AB、CD作两条垂线，而OE与OF是否是同一条直线还需证明，故不能直接利用∠1=∠2
正确证明：∵四边形ABCD为平形四边形 ∴OA=OC AB∥CD
∴∠3=∠4 ∵OE⊥AB OF⊥CD
∴∠AE0＝∠CF0＝90° ∴△OAE≌△OCF ∴OE＝OF 典型例题
例1．已知如图12-1-4所示，□ABCD中，AB的延长线上取一点E，使BE＝AB，在CE上取一点M使CM＝CD，连结DM并延长交AE的延长线于点F.
求证BD＝BF
分析：由于BD，BF是△BDF的两边，所以要证BD＝BF，可由证△BDF中∠BDF＝∠F入手，易知∠F＝∠CDM=∠CMD＝∠EMF，故只要证BD∥CE，由此由证法一又注意到BF＝BE+EF，易知BE＝AB＝CD＝CM，EF＝EM，故BF＝CE，从而只要证BD＝CE，由此有证法二． 证法（一）：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴ABCD 又∵E点在AB延长线上，且BE＝AB ∴ABCD
∴四边形BECD是平行四形 ∴BD∥CE ∴∠BDF＝∠EMF ∵∠EMF＝∠CMD ∴∠BDF＝∠CMD
又∵CM＝CD ∴∠CMD=∠CDM ∴∠BDF＝∠CDM ∵AF∥CD ∴∠CDM＝∠F ∴BDF＝∠F 即BD＝BF 证法（二）：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴ABCD 又∵E点在AB延长线上且BE＝AB ∴BECD ∴四边形BECD是平行四边形 ∴BD＝CE，BE＝CD 又∵∠EMF=∠CMD，CD＝CM ∴∠CMD=∠CDM
∴∠EMF=∠CDM ∵BE∥CD ∴∠F＝∠EMF ∴EF＝EM ∴BF＝BE+EF＝CD+EM=CM+EM＝CE＝BD 即BF＝BD
例2．如图12-1-5所示：L1∥L2、AB∥CD、CE⊥L2、FG⊥L2、E、G分别为垂足，则下列说法中错误的是（ ）
A．AB＝CD B．CE＝FG
C．A，B两点的距离就是线段AB的长 D．L1与L2间的距离就是线段CD的长 分析：根据平行线之间的距离处处相等，推出夹在两平行线之间的平行线段也相等．（由图象的平移也可得到）
答：选D． 例3．如图12-1-6所示：已知六边形ABCDEF的6个内角均为120°，CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF=5cm，试求此六边形的周长．
分析：分别求出六条边的长度，再求六边形的周长显然不可能，从图中可以发现AF分别绕A点，F点旋转60°后分别与BA，EF在同一直线上．同理DC分别绕D，C旋转60°后，分别与ED,BC在同一直线上，如图所示，得到一个平行四边形EMBN，△MFA与△DCN都为等边三角形，所以六边形的周长应等于平行四边形的周长减去AF+DC．
解：由已知可得∠M＝∠N＝60°，又∠B＝∠E＝120° 所以EN∥MB，EM∥NB，所以四边形MBNE为平行四边形 又因为△AMF，△CDN为等边三角形
所以MA=AF＝MF＝5cm，CD＝CN＝DN＝2cm MB＝EN＝8+5＝13cm，ME＝BN＝8+2＝10cm 故ED＝13-2＝11cm，EF＝ME-MF＝10-5＝5cm 得六边形的周长为8+8+2+11+5+5＝39cm
例4．把边长为3cm，5cm和7cm的两个三角形拼成一个四边形，一共能拼成几种不同的四边形？其中有几种是平形四边形？
分析：由于要拼成四边形，故两个三角形一定有两条边重合在一起，这条重合的边即为四边形的对角线．因此找出问题的突破口，分三种情况讨论不难得出正确的答案．
（1）以3cm长的边为对角线，有两种拼法，得到两个四边形中有一个是平行四边形． 如图所示：
（2）以7cm长的边为对角线，也有两种拼法，得到两个四边形，其中有一个平行四边形．如图所示：
（3）以5cm长的边为对角线，也有两种拼法，得到两个四边形，其中也有一个是平行四边形，如图所示：
答：总共拼成6种不同的四边形，其中有3种是平行四边形． 创新思维
例1．一块平行四边形菜地，若它的面积是144，测得相邻两边上的高分别为8和9，请你用平行四边行形的特征和有关的知识计算出它的周长．
分析：如图12-1-7所示：要求周长必须求出BC，CD的长．从面积入手得．BC·AE＝144 CD·AF＝144 因而可求出周长．
解：因为BC·AE＝144，AE＝8，所以BC＝18 因为DC·AF＝144，AF＝9，所以DC＝16
所以平行四边形菜地的周长=2（BC+DC）＝2（18+16）＝68 例2．如图12-1-8，△ABC中AB＝AC，点P在BC上任一点，PE∥AC，PF∥AB分别交AB，AC于E、F，试问线段PE，PF，AB之间有什么关系？试证明你的结论．
