数学文化与数学史答案

《数学文化与数学史》复习

Lecture 0 为什么要开设数学史

1. 介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达·芬奇（L. Da Vinci, 1452～1519）和 19 世纪英国业

余数学家伯里加尔（H. Perigal, 1801～1898）证明勾股定理的方法。

达·芬奇

H. Perigal的水车翼轮法

2. 谈谈你对数学史教育价值的认识。

一门学科 一座桥梁一条进路一种资源 一组专题

对学生来讲，通过对数学史的学习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考, 促进学生的数学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度,有利于辩证唯物主义世界观的形成, 有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。

对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。

Lecture 2 古代数学（I）：埃及

3. Rhind 纸草书问题 79 是一个等比数列求和问题，介绍其中蕴涵的等比数数列求和方法。

a

..

124 2801 56021120419607房屋 猫老鼠麦穗容积总数 7 49 343 24011680719607S5749343230116807 717493432301 72801 19607

Snaaqaq2aqn1aqn2 aqaaqaq2 aqSn1

aqSnaqn1aaqnSnq11q4. “埃及几何学中的珍宝”是什么？

正四棱台体积公式：

Lecture 3 古代数学（II）：美索不达米亚

3. 研究古巴比伦时期的泥版 BM 15285。设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题？

5 古代巴比伦人是如何求平方根近似值的？ 求a:设第一个近似值为a1,求2:设第一个近似值为1，12 则第二个近似值为1 1;30；1a21则第二个近似值为a2a1；2a112第三个近似值为1;301;25；21;301a第三个近似值为a3a2；122a2第四个近似值为1;251;24,51,10。21;25化为十进制为：212451101.414215560602603

7. 美国哥伦比亚大学收藏的 Plimpton 322 号巴比伦泥版的内容是什么？

泥版上有15行、4列数字，原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 1899～1990）经过研究惊奇地发现：第3列数与第2列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误所致）！例如（见下表，表中数字均为60进制）：

a

..

2,4921,592169211921202，1,20,2556,7482523367234562，

22等等这就表明，它是一张勾股数表。

英国著名数学家齐曼（C. Zeeman, 1925～）指出，如果巴比伦人使用了勾股数一般公式

ap2q2，b2pq，cp2q2

2b2q60那么，满足，30A45且cotA2（A是勾a所对的角）为有限小数的勾股a数只有16组。而Plimpton 322号泥版给出了其中的15组！其水平之高，令人惊叹不已。

6 古巴比伦时期的泥版 Str.362 上记载了如下问题：“十兄弟分银123迈纳，每个兄弟均比

相邻的弟弟多得若干，已知老八分得 6 斤（1 迈纳＝60 斤）。问：各兄弟比相邻的弟弟多得 几何？”泥版上给出的解法是：“取十兄弟所得平均数 10 斤，倍之，得 20 斤；减去老八所得的两倍即 12 斤，得 8 斤。于是，公差为8/5斤。”用我们今天的代数符号来表达这一解法，并写出一般公式。

Lecture 4 古代数学（III）：中国

14 用出入相补原理证明勾股定理。

a

..

。南宋数学家杨辉是如何推导这个公式的？ 日高公式：

表高两表间距

日高表高影长之差

杨辉推导日高公式：

Haads2s1 如图所示，图中两个黄色的面积是相等的。

d H a s 1

s 2

根据上面的原理我们可得：（其中d为两个杆子的距离）

19 试述刘徽和祖暅的球体积工作。 93V＝D球 16为了证明公式不正确，刘徽在立方体内作两个相互垂直的内切 圆柱，并把公共部分立体称作“牟合方盖”。如下图

a



..

两个圆柱面的公共部分（牟合方盖）正好把半径为R的球体包含在内。 刘徽想若用一个与底面平行的平面去截它们，那么球的截面肯定是圆，而牟合方盖的截面刚好是一个正方形 。如右图 正方形与其内切圆的面积之比都是： 由“截面原理”可得：

4:V球＝V牟合方盖4于是我们只要求出牟合方盖的体积即可求出球的体积。



刘徽：提出从立方体割出牟合方盖之后所余的“外棋”着手。但是外棋的复杂难倒了刘徽。 祖暅：对边长为D的正方体及其内牟合方盖的八分之一进行考察如右图并将其分解为一个内棋和三个外棋

内棋

外棋 外棋 外棋

祖暅公理：用平行于底面的平面去截两个等高的立体，如果所得的两个截面面积处处相等，则这两个立体的体积就相等。

1V外棋＝V阳马＝R3123233V＝DV＝RV＝8V＝D3 球内棋合盖内棋633

13. 在直角三角形中，勾、股、弦分别为 a、b、c，已知勾弦差（c-a）和股弦差（c-b），

试用中国古代的方法来证明下面一组公式：

a2cacbcb，

ba

2cacbca，

..

