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2012专题八 解析几何导学案

时间:2024-05-19 来源:飒榕旅游知识分享网
山东省昌乐二中2011年高三数学二轮复习学案 班级:______ 姓名:____________ 组别:_____________ 等级:_________

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专题八 解析几何(一) 使用时间:

编制人: 审核人:_______ 审批人:_______

【答案】

x25y241

1)为圆

1.梳理平面解析几何有关知识,构建知识树、能力树; 22.限时30分钟,独立规范完成导学案,总结规律方法,找出存在问题,准备合作探究。 1121222心,为半径的圆的公共弦.由与(x1)(y)xy1相减得直线AB方程为:【课程核心】直线与圆,圆锥曲线,直线与圆锥曲线 224【学习目标】

221.熟练掌握直线、圆、圆锥曲线的定义、标准方程几及何性质,能灵活解决直线与圆、圆锥曲线等综合问 xy22xy20.令x0,解得y2,∴b2,又c1,∴a5,故所求椭圆方程为:1

题,提高推理运算能力。 542.自主学习、合作探究,学会用代数思想解决几何问题的方法。

二、合作探究: 3.激情投入,充分享受数学学习的快乐。

【例1】(2011福建)已知直线l:y=x+m,m∈R。

(I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上,求该圆的方程; 【导学案 】

(II)若直线l关于x轴对称的直线为l,问直线l与抛物线C:x2=4y是否相切?说明理由。 【知识框架】

(I)依题意,点P的坐标为(0,m) 0m 11, 因为MPl,所以

20

解得m=2,即点P的坐标为(0,2) 一、基础训练:

从而圆的半径 221.已知圆C:x1y225及直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR),则直线L与圆C的位置

22r|MP|(20)(02)22,

关系是 ( )

A. 相离 B. 相切 C .相交 D .不确定 22故所求圆的方程为(x2)y8.

【使用说明与学法指导】

【解析】作图可知一个切点为(1,0),所以椭圆c1.分析可知直线AB为圆x2y21与以(1,2.已知F1是椭圆

x2xa22yb221(ab0)的一个焦点,P是椭圆上一点,则以PF1为直径的圆与圆

(II)因为直线l的方程为yxm,所以直线l'的方程为yxm.

y'xm,22得x4x4m0,444m16(1m) 由2x4yy2a2 的位置关系是( )

A. 相交 B. 内含 C .外切 D. 内切 3.椭圆

x24y231的离心率为e,点(1,e)是圆xy4x4y40的一条弦的中点,则此弦所在直

22(1)当m1,即0时,直线l'与抛物线C相切

(2)当m1,那0时,直线l'与抛物线C不相切。

综上,当m=1时,直线l'与抛物线C相切;当m1时,直线l'与抛物线C不相切。

线的方程是 ( )

A. 3x2y40 B . 4x6y70 C. 3x-2y-2=0 D . 4x-6y-1=0

x24.已知P为椭圆

4y21和双曲线x2y221的一个交点,F1,F2为椭圆的两个焦点,那么F1PF2【例2】(AB层做)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,

的余弦值为________ 5.若椭圆

xa22并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.

12)作圆xy22yb22过点(1,1的焦点在x轴上,切点分别为A,B,直线AB1的切线,

(Ⅰ)当|CD|322时,求直线l的方程;

恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .

(Ⅱ)当点P异于为定值.

解:(Ⅰ)因椭圆的焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为

A、B两点时,求证:OPOQ

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y22a2xb21(ab0),

2由已知得b1,c1,所以a22,则椭圆方程为x2y21.

直线l垂直于x轴时与题意不符. 22y设直线l的方程为

ykx1,联立x21,得(k22)x22kx10,

ykx1,设C(x222k11,y1),D(x2,y2),则4k4(k2)8(k21),x1x2k22,x1x2k22,

2|CD|1k2(x222(k1)1x2)4x1x2k2.

22由已知得22(k1)23,解得k2,

k222所以直线l的方程为y2x1或y2x1. (Ⅱ)直线l垂直于x轴时与题意不符.

设直线l的方程为ykx1(k0且k1),所以P点的坐标为(1k,0).

