动能定理、机械能守恒和圆周运动的结合

例题1如图所示，小球用不可伸长的长为L的轻绳悬于O点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动? 变式训练1-1如图所示，质量为m的小球用不可伸长的细线悬于O点，细线长为L，在O点正下方P处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P处的钉子作圆周运动。那么钉子到悬点的距离OP等于多少？

例题2课本80页第2题 变式训练2-1如图所示，小球自斜面顶端A由静止滑下，在斜面底端B进入半径为R的圆形轨道，小球刚好能通过圆形轨道的最高点C，已知A、B两点间高度差为3R，试求整个过程中摩擦力对小球所做的功。

例题3如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B点。求： ⑴释放点距A点的竖直高度；

B ⑵落点C与A点的水平距离。

变式训练3-1半径R=1m的1/4圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度h=1m，如图所示，有一质量m=1.0kg的小滑块自圆轨道最高点AO A C D 由静止开始滑下，经过水平轨迹末端B时速度为4m/s，滑块最终落在地面上，试求:

(1)不计空气阻力，滑块落在地面上时速度多大？ (2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功多少？

例题4如图，光滑的水平面AB与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC竖直，圆轨道半径为R一个质量为m的物体放在A处，AB=2R，物体在

水平恒力F的作用下由静止开始运动，当物体运动到B点时撤去水平外力之后，物体恰好从圆轨道的顶点C水平抛出，求水平力

变式训练4-1如果在上题中，物体不是恰好过C点，而是在C点平抛，落地点D点距B点的水平位移为4R，求水平力。

变式训练4-2如图，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度。

解题步骤：

①、选取研究对象——物体系或物体。

②、根据研究对象经历的物理过程，进行 分析、 分析，判断机械能是否守恒。 ③、恰当地选取 ，确定研究对象在过程的 、 状态时的 。 ④、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。 （2）解题技巧：习题1（2）

公式左：做受力分析，寻找 做功 的来源。 公式右：根据题目出现的 、 、 选择公式。 二、习题

1、 如图所示把一个质量为m的小球用细线悬挂起来，形成一个摆，摆长为L，最大偏角为θ，小球从静止释放，求：

（1） 小球运动到最低位置时的速度是多大； （2） 小球运动到最低位置时绳子的拉力是多大。

2、 如图所示，用长为L的轻绳，一端拴一个质量为m的小球，一端固定在O

最低点开始运动，若小球刚好能通过最高点，在竖直平面内做圆周运动，（1） 小球通过最高点的向心力； （2） 小球通过最高点的速度；

第 1 页 共 10 页

θ 点，小球从求：

O L v （3） 小球通过最低点的速度。

（4） 小球通过最低点时受到绳子的拉力。

3、 AB是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B与光滑水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道

下滑。已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，求 （1） 小球运动到B点时的速度；

（2） 小球经过光滑圆弧轨道的B点和光滑水平轨道

C点时，所受轨道支持力FNB、FNC。

4、 一质量m=2Kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑

紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示，试求（g=10m/s）

（1） 小球滑至圆环底部时对环的压力； （2） 小球滑至圆环顶点时对环的压力；

（3） 小球至少应从多高处由静止滑下才能刚好越过圆环最高点． 5、 如图所示，半径R＝0.4m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙

平面相切于圆环的顶点A。一质量m＝0.10kg的小球以初速度v0＝7.0m/s在

2

2

的

A A O 下，斜面底端

B h C R 图5-25 2

的水水平

地面上向左做加速度的大小为3.0m/s的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，求（g=10m/s） （1） 小球到达端点A时的速度； （2） 小球是否能到达圆环的最高点B；

（3） 如果小球能够到达圆环的最高点，求小球通过B

的速度和小球对B点的压力；

（4） 小球冲上竖半圆环，最后落在C点，求A、C间

距离。

机械能守恒结合圆周运动 （3）解题步骤

①、选取研究对象——物体系或物体。

②、根据研究对象经历的物理过程，进行受力分析、做功分是否守恒。

③、恰当地选取参考平面（零势面），确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。 ④、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。 通过习题1 （1）回顾机械能守恒的解题步骤。 2、运用圆周运动向心力公式的技巧：