c2cacbcacb

则有：

IIIIIIabc2cacb2 abc2cacb

a2cacb(cb)1

4b2cacb(ca) .

c2cacb(ca)(cb) 简要 介 绍 刘徽

圆内接正多边形边长递推公式： 的 割

（要求写出相关公式）

此图是将边长分别为a，b，c的三个正方形合在一起的 

Lecture 5 古希腊数学

21 描述希皮亚斯（Hippias, 公元前 5 世纪）的割圆曲线，并用利用它来三等分角。

a

..

17. 用欧几里得的方法证明勾股定理。

HGCFABK正方形CF2ABF矩形AL2ADCABFADC

正方形CF矩形AL正方形CK矩形BL 正方形CF正方形CK正方形AE

得证

DLE

2

3答：假设素数个数有限，则必有一个最大的设最大的素数是P .

令n=2*3*5*7*……*P+1，即把所有的素数相乘并加上1，显然n>P

若因为 P是最大素数，所以n是合数，则n能被2，3，……，P中至少一个素数整除，但用这用

些数去除n，都有余数1，即都不能整除 欧几这就有两种可能 里

(1)n是素数 (2)n是合数，但他只能被大于P的素数整除 得

这两种情况都和的P是最大素数矛盾。所以假设错误，所以素数是无限 方 法证 明“ 素数 无。

27. 如图所示，ADBC 是球 O 被纸面所截得的大圆，AB 和 CD 是其相互垂直的两条直径。

XVWY 是球 O 的外切圆柱（以 AB 为轴）的相应截面。阿基米德通过力学方法发现：球 O 的

a

..

体积等于直径为 CD 且垂直于纸面的大圆为底、以 B 为顶点的圆锥 BCD 的体积的 4 倍。试介绍阿基米德的方法。 HXCYLVAXGMBPRTSQANDOBOVDWEWCYF 证明：如图，作辅助线，其中T为AC上任意一点用一个过T平行于圆柱底面的截面去截图形再延长CA到H s.t AH=AC ,则我们有： 则有：MN PQ RS分别是圆柱EG,球O和圆锥AEF的圆截面直径 AHACAC2AC2MT2MT2= == ATATACATAP2AT2+PT2RT2+PT2MT2圆柱EG的截面= (RT2+PT2)圆锥AEF截面+球O截面AEF截面+球O截面）=AT圆柱EG的截面 AH（圆锥（圆锥AEF截面+球O截面）关于支点A与重心放在T处的圆柱EG截面相平衡将CH看成以A为支点的杠杆，则由杠杆定律可得：重心放在H处的 再由T的任意性可得，所有这样的截面都有此结果，因此将所有的力矩相加 得:重心放在H处的（圆锥AEF+球O)关于支点A与放在原处不动的圆柱相平衡又因为圆柱的重心在球心O,所以有下面的结果： AH（圆锥AEF+球O）=AO圆柱EGAH 即：=圆柱EG,又AH2AO,而圆柱EG3圆锥AEFAO圆锥AEF+球O 1球O圆锥AEF,又圆锥AEF8圆锥ABD2 14球O=4圆锥ABD=4R3=R3,证毕33 20.

a

利用托勒密定理推导和角正弦公式。

..

22. 证明海伦三角形面积公式。

Lecture 6 中世纪数学

23. 叙述中国剩余定理。

37 阿拉伯数学家阿尔·卡克希（Al-Karkhi, 953-1029）是如何推导自然数三次幂和公式的？ 如下图所示：

1233331nnn1 232a

..

3

an2(a1a2.....an1)9

2(sa)2s2asnnnn

3an2sn斐波3(snsn1)2sn 纳sn3sn1契

sns13n13n1《

n1n2计ansnsn133算s3n1n之

41. 在约瑟夫问题中，若设排成一圈的人数为 n ，并且从 1 号开始按顺时针方向点数，每点 书

到 2，第 2 号被扔进大海。记最后剩下的一个人位于第 J (n) 号。试给出 J (n) 与 n 的一般》中

关 系式，并计算 J (100) 和 J (500) 。 有如下“棋盘（ 6 4

J(n)12(n2k)(kLogn)2格

J(100)136273） 上J(500)12(n28)12442489的 数列满足a ：任意一

 ..

Lecture 7 文艺复兴时期的欧洲数学

29. 给出三次方程 x3 + px= q 的求根公式。

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