设C(x2k1,y1),D(x2,y2),由(Ⅰ)知x1x2k22,x1x21k22,

直线AC的方程为:yy1x的方程为:yy211(x1),直线BDx(x1),

21方法一:

yy1x(x1),1y1(x21)联立方程1设Q(xyy12(x11)1(x21)0,y0),解得x01yy2(x11)1(x21)y2(x11)y1(x21),

yy2(xx11),2y2(x11)不妨设x(kx21)(x11)(kx11)(x21)1x2(x1x2)k(x2x1)1x2,则x0(kxk(x

21)(x11)(kx11)(x21)2kx1x2)(x1x2)22k222kk8(k1)22k2k2k24k2k2(k21)k22,

2k8(k21)22(k1)4k22k222因此Q点的坐标为k,y1(10),又P(,0),∴OPOQ(k)()01.

故kkOPOQ为定值.

方法二:

yy1(联立方程xx1),11消去y得

x1x11)x1y2(y1(x21),

yy2(xx1),21 因为1x1,x21,所以

x1x1与

y2y异号.

112222(x12y2(x11)22x2x12k1)(1x2)2k22k1x1)y2221)2(11(x21)22x(x11)1(x2(1xk21)(1x2)12k1(2k1)

k22k222又y21y2kx1x2k(xk)11x2)12(1k)(1k)k222(1k22kk1,

k1k1与y1k11y2异号,

x1x1与

k1k1同号,∴

xx1k1,解得xk.

因此Q点的坐标为(k,y),又P(1k,0),∴OPOQ(k)(10)01.

故kOPOQ为定值.

三、高考在线(A层做):

(2011湖南)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离等于1. (I)求动点P的轨迹C的方程;

(II)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交

于点D,E,求ADEB的最小值.

解析:(I)设动点P的坐标为(x,y),由题意为(x1)2y2|x|1.

化简得y22x2|x|,当x0时,y24x;当x0时,y=0.、 所以动点P的轨迹C的方程为,y24x(x0)和y=0(x0).

(II)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为yk(x1).

由yk(x1)y24x,得k2x2(2k24)xk20.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是

x1x224k2,x1x21.

因为ll112,所以l2的斜率为k.设D(x3,y3),B(x4,y4),则同理可得:

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2 x3x424k,x3x41ADEB(AFFD)(EFFB)AFEFAFFBFDEFFDFB|AF||FB||FD||EF|故(x11)(x21)(x31)(x41)1(22

4k2)11(24k)112)842k1622kk1k2284(k21当且仅当kADEB即k1时,取最小值16.

【感悟提升】

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专题七 解析几何(一) 使用时间:

编制人: 审核人:_______ 审批人:_______

为e1,e2,e3,则( ): A.e1e2e3 B.e1e2e3 C.e1e2e3 D.以上情况均有可能

7.已知b0,直线b2xy10与ax(b24)y20互相垂直,则ab的最小值为 。

8.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:yx1被圆C所截得的弦长为22,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 .

【使用说明与学法指导】

1.梳理平面解析几何有关知识,构建知识树、能力树;

2.限时30分钟,独立规范完成导学案,总结规律方法,找出存在问题,准备合作探究。 【课程核心】直线与圆,圆锥曲线,直线与圆锥曲线 【学习目标】

1.熟练掌握直线、圆、圆锥曲线的定义、标准方程几及何性质,能灵活解决直线与圆、圆锥曲线等综合问 题,提高推理运算能力。

2.自主学习、合作探究,学会用代数思想解决几何问题的方法。 3.激情投入,充分享受数学学习的快乐

【训练学案 】

1.抛物线y4x上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )

A.

171629.(AB层做)椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率e22,椭圆上的点到焦点的最短距

B.

215162 C.

78 D.0

离为1e,直线l与y轴交于P点(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且APPB. (1)求椭圆方程;

(2)若OAOB4OP,求m的取值范围。

2.已知直线x+y=a与圆xy4交于A、B两点,且OAOBOAOB(其中O为坐标原点),则实数a等于 ( )

A. 2 B. -2 C. 2或-2 D.

26或-6

3.已知点P是抛物线y2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和

172解:(1)设C:ya22xb221(ab0),设c0,c2ab,

22的最小值为( ) A. B.3

C.5

D.92

由条件知ac122,ca22,∴a1,bc22,

4.已知圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程为 ( )

A. x2y11 B. x2y11

2222故C的方程为:y2x2121

C. x2y11 D. x3y11

22225.设F1、F2分别为双曲线

xa22yb22(2)由APPB得,OPOA(OBOP),(1)OPOAOB,

1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足

∴14,3,设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2)

ykxm,222得(k2)x2kmx(m2)0 222xy1PF2F1F2,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )

