2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)理科数学试题及解答

学(必修+选修Ⅱ)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页．第Ⅱ卷 3 至 10 页．考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．

3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件 A，B 互斥，那么

球的表面积公式

P( A  B)  P( A)  P(B)

S  4πR2

其中 R 表示球的半径

如果事件 A，B 相互独立，那么

P( AB)  P( A)P(B)

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么

球的体积公式

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

k k n k Pk (k )  C p(1 p)(k  0，1，2，，n) n

4

V  πR3

3 其中 R 表示球的半径

一、选择题

1．设集合 M  {m  Z | 3  m  2}， N  {n  Z | 1≤n ≤3}，则M  N  （ A．0，1



）

B． 0，11，C．0，1，2

3

D．1，0，1，2）

2

2

2．设 a，b  R 且b  0 ，若复数(a  bi)是实数，则（

A． b 3a

2 2

B． a 3b

2 2

C． b 9a）

2 2

D． a 9b

3．函数 f (x)   x 的图像关于（

1

x

A． y 轴对称

C． 坐标原点对称

B． 直线 y  x 对称 D． 直线 y  x 对称

1

4．若 x  (e，1)，a  ln x，b  2 ln x，c  lnx ，则（ A． a < b < c

B． c < a < b

C． b < a < c

13

）

D． b < c < a

）

 y ≥ x，

5．设变量 x，y 满足约束条件： x2，，则 z  x  3y 的最小值（   2 y ≤

x ≥ 2． 

A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

6．从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A．

9

6

29

B．

10 29

4

C．

19 29

D．

20 29

）

7． (1x)(1x)的展开式中 x 的系数是（ A． 4

B． 3

C．3 D．4

8．若动直线 x  a 与函数 f (x)  sin x 和 g(x)  cos x 的图像分别交于 M，N 两点，则 MN 的 最大值为（

） B． 2

C． 3

D．2

A．1

9．设 a  1，则双曲线 

2

x2

y2

a

A． ( 2，2)

(a 1)2

1的离心率e 的取值范围是（

C． (2，5)

D． (2，5)

）

B． ( 2，5)

10．已知正四棱锥 S  ABCD 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点，则 AE，SD 所成的角的余弦值为（ ） A．

1 3

B．

2 3

C．

3 3

D． 2 3

11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x  y  2  0 与 x  7 y  4  0 ，原点在等腰三角形的 底边上，则底边所在直线的斜率为（ A．3

B．2

） D． 

1 C． 

3

1

2

12．已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于（ ）

A．1

B． 2 C． 3

D．2

2008 年普通高等学校招生全国统一考试

2

理科数学(必修+选修Ⅱ)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． 13．设向量 a  (1，2)，b  (2，3) ，若向量a  b 与向量c  (4， 7) 共线，则 ． ．

14．设曲线 y  e在点(0，1) 处的切线与直线 x  2 y 1  0 垂直，则 a 

ax

15 ． 已知 F 是抛物线 C：y 4x 的焦点， 过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A，B 两点． 设

2

FA  FB ，则 FA 与 FB 的比值等于 ．

16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出 空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）

cos C  ． 在△ABC 中， cos B   ，

13

5

（Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）设△ABC 的面积 S

△ ABC 54



18．（本小题满分 12 分）

33

，求 BC 的长． 2 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且各投保人 是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为1 0.999（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率 p ；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0， 求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

104

．

3

19．（本小题满分 12 分）

如图，正四棱柱 ABCD  A1B1C1D1 中， AA1  2AB  4 ，点 E 在CC1 上且C1 E  3EC ．

（Ⅰ）证明： A1C  平面 BED ；

D1 C1

（Ⅱ）求二面角 AA1 B1 1  DE  B 的大小．

E

D C A

B

20．（本小题满分 12 分） 设数列a 的前 n 项和为 S ．已知 a  a ， a

 S  3n ， n  N* ．

n n 1 n1 n

（Ⅰ）设b  S  3n

，求数列b 的通项公式；

n n n

（Ⅱ）若 a a ， *

n1 ≥ n

n  N，求 a 的取值范围．

21．（本小题满分 12 分）

设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1) 是它的两个顶点，直线 y  kx(k  0) 与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点．

（Ⅰ）若 ED  6DF ，求 k 的值； （Ⅱ）求四边形 AEBF 面积的最大值．

22．（本小题满分 12 分） 设函数 f (x) 

sin x

2  cos x

．

（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何 x ≥ 0 ，都有 f (x) ≤ ax ，求 a 的取值范围．

4

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修 选修Ⅱ）参考答案和评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题 1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B

8．B 9．B 10．C 11．A 12．C

二、填空题

13．2

14．2

5． 3  2 2

16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题

17．解：（Ⅰ）由cos B   5 ，得sin B  12

，

由cos C  4

，得sin C  3

13 13

．

5 5

所以sin A  sin(B  C)  sin B cos C  cos B sin C 

33

65

．······································5 分

（Ⅱ）由 S  33 得 1  AB  AC  sin A  33

，

△ ABC 2 2 2

由（Ⅰ）知sin A  33

，

65

故 AB  AC  65 ，··························································································8 分

又 AC  AB  sin B 20

sin  AB ，

故 20 C 13

AB2  65 ， AB  13 ． 13 所以 BC  AB  sin A 2

 11

．·········································································· 10 分

sin C 2

5

18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p ，记投保的 10 000 人中出险的人数为

，则~ B(104，p) ．

（Ⅰ）记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金，则 A 发生当且仅当 0， ···················································································································· 2 分