分析：对于由给定条件寻求结论的这类探索性问题，其解题思路一般是从给的条件出发探索、归纳、猜想出结论，然后对猜想的结论进行证明．
答：由线段PE，PF，AB之线段长度，不难得出三线段之间的关系为PE+PF＝AB 证明：∵PE∥AC ∴∠EPB＝∠C 又∵AB＝AC ∴∠B＝∠C ∴∠EPB＝∠B ∴PE＝EB①
∵PE∥AC PF∥AB ∴四边形AEPF是平行四边形 ∴PF＝AE② 由①+②得PE+PF＝EB+AE，即PE+PF＝AB
例3．如右图：田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘养鱼，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形，请问田村能否实现这一设想，若能，请你画出图形，若不能，请说明理由．（画图要留下痕迹，不写作法）
分析：由平行四边形的特征可知，四棵树应在平行四边形的边上，面积要扩大一倍，则把△BOA、△BOC、△COD、△AOD的面积扩一倍即可，分别过点B，点D作AC的平行线；过点A，点C分别BD的平行线，不难证明四边形A′B′C′D′就是符合条件的平行四边形的池塘．
答：能，画法如图．
中考练兵
1．已知如图12-1-9，平行四边形ABCD中E，F分别是BC，AD边上的点，且BE＝DF，AC与EF交于点O．
求证：OE=OF
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ADBC ∴∠1＝∠2
∵BE＝DF ∴BC-BE＝AD-DF即EC＝AF
在△AOF和△COE中
∴△AOF≌△COE（AAS） ∴OF＝OE
2．如图12-1-10，□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则AB长的取什范围是（ ）
A．1＜AB＜7 B．2＜AB＜4 C．6＜AB＜8 D．3＜AB＜4
解：由平行四边形的性质对角线互相平分得OA=4 OB＝3，由三角形三边关系得 OA-OB＜AB＜OA+OB即1＜AB＜7 答：故选A
3．如图12-1-12，将□ABCD沿AC折叠点B落在B′处，AB′交DC于点M，求证：折叠后重合的部分（即△MAC）是等腰三角形．
证明：∵△BAC≌B′AC ∴AB′＝AB，B′C=BC 又∵AD=BC CD=AB ∴AD＝B′C CD＝AB′
∴△ADC≌△CB′A(SSS) ∴∠ACD=∠CAB′
∴MA=MC 即△MAC是等腰三角形
4．如图12-1-13，E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF，求证：△ABF≌△CDE
证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD，∠CAB=∠DCA
∵AE二CF ∴AE+EF=CF+EF即AF=CE
∴△ABF≌△CDE
随堂演练 一、判断题
1．平行四边形的对边分别相等（ ） 2．平行四边形的对角线相等（ ） 3．平行四边形的邻角互补（ ） 4．平行四边形的对角相等（ ）
5．平行四边形的对角线互相平分一组对角（ ）
6．对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（ ） 二、选择题
1．已知□ABCD中：AB=4cm，BC=7cm，则周长为（ ）
A．11cm B．22cm C．28cm D．44cm 2．在□ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120° 3．在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ） A．1：2：3：4 B．3：4：4：3 C．3：3：4：4 D．3：4：3：4 4．平行四边形两条对角线分成全等的三角形（ ） A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
5．如图12-1-14中，□ABCD的内角∠BAD的平分线AE交BC于E，且AE＝BE，则∠BCD的度数是（ ）
A．60° B．30°
C．120° D．60°或120°
6．如图12-1-15，以A、B、C三点为其中的三个顶点作形状不同的平行四边形一共可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、填空题
1．□ABCD中AB：BC=4：3，周长为28cm，则AD= cm，CD＝ cm. 2．□ABCD中∠A+∠C=140°，则∠C= 度，∠B= 度.