A.3x4y0 B.3x5y0 C.4x3y0 D.5x4y0

xm226.设椭圆yn221,双曲线

xm22yn22(2km)4(k1,抛物线y2(mn)x(其中mn0)的离心率分别

2222)(m1)4(k222m1)0(*)

2

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2kmm12(Ⅱ)设直线l的方程是ykxm(k0),与y24x联立消去y得: x1x2k22,x1x2k22 , ∵AP3PB ∴x13x2

∴xx122x2 消去x2,得3(x21x2)4x1x20,

x1x23x22

2km224m2∴3(1422k22)k220, 整理得k2m22mk20

m21:m212

4时,上式不成立4时,k22m24m21,

因3,∴ k0 ∴k222m24m210, ∴1m11 2或2m1

容易验证k22m22成立,所以(*)成立

1

即所求m的取值范围为(1,2)(1 2,1)

10.(A层做) 已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P做PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且PMPF0,|PM||PN|. (Ⅰ)求点N的轨迹方程;

(Ⅱ)直线l与点N的轨迹交于A、B不同两点,若OAOB4,且46|AB|430求直线l

的斜率k的取值范围.

解:(Ⅰ)由于|PM||PN|,

则P为MN的中心,

设N(x,y),则M(-x,0),P(0,

y2),

yy

由PMPF0, 得(x,2)(1,2)0,

(x)1(y2 2)(y2)0,y4x,

所以点N的轨迹方程为y24x,

(kxm)24x整理得k2x2(2km4)xm20,

2设A(x(x2km4m1,y1),B2,y2),则:x1x2k2,x1x2k2,

ym)(kx221y2(kx12m)kx1x2km(x1x2)m, m2km(2km4)4mk2m2k, 由OAOB4得x1x2y1y24,

2mm即(m2k24k4, k2)0,

m2k,

由于直线与N的轨迹交于不同的两点,

则(2km4)24k2m20,即km1, 把m2k代入上式得2k21,

当kR且k0时直线l与N的轨迹恒有两个不同交点,

2|AB|(1k2)[(x2(1k2)[(2km4)2而1x2)4x1x2]k44mk2]

2(1k2)(1616kmkk4)(1k2)(1632k4)

42k2(1k)(2k21) 又因为46|AB|430,

1k2)(2k26(1)11k430,解得1k2或2k1,

综上可知k的取值范围是{k|1k1或122k1}

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二、填空题(每小题5分,共15分)

专题七 解析几何(一) 使用时间: 8.若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直,则实数m=_____________________1

【巩固检测】

45分钟完成80分

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.过点M(2,4)作直线L与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

2.若直线2axby20(a0,b0)被圆xy2x4y10截得的弦长为4,则

1214229. 若椭圆

xa22yb22过点(1,1的焦点在x轴上,

12)作圆xy22B,切点分别为A,直线AB1的切线,

恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .

1a1b【答案】

的最小

x25y241

12值为( ) A. B. C. 2 D. 4

0【解析】作图可知一个切点为(1,0),所以椭圆c1.分析可知直线AB为圆x2y21与以(1,心,

12)为圆

为半径的圆的公共弦.由(x1)(y212)214与x2y21相减得直线AB方程为:

2223.已知F1、F2为双曲线C:xy1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60,则 PF1PF2 =

( )B

A.2 B.4 C. 6 D. 8 4.已知双曲线

xa222xy20.令x0,解得y2,∴b2,又c1,∴a5,故所求椭圆方程为:

x222yb2251(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:xy6x50相切,且双曲线的右焦

y241

10. 已知抛物线y2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为_____________

22点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为 ( ) A.

x25y241 B.

x24y251 C.

x3y261 D.

x26y231

三、解答题(每小题15分,共30分)

11. (AB层做)已知过抛物线y2pxp0的焦点,斜率为22的直线交抛物线于

225.已知双曲线

xa22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y24x的

Ax1,y2,Bx2,y2(x1x2)两点,且AB9.

准线上,则双曲线的方程为( ) A.

x2(1)求该抛物线的方程;

x236y21081 B.

x29y2271 C.

108y2361 D.

x227y2(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OCOAOB,求的值.