刚才有部分同学完成了习题1（1）后已经进入了第二问的解答，那么解答第二问时是否还是继续用机械能守恒定律？由于模型是圆周，所以要用到之前的圆周运动的公式，习题1（2）（定点A）＋最低点的向心力由什么力提供？（拉力等于重力吗？）

解答计算题时一定要对模型进行受力分析，还要有必要的文字表述 （1）公式：

的

B

点

v A C 析，判断机械能

v22π2mω2rm()r F向＝mrT① （2）解题技巧：

②

③

公式左：受力分析，寻找向心力的来源； 公式左 公式右 公式右；根据题目出现的v，ω，T选择公式 二、习题

6、 如图所示把一个质量为m的小球用细线悬挂起来，形成一个摆，摆长为L，最大偏角为θ，小球从静止释放，求：

（1） 小球运动到最低位置时的速度是多大； （2） 小球运动到最低位置时绳子的拉力是多大。 解：

（1）∵整个过程指向圆心绳拉力不做功，只有小球重力做功

第 2 页 共 10 页

θ ——机械能守恒和圆周运动的结合

∴机械能守恒，以最低点（B）为零势面 小球离零势面高度为h 初状态——起始点A点 vA 末状态——最低点B点

a)

小球运动到最低点受重力mg，绳子的拉力T

2如图所示，用长为L的轻绳，一端拴一个质量为m的小球，一端固定在O点，小球从最低点开始运动，若小球刚好能通过最高点，在竖直平面内做圆周运动，求：

（1） 小球通过最高点的向心力； （2） 小球通过最高点的速度； （3） 小球通过最低点的速度。

（4） 小球通过最低点时受到绳子的拉力。 解：

（1）∵小球恰能通过最高点（A点）

∴在最高点时小球只受重力

LLcos

0

O L v 公式左

最高点的向心力 F向A＝mg

（2）根据 F向AvmgmAL2

公式右

求得 vAgL

（3）整个过程，小球在重力和绳的拉力作用下做圆周运动，指向圆心拉力不做功，只有重力做功。——机械能守恒和圆周运

动结合

∴机械能守恒，以最低点（B）点为零势面 （4）F向BvTmgmBL2

3、AB是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B与光滑水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，求

（1） 小球运动到B点时的速度；

（2） 小球经过光滑圆弧轨道的B点和光滑水平轨道

C点时，所受轨道支持力FNB、FNC。

解：

（1）∵从A下滑到B的过程，轨道对小球指向圆心的支小球重力做功——机械能守恒和圆周运动结合

∴机械能守恒，以BC为零势面 （2） 从A到B小球做圆周运动 小球从B到C做匀速直线运动

三、小结机械能守恒和圆周运动的结合的解题技巧 1、根据题意，确定研究对象，建立模型

2、对研究对象进行受力分析，做功分析，判断机械能是否守恒，分析向心力的来源（由那些力提供） 3、确定零势面，初、末状态的机械能（定点列出初、末状态的Ep和Ek）

持力不做功，只有

的

A O B C 第 3 页 共 10 页

4、根据机械能守恒和圆周运动的规律列方程联合求解 小结：解题中易漏易错点

4一质量m=2Kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着R=1m的光滑圆环，如图所示，试求（g=10m/s2

）

（1） 小球滑至圆环底部时对环的压力； A C （2） 小球滑至圆环顶点时对环的压力；

h R （3） 小球至少应从多高处由静止滑下才能刚好越过圆环最高点． B 解：

（1）∵从A下滑到B的过程，斜面对小球的支持力不做功，只有小球重

图5-25 ∴机械能守恒，以B点所在的水平面为零势面 初状态——起始点A vA0

末状态——最低点B

（2）∵从A到C的过程，只有小球重力做功

∴机械能守恒，以B点所在的水平面为零势面 初状态——起始点A vA0

末状态——圆环最高点C

（3）刚好能越过最高点，小球在最高点只受重力

根据 Fmgmv2向R

求得 vgR

5、如图所示，半径R＝0.4m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环糙的水平面相切于圆环的顶点A。一质量m＝0.10kg的小球以初速度v0＝B