3．□ABCD中周长为6Ocm，对角线相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，则AB= cm，BC＝ cm.
4．□ABCD中BD是对角线，且BC＝BD，∠CBD=70°，则∠ADC= 度． 四、解答题
1．已知平行四边形中相邻两边长度比是5：3，其中较小边的长是6cm，求这个平行四边形的周长．
2．如图12-1-16所示，在□ABCD中，AD＝2DC，M为BC边的中点，连结AM、DM，试问直线AM与DM有何位置关系？说明你的理由？
3．如图12-1-17，AD∥BC，AD＝8，BC＝13，AB＝6，CD＝5，∠B=53°．求∠D的度数．
五、证明题
1．已知：如图12-1-18，在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.
求证：（1）AE＝CF （2）AE∥CF
2．已知：如图12-1-19，四边形ABCD为平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点，且DE＝BF，求证AE＝CF
参考答案
一、判断题
1．√ 2．×点拨：对角线不一定相等，但互相平分 3．√ 4．√
5．×点拨：对角线不平分一组对角，只是自己互相平分 6．√ 二、选择题
1．B 点拨：周长=2（AB+BC）＝2×11＝22cm
2．C 点拨：由∠A与∠B互补，∠A比∠B大20°，可求出∠A，而∠A与∠C为对角，可得∠C的度数．
3．D 点拨：由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠B＝∠D，满足这关系的只有D． 4．B点拨：对角线与平行四边形的两条邻边构成2对三角形全等，两条对角线的一半与平行四边形的一边组成2对三角形全等．
5．C点拨：AE平分∠BAD，则∠BAE＝∠EAD，AE＝BE，则∠B＝∠BAE，因为AD∥BC，则∠AEB＝∠EAD，即∠B＝∠BEA＝∠BAE＝60°，所以∠BCD＝120°
6．C 点拨：将某一条边为对边，另外两条边为邻边，共有3种画法． 三、填空题
1．6；8 点拨：由AB+BC＝14cm，AB：BC＝4：3得AB＝8cm，BC＝6cm，因为AB＝CD，BC＝AD，即AD＝6cm，CD＝8cm
2．70°；110° 点拨：∠A=∠C所以∠C=70°，∠B＝180°-70°＝110°
3．19；11 点拨：△AOB为周长比△BOC的周长多8cm，即AB比BC多8cm，又因为
AB+BC=
60cm，就可求出AB和BC. 24．125 四、解答题
1．解：如图（1）所示
∵AB＝6cm，AD：AB＝5：3
∴AD=10cm ∴平行四边形的周长为32cm 2．答：互相垂直
点拨：由已知得AB＝BM，故∠BMA=△BAM
又AD∥BC，故∠BAM＝∠MAD，同样的道理∠CDM＝∠MDA
又AB∥CD，故∠BAD+∠CDA＝18O°，即2∠DAM+2∠ADM＝180° 即∠DAM+∠ADM＝90°，∠AMD＝90°，AM⊥DM
3．解：如图（2）所示，过A作AE∥DC交BC于E.