19

解析:(1)直线AB的方程是

y22(xp2),与y2px联立,从而有24x5pxp0,22

6.设F1,F2是双曲线x积等于 ( )

2y2241的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3PF14PF2,则PF1F2的面

所以:x1x25p4,由抛物线定义得:ABx1x2p9,所以p=4,

A.42 B. 83 C.24 D. 48 2抛物线方程为:y8x 2

7.从抛物线y=4x 上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5.设抛物线的焦点为F.则△MPF

的面积为 ( ) 2224x5pxp0,x5x40,从而 (2)、由p=4,化简得 A.6 B.8 C .10 D .15

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x11,x24,y122,y242,从而A:(1,22),B(4,42)

G:x2设OC(x3,y3)(1,22)(4,42)=(14,2242),又y38x3,即22218

2212. (A层做)已知椭圆

4y12.过点(m,0)作圆xy1的切线I交椭圆G于A,B两点.

22(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率; (II)将

AB(41),即(21)241,解得0,或2

表示为m的函数,并求

AB的最大值.

解:(Ⅰ)由已知得a2,b1, 所以

cab223.

所以椭圆G的焦点坐标为(3,0),(3,0)

eca32.离心率为

(Ⅱ)由题意知,|m|1.

(1,32),(1,32),当m1时,切线l的方程x1,点A、B的坐标分别为此时|AB|3

3当m=-1时,同理可得|AB|

当|m|1时,设切线l的方程为yk(xm),

yk(xm),222222得(14k)x8kmx4km40x2y1.由4

设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2),则

8km14k222x1x2,x1x24km224214k

1,即mk22xy21相切,得|km|k2k21.又由l与圆所以

|AB|212

(x2x1)(y2y1)

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(1k)[264km242(14k)4(4km4)14k222

]

43|m|m32.

3,

,m(,1][1,)由于当m3时,|AB||AB|43|m|m343|m|m22所以

|AB|.

43|m|3|m|2,

3因为

且当m3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.

山东省昌乐二中2011年高三数学二轮复习学案 班级:______ 姓名:____________ 组别:_____________ 等级:_________

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x2y22如图,已知椭圆,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点 1(a>b>0)的离心率为

2a2b2

的三角形的周长为4(21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,

直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;

(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明k1·k21;

(Ⅲ)是否存在常数,使得ABCDAB·CD恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明

理由.

22 mx2(2010浙江理数)(21) (本题满分15分)已知m>1,直线l:xmy椭圆C:2y1,F1,F20,

2m

分别为椭圆C的左、右焦点.

(Ⅰ)当直线l过右焦点F2时,求直线l的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A,B两点,VAF1F2,VBF1F2的

重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数

m的取值范围.

解析:本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置

关系等基础知识,同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

22 mm22 (Ⅰ)解:因为直线l:xmy,得m22, 0经过F2(m1,0),所以m1 22

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又因为m1,所以m2, 故直线l的方程为x2y2220。

(Ⅱ)解:设A(x1,y1),B(x2,y2)。

2xm 由my22,消去x得

xm2y2122y2mym410

2 则由m28(m2241)m80,知m8,2且有y1y2m2,y1y2m812。

由于F1(c,0),F2(c,0),, 故O为F1F2的中点,

由AG2GO,BH2HO,

可知G(x1y13,3),h(x213,y3),

2x2y2GH(1x2)1y2)9(9

设M是GH的中点,则M(x1x2y1y26,6),

由题意可知2MOGH,

2即4[(x1x2)2(y1y2266)](x1x2)29(y1y2)9 即x1x2y1y20

而xm21x2y1y2(my12)(my2m22)y1y2

2 (m21)(m182)

2所以

m8120

即m24

又因为m1且0 所以1m2。

所以m的取值范围是(1,2)。

8. (B层拓展提升)已知点B(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点,且满足|PC||BC|PBCB.(1)求点P的轨迹C对应的方程;

(2)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD⊥AE,判断:直线DE是否过定点?试证明你的结论.

设,已知向量mR,在平面直角坐标系中a(mx,y1),向量b(x,y1),ab,动点M(x,y)的轨

迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

(2)已知m14,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且

OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

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_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ (II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA与 5L的距离等于?若存在,求直线L的方程;若不存在,说明理由。

5

(2011江西)19.(本小题满分12分)

6.已知抛物线y2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为

(A)x1 (B)x1 (C)x2 (D)x2

7. 已知抛物线C:y2px(p0)过点A (1 , -2)。 (I)求抛物线C 的方程,并求其准线方程;

22

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