7.0m/s在水平地面上向左做加速度的大小为3.0m/s2

的匀减速直线运动，4.0m后，冲上竖直半圆环，求（g=10m/s2

）

（1） 小球到达端点A时的速度； （2） 小球是否能到达圆环的最高点B；

（3） 如果小球能够到达圆环的最高点，求小球通过B点的速度和

v 小球对B点的压力；

A C （4） 小球冲上竖半圆环，最后落在C点，求A、C间的距离。 解：

（1）∵小球在水平面做匀减速直线运动 ∴a＝－3.0m/s2

（2）假设小球能冲上光滑圆环，根据机械能守恒定律

代入数字可得

设小球到达最高点B的最小速度为vB最小，此时小球重力充当向心力

2根据 FvB最小向mgmR

求得 vB最小gR2m/s

∵ vBvB最小

第 4 页 共 10 页

一个半径

力做功

与粗

运动

∴ 小球能到达最高点B

（3）vB3m/s

根据牛顿第三定律 N’=N=1.25N 方向：竖直向上

（4））小球冲上半圆环从B点以水平速度抛出，在重力的作用下，做平抛运动，最终落在C点

动能定理

2、 将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s）

2

3、 一质量为0.3㎏的弹性小球，在光滑的水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv小球做功的大小W为（ ）

A .Δv=0 B. Δv=12m/s C. W=0 D. W=10.8J

4、 在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速A.

H h 2-7-2 后小球沿相反方向和碰撞过程中墙对

度大小为（ ）

2v02ghv02gh B.

v02gh C.

2v02gh D.

5、 一质量为 m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图2-7-3所示，则拉力F所做的功为（ ）

A. mglcosθ B. mgl(1－cosθ) C. Flcosθ D. Flsinθ

7、 如图2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0＝2m/s的速度匀速运行，水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m＝l0kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至hO θ l Q F 传送带与＝2m的

P 3，g取10m/s2。

22-7-3

高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数(1) 试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?

(2) 工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功?．

8、 如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，

2-7-4

BC处的摩擦系

数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。 9、 电动机通过一条绳子吊起质量为8kg的物体。绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1 200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m（已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g取10 m/s）

2

机械能守恒 例1、相同

例2、 例3. 6. 6. 7、 16、 13、 6、 匀速圆周运动3、A 4、C 5、B 6、D 7．（1）T﹦3N （2）T﹦7N 8．解析：(1)小球做平抛运动在竖直方向 h＝ 1gt t＝222h g在水平方向：s＝v1t＝v02h ＝R 所以v0＝Rg 2hg第 5 页 共 10 页 (2)因为t＝nT＝n2 即2h ＝n2 所以ω＝2πngg (n＝1，2，…) 2h 答案：(1)Rg (2)2πng (n＝1，2，…) 2h2h2

9、简解：（1）mg+TA=mω L

TA= mω L-mg=0.88N 方向向下

（2）mg+ TB -TA=mω L/2

TB = TA +mω L/2-mg=0.32N 方向向下 轴O受力方向向上，大小也为0.32N

2

2

2

L动能定理

2、石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。

对石头在整个运动阶段应用动能定理，有

mg(Hh)Fh00。

图D-1 所以，泥对石头的平均阻力FHhmg20.05210N=820N。

h0.053、解答 由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以Δv=vt-(-v0)=12m/s,根据动能定理 答案：BC

4、解答 小球下落为曲线运动，在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有

mgh1mv21mv2，

022解得小球着地时速度的大小为

v2v02gh。正确选项为C。

5、解答 将小球从位置P很缓慢地拉到位置Q的过程中，球在任一位置均可看作处于平衡状态。由平衡条件可得F=mgtanθ，可见，随着θ角的增大，F也在增大。而变力的功是不能用W= Flcosθ求解的，应从功和能关系的角度来求解。

小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W，小球克服重力做功mgl(1－cosθ)。

小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得 W－mgl(1－cosθ)=0，

W= mgl(1－cosθ)。正确选项为B。

7、解答 (1) 工件刚放上皮带时受滑动摩擦力

Fmgcos，

工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律 可得 a22F3gsing(cossin)10(cos300sin300)m/s=2.5m/s。 m2设工件经过位移x与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律

