一．解答题（共19小题）
时间：2021.02.08 创作人：欧阳生 1．（2013•扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）=，d（10﹣2）=； （2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）． 根据运算性质，填空：
=（a为正数），若d（2）=0.3010，则
d（4）=，d（5）=，d（0.08）=；
（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
x
d（x）
1.5 3 3a﹣b+c 2a﹣b
5 a+c
6 8 9
1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣3c 4a﹣2b
12 27 3﹣b﹣2c 6a﹣3b
2．（2012•安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）猜想一般性的结论：logaM+logaN=（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜想．
3．（2012•沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：
欧阳生创编 2021.02.08
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我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）
3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
4．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值． 5．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题：
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
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（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）
6．（2006•浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？ 8．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
9．（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
欧阳生创编 2021.02.08
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10．（2015•铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．
11．（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 12．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD． 求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
13．（2011•泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
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（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
14．（2005•扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题． 15．（2012•淮安）阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合． 探究发现
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．
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（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为． 应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角． 16．（2011•房山区一模）已知：等边三角形ABC
（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．
17．（2010•丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．
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18．（2006•西岗区）如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形； ②∠BAC=90°（如图）
附加题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系． 19．（2006•大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．
1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；
2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．
附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．
2016年06月26日842051969的初中数学组卷
参考答案与试题解析
欧阳生创编 2021.02.08
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一．解答题（共19小题）
1．（2013•扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）= 1 ，d（10﹣2）= ﹣2 ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：
= 3 （a为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）= 0.6020 ，d（5）= 0.6990 ，d（0.08）= ﹣1.0970 ； （3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
x
d（x）
1.5 3 3a﹣b+c 2a﹣b
5 a+c
6 8 9
1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣3c 4a﹣2b
12 27 3﹣b﹣2c 6a﹣3b
【考点】整式的混合运算；反证法． 【专题】压轴题．
【分析】（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；
（2）根据d（a3）=d（a•a•a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得
的值；
（3）通过9=32，27=33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5=10÷2，假设d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．
【解答】解：（1）d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2； 故答案为：1，﹣2； （2）
=
=3；
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因为d（2）=0.3010
故d（4）=d（2）+d（2）=0.6020，
d（5）=d（10）﹣d（2）=1﹣0.3010=0.6990，
d（0.08）=d（8×10﹣2）=3d（2）+d（10﹣2）=﹣1.0970； （3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）=2d（3）≠4a﹣2b， d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，
从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾， ∴d（3）=2a﹣b，
若d（5）≠a+c，则d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c， ∴d（8）=3d（2）≠3﹣3a﹣3c，
d（6）=d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c， 表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾． ∴d（5）=a+c．
∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是错误的，应纠正为： d（1.5）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1， d（12）=d（3）+2d（2）=2﹣b﹣2c．
【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键．
2．（2012•安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
（1）计算以下各对数的值：log24= 2 ，log216= 4 ，log264= 6 ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
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（3）猜想一般性的结论：logaM+logaN= loga（MN） （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜想． 【考点】同底数幂的乘法． 【专题】压轴题；新定义．
【分析】（1）根据材料叙述，结合22=4，24=16，26=64即可得出答案；
（2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；
（3）设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，分别表示出MN及b1+b2的值，即可得出猜想．
【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6； （2）log24+log216=log264；
（3）猜想logaM+logaN=loga（MN）．
证明：设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N， 故可得MN=ab1•ab2=ab1+b2，b1+b2=loga（MN）， 即logaM+logaN=loga（MN）．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．
3．（2012•沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）
3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
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上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）． 【考点】完全平方公式．
【专题】压轴题；阅读型；规律型．
【分析】（1）由题意可求得当n=1，2，3，4，…时，多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；
（2）首先求得当n=1，2，3，4…时，多项式（a+b）n展开式的各项系数之和，即可求得答案；
（3）结合（2），即可推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和．
【解答】解：（1）∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=数为：1=数为：3=数为：6=…
∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：
；
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，
当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系
， ， ，
当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系
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（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n； （3）∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，
当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，
当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，
当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24， …
∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n．
【点评】此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键．
4．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方； （2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值． 【考点】完全平方公式． 【专题】压轴题；阅读型．
欧阳生创编 2021.02.08
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【分析】（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；
（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【解答】解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为： x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，
x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x， x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2； （2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab， a2+ab+b2=（a+b）2+b2； （3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，
=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1）， =（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1）， =（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0， 从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0， 即a=1，b=2，c=1， ∴a+b+c=4．
【点评】本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方的能力．
5．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题： 11×29；12×28；13×27；14×26；15×25； 16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
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（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明） 【考点】平方差公式． 【专题】压轴题．
【分析】利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于29，几减几等于11，可得20+9和20﹣9，可得11×29=202﹣92，同理思考其它的．
【解答】解：（1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；
