2020年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．（3分）下列数中，是无理数的是（ ） A．﹣3
B．0
C．
D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a2+a3＝a5 C．（2ab）3＝6a3b3
B．a6÷a2＝a4 D．a2•a3＝a6
3．（3分）《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（ ） A．3.5×106
B．0.35×107
C．3.5×102
D．350×104
4．（3分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
5．（3分）如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（ ）
A．140°
B．50°
C．60°
D．40°
6．（3分）小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他
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需要关注该公司所有员工工资的（ ） A．众数
B．中位数
C．方差
D．平均数
7．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ）
A．3
B．
C．2
D．6
8．（3分）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A．k＝4
B．k＝﹣4
C．k＝±4
D．k＝±2
9．（3分）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝
（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x
的取值范围为（ ）
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A．x＜1
B．x＞3
C．0＜x＜1
D．1＜x＜3
二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．（3分）代数式
有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解：x3﹣x＝ ．
13．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为 分．
14．（3分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝ °．
15．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 （结果保留π）．
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16．（3分）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝
（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都
在x轴上，则An的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17．计算：
+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣
﹣
|． ）÷
，然后从﹣1，0，1中选
18．先化简，再求值：（择适当的数代入求值．
19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
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（1）本次被抽查的学生共有 名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 度； （2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：保留整数）
≈1.414，
≈1.732，结果
21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
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（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．
22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°． （1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，
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过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．
24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． （1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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2020年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．【解答】解：﹣3，0，是有理数，故选：D．
2．【解答】解：a2与a3不是同类项，不能合并，因此选项A计算错误，不符合题意；
a6÷a2＝a4，因此选项B计算正确，符合题意；
（2ab）3＝8a3b3≠6a3b3，因此选项C计算错误，不符合题意； a2•a3＝a5≠a6，因此选项D计算错误，不符合题意． 故选：B．
3．【解答】解：350万＝350×104＝3.5×102×104＝3.5×106． 故选：A．
4．【解答】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得：180（n﹣2）＝1080， 解得：n＝8． 故选：C．
5．【解答】解：∵∠α＝40°， ∴∠1＝∠α＝40°， ∵a∥b，
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是无理数．
∴∠β＝∠1＝40°． 故选：D．
6．【解答】解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全面的了解中间员工的工资水平， 故最应该关注的数据是中位数， 故选：B．
7．【解答】解：∵∠B＝90°， ∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC， ∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3， 故选：A．
8．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0， 解得：k＝±4． 故选：C．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD， ∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，
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∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8， 故选：C．
10．【解答】解：由图象可得，
当y1＞y2时，自变量x的取值范围为1＜x＜3， 故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．【解答】解：由题意得：x﹣1＞0， 解得：x＞1， 故答案为：x＞1．
12．【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）， 故答案为：x（x+1）（x﹣1）
13．【解答】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分） 故答案为：72．
14．【解答】证明：∵在△ADC和△ABC中
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠D＝∠B， ∵∠B＝130°， ∴∠D＝130°，
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故答案为：130．
15．【解答】解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是4÷2＝2，高是6，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高， 且底面周长为：2π×2＝4π， ∴这个圆柱的侧面积是4π×6＝24π． 故答案为：24π．
16．【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E， ∵△OA1B1为等边三角形， ∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C， ∴B1C＝
OC，
t），
，解得t＝1或t＝﹣1（舍
设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，把B1（t，去），
∴OA1＝2OC＝2， ∴A1（2，0），
设A1D的长度为m，同理得到B2D＝（2+m，
m），
m）代入y＝t）代入y＝
得t•
t＝
m，则B2的坐标表示为
把B2（2+m，﹣1或m＝﹣
得（2+m）×m＝，解得m＝
﹣1（舍去），
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∴A1D＝∴A2（
，A1A2＝，0）
，OA2＝，
设A2E的长度为n，同理，B3E为n）， 把B3（2∴A2E＝∴A3（
+n，
n）代入y＝
n，B3的坐标表示为（2+n，
得（2，OA3＝
+n）•n＝， ，
，A2A3＝，0），
，0）， ．
综上可得：An（故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17．【解答】解：原式＝＝＝
＝．
18．【解答】解：原式＝＝＝＝
．
