中考数学专题之最值问题培优

专题——最值问题

在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有：

（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称的性质求最值；

（4）应用二次函数、区间上的一次函数求最值； （5）柯西不等式求最值；xy2xy

（6）圆中最值模型（最长弦、最短弦、点与圆上点的最值）； （7）应用其它知识求最值（空间化平面）。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；

例：1、已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是____________ ． 练习：1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ） A、21 B、5 C、

2、在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA3，OB4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标. y y C B C B

D D

E A x O A x O

D

y C B O A 221455 D、 52

3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=________ A、6 B、8 C、10 D、12

4、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ．

5、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是 BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为___________.

二、应用垂线段最短的性质求最值； 1、如图, 在矩形ABCD中, AB＝20cm, BC＝10cm, 若在AC、AB上各取一点M、N, 使BM＋MN

的值最小, 这个最小值为 E

A D Q A B P

M P N O

B C

2、已知梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=1，AB=3，BC=4，点P为线段AB上任意一点，延长PD到E，使得DE=2PD，以PE、PC为边作平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值为_____.

3、如图，已知点A是半圆上三等分点，点B为弧AN的中点，点P是半径ON上一动点，⊙O半径为1，且AP＋BP最小时，下列结论①∠OBP=45º；②AP＋BP=2；③PN=2-3； ④PB

62；其中正确的个数是（ ）A、1个 2B、2个 C、3个 D、4个

4、在锐角三角形ABC中，BC=42，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 . 三、柯西不等式求最值；xy2xy

例：如图所示，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y3x33，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．

22⑴求A、B、C三个点的坐标．

⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆

弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN． y ①求证：AN=BM．

D l ②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？

并求出该最大值或最小值.

C M E P A O

练习：在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B， (1)求证：MA=MB

(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。

P N B x

M A

Q O B

三、圆中最值：

例：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x，y轴正半轴上，以OB为直径的⊙C交AB于点D，DE切⊙C于点D，交x轴于点E，且OA＝123cm，∠OAB＝30°. （1）求直线AB的解析式；（2）求EA的长度；

（3）若线段EA在x轴上运动，△CEA的周长是否存在最小值？若存在，分别求出点E、Ay 的坐标；若不存在，请说明理由.

B

D

C O E A x

练习：1、如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为

A、1 B、3 C、323 D、 332、如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3，点P是边BC上一点，点Q是边AC

上一点（不与A、C重合，且BP=PQ，则BP的取值范围是_______

3、如图，⊙O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ） A、

2331 B、 C、 D、

2242P A M B

P

Q A C Q B C 4、（动点与函数）（最值）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为边AC上一个

点（可以包括点C但不包括点A），以P为圆心PA为半径作⊙P交AB于点D，过点D作⊙P的切线交边BC于点E. （1）求证：BE=DE；

（2）若PA=1，求BE的长；

（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段BE长度的取值范围为 . B B

E

D

C C A P

5、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，求弦BC的长的最小值为___________.

A

6、设AB是⊙O的动切线，与通过圆心O而互相垂直的两直线相交于A 、B，

⊙O的半径为r，求OA＋OB的最小值为________.

7、如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切， E与圆O上一点．若圆O的半径为4，且AB=7，求DE的最大值为________.

y B P r O A x

8、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．AC，BC，当点C在⊙O上运动时，求出△ABC的面积的最大值为_________．

9、如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，求PM长度的最大值为__________. 10、如图，O是正方形ABCD两对角线的交点，线段OB绕着点O顺时针旋转α°（0≤α≤360），B点的对应点为P点，DE⊥PA于E点. （1）填空：如图1，∠EPD= ，

PB= . AE（2）如图2，若F为PB的中点，连接CF，CE，求∠ECF的度数；

（3）若AB=2，当线段OB绕着O点旋转时，则线段CE长度的最大值为 . EE DDAA

POO P F

C C BB 图1图2

作业：

1、在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且AB10，点M为线段AB的中点．

（1）如图1，线段OM的长度为________________；

（2）如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ACB，当点C在第一象限时，求直线OC所对应的函数的解析式； （3）如图3，设点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上，且DE10，以DE为边在

第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式．

yyyB

BMOAxBCMOAx

OAxGDEF2、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； E N M B C A D

⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长.

3、如图1，点P在等边△ABC的边BC上，以AP为边作等边△APQ，连接CQ。 （1）①求证：△ABP≌△ACQ；

②若AB=6，点D为AQ的中点，求出点P从B到C时，点Q运动的路径长；

（2）已知△EFG中，EF=EG=13，FG=10，如图2，把△EFG绕着E点旋转到△EF′G′的位置，点M是边EF′与边FG的交点，点N在边EG′上，且EN=EM，求点E到直线GN的距离。 E A D Q N G′ M B C F P G F′

4、如图,在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作 圆O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E,BC=a,AC=b, (1)求证：AE=b+3a ；(2)求a+b的最大值；

(3)若m是关于x的方程：x2+3ax=b2+3ab的一个根，求m的取值范围．

O E C

B A D

5、如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A，D重合）.将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于点H，折痕为EF.连接BP，BH． （1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）当点P在边AD上的什么位置时，四边形EFGP的面积最小？并求出此时的面积. P A D

E

H

G

F

B

C

6、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ） A．130° B．120° C．110° D．100°

7、如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 ．

8、如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为 ，最小值为 ．

9、如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为 ．

10、如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则PAPB的最大值等于 ．

y

11、如图，⊙M与x轴交于A、B两点，A（23，0），B（2O x C M Q 3，0），与y轴且于C

点，Q为⊙M上任意一点，连接OQ，N为OQ的中点，连接CN，则CN的最值为__________.