14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42； 17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12； 20×20=202﹣02．（4分）
例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2， 因为□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）； 所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．（5分） （或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92．5分）
（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7分）
（3）①若a+b=40，a、b是自然数，则ab≤202=400．（8分） ②若a+b=40，则ab≤202=400．（8分） ③若a+b=m，a、b是自然数，则ab≤④若a+b=m，则ab≤
．（9分）
．（9分）
⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40．且 |a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|an﹣bn|，
欧阳生创编 2021.02.08
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则a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．（10分） ⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m．且 |a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|， 则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．（10分）
说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③或④之一的得（2分）；
给出结论⑤或⑥之一的得（3分）．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．
6．（2006•浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？ 【考点】平方差公式． 【专题】压轴题；新定义．
【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；
（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）
2=8k=4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．
【解答】解：（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x﹣2两数的平方差得到， 则x2﹣（x﹣2）2=28，
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解得：x=8，∴x﹣2=6， 即28=82﹣62，
设2012是y和y﹣2两数的平方差得到， 则y2﹣（y﹣2）2=2012， 解得：y=504， y﹣2=502，
即2012=5042﹣5022， 所以28，2012都是神秘数．
（2）（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍． （3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1， 则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k=4×2k，
即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件． ∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．
【点评】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．
7．（2007•淄博）根据以下10个乘积，回答问题： 11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明） 【考点】整式的混合运算；绝对值． 【专题】压轴题；规律型．
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【分析】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．
（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可． （3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．
【解答】解：（1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；
14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42； 17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12； 20×20=202﹣02 …（4分）
例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2， 因为□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）； 所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92． （或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92
（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20
（3）①若a+b=40，a，b是自然数，则ab≤202=400． ②若a+b=40，则ab≤202=400． …（8分） ③若a+b=m，a，b是自然数，则ab≤④若a+b=m，则ab≤
．
． ．
⑤若a，b的和为定值，则ab的最大值为⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40．且 |a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|， 则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn． …（10分） ⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m．且 |a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，
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则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn． ⑧若a+b=m，
a，b差的绝对值越大，则它们的积就越小．
说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2分）；
给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键．
8．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 垂直 ，线段CF、BD的数量关系为 相等 ；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】压轴题；开放型．
【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
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（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．
【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度． ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度． 即CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G， 则∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，
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∴∠AGC=90°﹣45°=45°， ∴∠ACB=∠AGC=45°， ∴AC=AG，
∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF， ∴△GAD≌△CAF， ∴∠ACF=∠AGC=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．
【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
9．（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】压轴题．
【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．
【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
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∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图， ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠FCD=45°，
∵AF∥CE，且AF=CE，
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∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AE∥CF，
∴∠APD=∠FCD=45°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．
10．（2015•铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题；压轴题．
【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ．
【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高， ∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABQ和△ACF中∴△ABQ≌△ACF（SAS）， ∴∠F=∠BAQ， ∵∠F+∠FAE=90°， ∴∠BAQ+∠FAE═90°， ∴AF⊥AQ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．
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，
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11．（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题；几何综合题；压轴题．
【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；
（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
【解答】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE， ∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE， ∵MD=ME，
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∴∠MAD=∠MAE，
∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE， 即∠BAM=∠CAM， 在△ABM和△ACM中，∴△ABM≌△ACM（SAS）， ∴MB=MC； （2）MB=MC．
理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F， ∴BD=BE′，CE=CF，
∵M是ED的中点，B是DE′的中点， ∴MB∥AE′， ∴∠MBC=∠CAE， 同理：MC∥AD， ∴∠BCM=∠BAD， ∵∠BAD=∠CAE， ∴∠MBC=∠BCM， ∴MB=MC；
（3）MB=MC还成立． 如图4，延长BM交CE于F， ∵CE∥BD，
∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE， 又∵M是DE的中点， ∴MD=ME，
在△MDB和△MEF中，∴△MDB≌△MEF（AAS）， ∴MB=MF，
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，
，
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∵∠ACE=90°， ∴∠BCF=90°， ∴MB=MC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．
12．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD． 求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题；压轴题；探究型．
【分析】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就构
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成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE了．
（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．
（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．
【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG． ∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． 又AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF=BE+FD
（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．
（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD． 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF． ∵AB=AD， ∴△ABG≌△ADF．
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∴∠BAG=∠DAF，AG=AF． ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD =∠EAF=∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． ∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF ∵EG=BE﹣BG ∴EF=BE﹣FD．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．
13．（2011•泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG， （2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，
∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．
【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC， ∠ACB=90°，
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∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠CAD=∠CBD=45°， ∴∠CAE=∠BCG， 又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°， 又∵∠ACE+∠BCF=90°，
时间：2021.02.08 创作人：欧阳生 欧阳生创编 2021.02.08
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