22可得 xv02m=0.8m＜4m。

2a22.5故工件先以2.5m/s的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m与传送带达到共同速度2m/s后做匀速直线运动。

2

(2) 在工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中，设摩擦力对工件做功Wf ，由动能定理

Wfmgh1212, 可得

Wfmghmv010102J11022J=220J。 mv02228、解答：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、BC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0， 所以mgR-umgS-WAB=0

即WAB=mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6(J)

9、解答 起吊最快的方式是：开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。

第 6 页 共 10 页

在匀加速运动过程中，加速度为

aFmmg120810m/s2=5 m/s2，

m8v末速度 vPm1200m/s=10m/s， 上升时间 t1t10s=2s，

ta5Fm120上升高度 h1vt2102m=10m。

2a25在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为

vPm1200m/s=15m/s，

mmg81012由动能定理有 Pmt2mg(hh1)1mvmmvt2，

22解得上升时间

mg(hh1)112m(vmvt2)810(9010)8(152102)s=5.75s。 22Pm1200t2所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m，所需时间为

t=t1+t2=2s+5.75s=7.75s。

1、长为L的轻绳的一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球，先令小球以O为圆心，在竖直平面内做圆

周运动，小球能通过最高点，如图则：

A．小球通过最高点时速度可能为零

B．小球通过最高点时所受轻绳的拉力可能为零 C．小球通过最低点时速度大小可能等于2gL

D．小球通过最低点时所受轻绳的拉力可能等于6mg

2、（14分）如图8所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆

2

环的端点A。一质量m=0.10kg的小球，以初速度v0=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s的匀减速直线

2

运动，运动4.0m后冲上竖直半圆环，最后小球落在C点。（重力加速度g=10m/s）

B （1）判断小球能否过半圆环轨道的最高点B；

（2）求A、C间的距离。

R 3、(14分)如图所示，粗糙的水平面与竖直平面内的光滑弯曲轨道BC在B点吻接(即水平 面是弯曲轨道的切线)，圆轨道的半径R=40cm,质量为m=100g的小球从A点以vA=7m/s的初速度由直轨道向右运A C 动，物块与水平面间的动摩擦因数0.2，AB长为6m，求：点时的速度多大及小物块对B点的压力大小 (2) 小物块能出小物块对C点的压力，若不能，请说明原因。（3）要使小道，小球在A点的初速度必须满足什么条件？

6、如图，固定于小车上的支架上用细线悬挂一小球．线长为匀速直线运动，当小车突然碰到障障碍物而停止运动时．小能值是． ( )

图8

（1）小物块滑到B否过C点，若能，求物体从C点脱离轨L．小车以速度V0做球上升的高度的可

v0 A. 等于

vvv B. 小于 C. 大于 D等于2L 2g2g2g第 7 页 共 10 页

202020L ACD

7、 （18分）如图所示，四分之三周长圆管的半径R=0.4m，管口B和圆心O在同一水平面上，D是圆管的最高点，

其中半圆周BE段存在摩擦，BC和CE段动摩擦因数相同，ED段光滑；直径稍小于圆管内径、质量m=0.5kg的小球从距B正上方高H=2.5m处的A处自由下落，到达圆管最低点C时的速率为6m/s，并继续运动直到圆

2

管的最高点D飞出，恰能再次进入圆管，假定小球再次进入圆管时不计碰撞能量损失，取重力加速度g=10m/s，求

（1） 小球飞离D点时的速度

A （2） 小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功

（3） 小球再次进入圆管后，能否越过C点？请分析说明理由

8、倾角为37°的光滑导轨，顶端高H=1.45m，下端通过一小段光滑圆弧与薄壁细管

H 相同圆环组成，做成的玩具轨道相接于最低端B。玩具轨道由间距为x0=1m的若干个

D 圆环半径R=0.5m，整个玩具轨道固定在竖直平面内。第一个圆环记作0号，第二个圆环记作1号，其余依次类推，如图所示。一质量m=0.5kg的小球在倾斜导轨顶端A以v0＝2m/s速度水平发射，在落到倾斜导轨上P点后即沿轨道运动（P点在图中O B E 未画出）。假设小球落到轨道时平行轨道方向速度不变，玩具轨道圆环部分内壁光R小 2