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∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0， ∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2， 当x＝0时，分母不为0，代入： 原式＝
．
19．【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名）， 扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为
；
故答案为：50，72；
（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人）， 补全条形统计图如图所示：
（3）
名，
答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；
（4）列表如下：
A
A （A，A）
B （B，A）
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C （C，A）
D （D，A）
B C D
（A，B） （A，C） （A，D）
（B，B） （B，C） （B，D）
（C，B） （C，C） （C，D）
（D，B） （D，C） （D，D）
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率＝
．
20．【解答】解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵△BCD是等腰直角三角形， ∴CB＝CD，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x， 在Rt△ACD中， tan30°＝解得x＝10∴CD＝27，
答：CD的高度为27米．
21．【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形； ③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形； ④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； 故选：④；
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＝，
+10≈10×1.732+10＝27.32≈27，
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD， ∴AC∥DE， 又∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形， ∴AC＝DE， 又∵∠DBC＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形， ∴BD＝DE， ∴BD＝AC， 又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形； （3）如图，过点O作OE⊥BD，
∵四边形ABCD是垂等四边形， ∴AC＝BD，
又∵垂等四边形的面积是24， ∴AC•BD＝24， 解得，AC＝BD＝4又∵∠BCD＝60°，
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，
∴∠DOE＝60°，
设半径为r，根据垂径定理可得： 在△ODE中，OD＝r，DE＝∴r＝
＝
＝4，
，
∴⊙O的半径为4．
22．【解答】解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y＝﹣100x+10000； （2）由题意得：解得12≤x≤15， ∵x为正整数， ∴x＝12、13、14、15， 共有四种采购方案：
①甲型电脑12台，乙型电脑8台， ②甲型电脑13台，乙型电脑7台， ③甲型电脑14台，乙型电脑6台， ④甲型电脑15台，乙型电脑5台， ∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x取最小值时，y有最大值，
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，
即x＝12时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，
∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元．
23．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示， ∵CA＝CD，且∠D＝30°， ∴∠CAD＝∠D＝30°， ∵OA＝OC，
∴∠CAD＝∠ACO＝30°，
∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，
∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB， ∴△OCB为等边三角形， ∴∠CBG＝60°， 又∵CG⊥AD， ∴∠CGB＝90°，
∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°， 又∵∠GCD＝60°，
∴CB是∠GCD的角平分线， ∵BF⊥CD，BG⊥CG， ∴BF＝BG，
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又∵BC＝BC，
∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL）， ∴CF＝CG．
∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°， ∴∠EAD＝60°， 又∵∠CAD＝30°，
∴AC是∠EAG的角平分线， ∵CE⊥AE，CG⊥AB， ∴CE＝CG，
∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF， ∴△AEC∽△CFB， ∴
，即AE•BF＝CF•CE，
又CE＝CG，CF＝CG， ∴AE•BF＝CG2．
24．【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3， 故C点坐标为（0，﹣3）， 又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；
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（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：
令y＝x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x＝3或x＝﹣1， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 设直线BC的解析式为：y＝ax+b， 代入C（0，﹣3），B（3，0）得：解得
，
，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3， 则
＝
＝
，（其中xQ，xC，xB分别表示
Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3， 故当
时，S△BCN有最大值为
， ），
，其中0＜n＜3，
此时点N的坐标为（
（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3） 分情况讨论：
①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：
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线段DG的中点坐标为线段BC的中点坐标为
，即，即
，
，
此时DG的中点与BC的中点为同一个点， ∴
，解得
，
经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）； ②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知： 线段DB的中点坐标为线段GC的中点坐标为
，即，即
，
，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点， ∴
，解得
，
经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）； ③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知： 线段DC的中点坐标为线段GB的中点坐标为
，即，即
，
，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点， ∴
，解得
，
第20页（共22页）
经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，1）； 综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）； （4）连接AC，OP，如图2所示： 设MC的解析式为：y＝kx+m， 代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得解得
，
∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3， ∴E点坐标为（﹣3，0）， ∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE， ∴CE＝CB， ∴∠B＝∠E， 设P（x，﹣x﹣3）， 又∵P点在线段EC上， ∴﹣3＜x＜0， 则
，
，
由题意知：△PEO相似△ABC， 分情况讨论： ①△PEO∽△CBA， ∴∴解得
，
，
，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为
；
②△PEO∽△ABC，
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∴∴
，
，
解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）． 综上所述，P点的坐标为
或（﹣1，﹣2）．
第22页（共22页）
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