∵AD∥BC，AE∥DC
∴四边形AECD为平行四边形 ∴EC＝AD＝8 ∴BE＝BC-EC＝13-8＝5，EA＝CD＝5 ∴∠BAE＝∠B＝53°
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝106°∴∠D＝∠AEC=106° 五、证明题
1．证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴ABDC ∴∠ABE＝∠CDF 在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS） ∴AE＝CF ∴∠AEB＝∠CFD ∴∠AED＝∠BFC（等角的补角相等） ∴AE∥CF 2．证明：如图（3）所示
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AD＝BC ∴∠1＝∠2
∵BD是直线 ∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180° ∴∠3＝∠4
∴△ADE≌△CBF ∴AE＝CF
习题试解预习法
检验预习效果的最佳途径
数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。因此,预习数学的关键是先看书,进而尝试做题。学生经过自己的努力,初步理解和掌握了新的数学知识,还要通过做练习或解决简单的问题来检验自己预习的效果。
教材中每一小节后的思考练习题,是编者根据教学大纲的要求,对教材中要点和重点的概述,是对学生理解书本内容的具体评估。因此,我们可以利用这些题目来检查自己的预习效果。通过试解练习题,哪些知识点已知已会,哪些难懂不会,一下子就检验出来了。对试解出来的习题,通过听课以加深理解;对试解不出来的习题,课堂上应格外留心听讲,力求政克,为提高课堂学习质量打下坚实的基础。 如何应用习题试解预习法?同学们可以采用以下的步骤： 第一步:先阅读教材,然后合上书本,围绕课后几个思考题想一想:
这课讲了什么新问题,自己弄懂了没有?这些新知识与旧知识之间有什么联系,自己是否已经掌握?还有什么不懂的问题需要上课时听老师讲解?通过这样的回忆,初步检查自己的预习效果。
第二步:大致理解了教材的内容后,可以按照由易到难的顺序,对本节后面的练习题尝试作答。
第三步:遇到疑难的问题做不出就停下来想一想,分析一下原因,或重新再预习一遍,再尝试作答。实在做不出也不要紧,可以先做好记号,留待上课时去解决。要注意,尝试作答,不是钻牛角尖。试解习题的关键是要检验出自己在知识或技巧方面的欠缺,及时调整和改进预习的方法,以及发现的疑难之处,明确自己听课时的重点。是否全部解答出问题并不是最重要的,真正进行独立思考,发现问题才是关键。 数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。因此,预习数学的关键是先看书,进而尝试做题。学生经过自己的努力,初步理解和掌握了新的数学知识,还要通过做练习或解决简单的问题来检验自己预习的效果。 因科制宣法
抓住不同学科的特点预习
预习的一般方法,各门功课都可采用。但是,各门课程都有各自的特点和规律,因而预习方法也不尽相同。若是在预习前就根据各学科的特点选择方法,那么预习的效果也就会更好,这种预习方法就叫作因科制宜法。
预习数理化的方法
数学、物理、化学等课程的学科特点是:知识的连续性特别强。所以数理化课程虽然也可以做一般预习,但要集中时间做阶段预习、学期预习。这样,学习效率会更高一些。预习数理化课程时可按以下步骤进行:
1.首先阅读课文,理解定理、定律、公式等;
2.扫除绊脚石。数理化的知识连续性强,前面的概念不理解,后面的课程就无法学下去。预习的时候发现学过的概念有不明白的,一定要在课前弄清楚。
3.最后,试做练习。数理化课本上的练习题都是为巩固所学的知识而出的,用来检验自己预习的效果是再恰当不过的。
万能预习法：你一定能用到的四个预习步骤：对于预习,我们可以归纳出一个万能的方法。一般来说,不论同学们预习哪一门课,也不管你学习水平如何,通常都可以运用这种方法来预习。 第一步:准备阶段
相读要预习的内容,领会教材的大意。阅读过程中可以做一些标注,比如用红笔标出重点知识,用其他颜色的笔标出疑难问题 第二步:查缺补漏
针对自己理解不透彻或遗忘了的旧知识,及时查阅有关学习材料,进行必要的复习,为学习新课打好基础;对于查阅到的对理解教材有用的资料可以补充在教材的空白处,也可以另加一张专门用于加批注用的纸贴在书中对应的地方,方便以后学习时查看。 第三步:复查阶段
解决完学习障碍后,回过头来再看教材。如果里面还有不清楚的问题,可以记下来或标记为听课重点,等上课时听老师讲解或在适当的时机提问。
验收阶段：这时,请合上书本,把刚才看过的内容再梳理一遍:本章节讲了哪几问题?重点概念是什么?主要思路是什么?还有哪几个问题不清楚等。这样做可以加强你对预习内容的理解和记忆,并起到验收预习效果的作用。因此,最后这一环节必不可少。
在预习的过程中,看例题也可以分成四步:
1.分清解题成每步必问步骤,指出关键所在;2.弄清各步骤的依据为什么、步步有依据的习惯;3.比较同一节例题的特点,尽量去体会选例意图;4分析例题的解题思路,并按例题的解释思路做练习题。
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