滑，水平段的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10m/s，求：

（1）小球落到倾斜导轨上的P点位置和开始沿倾斜导轨运动的速度大小vP？ C （2）小球最终停在什么位置？

v0=2m/s H=1.45m 370 1 n B x0=1m 0 在O点正处的钉子

1、（16）如图所示，质量为m的小球用不可伸长的细线悬于O点，细线长为L，下方P处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P作圆周运动。那么钉子到悬点的距离OP等于多少？ 3L/5

24．如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，面，B点在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释进入圆轨道并恰能到达B点。求：⑴释放点距A点的竖直

B 点的水平距离。(3)小球落到C点的速度。

25、如图所示，半径R = 0.4m的光滑半圆轨道与粗糙的O 质量为 m = 1kg的小物体（可视为质点）在水平C点运动到A点，物体从A点进入半圆轨道的同时撤力F，物体沿半圆轨道通过最高点B后作平抛运动，

落在C点，已知AC = 2m，F = 15N，g取10m/s2，试求： （1）物体在B点时的速度以及此时半圆轨道对物体的弹力． （2）物体从C到A的过程中，摩擦力做的功． 7、解（1）小球飞离D点做平抛运动，有

P AD为水平

放，自由下落至A点高度；⑵落点C与A

A C D 水平面相切于A点，拉力F的作用下，从

去外正好

xDBRvDt （1）

y12gt （2） 2第 8 页 共 10 页

由（1）（2）得vD2m/s （3）

（2）设小球从B到D的过程中克服摩擦力做功Wf1，在A到D过程中根据动能定理，有

12mvDmg(HR)Wf1 （4） 2代入计算得， Wf1=10J （5）

（3）设小球从C到D的过程中克服摩擦力做功Wf2，根据动能定理，有

1212mvDmvCmg2RWf2 （6） 22代入计算得， Wf2=4.5J （7）

小球从A到C的过程中，克服摩擦力做功Wf3，根据动能定理，有

Wf3=5.5J

小球再次从D到C的过程中，克服摩擦力做功Wf4，根据动能定理，有

1122mv'CmvDmg2RWf4 （8） 2212 （9） Wf44.5Jmv'C2小球过BE段时摩擦力大小随速度减小而减小，摩擦力做功也随速度减小而减少。第二次通过BC段与CE段有相等的路程，速度减小 （10）

所以 Wf40，即小球能过C点。

25.解（1）小球从A做平抛运动，经过时间t落到倾斜导轨上的P点，水平位移x，竖直位移y，有

xv0t （1）

12gt （2） 2y3tan37 （3）

x4yvygt （4）

vPv0cos37vysin37 （5）

由上述式子得 t3v00.3s 2gx=0.6m或y0.45m

P点位置，即距抛出点l=0.75m （6）

vP1.7v03.4m/s （7）

（2）设小球到B点的动能为EkB，从P到B机械能守恒，有

EkB12mvPmg(Hy)0.5*0.5*1.7*1.7*40.5*10*17.89J （9） 2设小球射入某一圆环低端时动能为Ek0，则要使小球能通过圆环，必须有

Ekomg2R0.5*10*2*0.55J （10）

小球每次通过水平段轨道时克服摩擦力做功Wf，有

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Wfmgx00.2*0.5*10*11J （11）

设小球通过N号圆环后，剩余能量为EN，共克服水平段轨道摩擦力做功n*1J，当其能量E大于1J且小于5J时，就只能到达N+1号圆环，但不能通过该圆环，它将在N号圆环与N+1号圆环间来回运动 有 EkBn5 （12）

n>2.89 （13）

即当小球通过2号圆环后就不能通过3号圆环，只能在2号、3号圆环间来回运动 （14） 小球刚通过2号圆环时具有的能量E3=7.89-3=4.89J （15）

E3=μmgx，即x=4.89m （16）

所以，最终小球将停在2、3号圆环之间，离2号圆环底端0.11m位置 （17）

说明：共18分，其中（17）式2分，其余每式1分，即完成（14）式得14分，其余类推。

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