P( A)  1  P( A)  1 P( 0)  1 (1 p)104

，又 P( A)  1  0.999104

，

故 p  0.001．································································································5 分

（Ⅱ）该险种总收入为10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 10 000 50 000 ，

盈利

 10 000a  (10 000 50 000) ，

盈利的期望为 E 10 000a 10 000E 50 000 ，··········································· 9 分

由~ B(104，103

) 知， E 10 000103

，

E 104 a 104 E 5104  104 a 104 104 103  5104 ．

E≥ 0  104 a 104 10  5104 ≥0

 a 10  5≥ 0

 a ≥15 （元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元．·························································· 12 分

19．解法一：

依题设知 AB  2 ， CE  1．

（Ⅰ）连结 AC 交 BD 于点 F ，则 BD  AC ．

由三垂线定理知， BD  A1C ．········································································· 3 分

在平面 A1CA 内，连结 EF 交 A1C 于点G ，

AA

D1 由于

1 

AC C1 FC CE

 2 2 ，

A1 B1 故 Rt△A1 AC ∽ Rt△FCE ， AA1C  CFE ，

“hehezmv”

D G A F B C

6

CFE 与FCA1 互

余． 于是 A1C  EF ．

A1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD，EF 都垂直，

所以 A1C  平面 BED ．···················································································6 分

（Ⅱ）作GH  DE ，垂足为 H ，连结 A1H ．由三垂线定理知 A1H  DE ，

故A1HG 是二面角 A1  DE  B 的平面角．························································ 8 分

EF  CF 2  CE 2  3 ，

CG  CE  CF  2 ， EG  CE 2  CG 2  3 EF 3 3 ．

EG EF  1 3 ， GH  1 EF  FD 2 3  DE  15

．又 A C  AA2  AC 2  2 6 ， A G  A C  CG  5 6 ． 1 1 1 1 3

tan A HG  A1G

 5 5 ．

1 HG

所以二面角 A1  DE  B 的大小为arctan 5 5 ．·················································· 12 分 解法二：

z 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴， D1 C1

A1 建立如图所示直角坐标系 D  xyz ．

B1

依题设， B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4) ．

E

D DE  (0，2，1)，DB  (2，2，0) ，

A xB C y

A1C  (2，2， 4)，DA1  (2，0，4) ．······································································3 分

（Ⅰ）因为 A1CDB  0 ， A1CDE  0 ， 故 A1C  BD ， A1C  DE ．

7

又 DB  DE  D ，

所以 A1C  平面 DBE ．··················································································· 6 分

（Ⅱ）设向量 n  (x，y，z) 是平面 DA1E 的法向量，则

n  DE ， n  DA1 ．

故 2 y  z  0 ， 2x  4z  0 ．

令 y  1，则 z  2 ， x  4 ， n  (4，1， 2) ．······················································ 9 分

n，A1C 等于二面角 A1  DE  B 的平面角，

cos n，An A1C 14 1C  

．

n A1C 42

所以二面角 A14 1  DE  B 的大小为arccos 42

．··················································12 分

20．解：

（Ⅰ）依题意， S n

n1  S n  a n1  S n  3，即 S n

n1  2S n 3，

由此得 S n1 

3n1

 2(S n

3n ) ．········································································ 4 分因此，所求通项公式为

b  S  3n  (a  3)2n 1 ， n  N* ．①·······························································6 分

n n

（Ⅱ）由①知 S n n 1

n 3 (a  3)2， n  N*

，

于是，当 n ≥ 2时，

an  Sn  Sn 1

 3n  (a  3)  2n 1  3n 1  (a  3)  2n 2

 2 3n1  (a  3)2n2 ，

a n1 1  a n  4 3

 (a  3)2n2

n  2

n2

  3 n2 12   a  3

，

  2 



8



当 n ≥ 2时，

n2

a 12 3 n1 ≥ an

 2  a  3 ≥0

 a ≥ 9 ．

又 a2  a1  3  a1 ．

综上，所求的 a 的取值范围是9，  ．·························································· 12 分

x2

21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为 4

y2  1，

直线 AB，EF 的方程分别为 x  2 y  2 ， y  kx(k  0) ．······································ 2 分如图，设 D(x0，kx0 )，E(x1，kx1 )，F (x2，kx2 ) ，其中 x1  x2 ， 且 x1，x2 满足方程(1 4k 2 ) x 2

4 ， y

B F 故 x  x  2 ．①

O

D

x2 1

1 4k 2A

E

由 ED  6DF 知 x x1 5 10

0  x1  6(x2 0 ) ，得 x0 (6x2  x1 )  x2  ；

7 7

7 1  4k 2 由 D 在 AB 上知 x  2kx  2 ，得 x 

2 ． 0 0

0

1 2k

所以

2

10

，

1 2k

7 1  4k 2

化简得 24k 2

 25k  6  0 ，

解得 k  2 或 k  3

．·······················································································6 分3

8

（ Ⅱ ） 解 法 一 ： 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 ， 点 E，F 到 AB 的 距 离 分 别 为

hx1  2kx1  2 2(1 2k  1 41  k 2 ) ，

5  5(1 4k 2 )

hx2  2kx2  2 2(1 2k  1 4k 2 2  5  ) 5(1 4k 2 ) ．······················································· 9 分

9

又 AB  22 1  5 ，所以四边形 AEBF 的面积为

S  1

2

AB (h1  h2 )

 1 4(1  2k) 2  5

5(1 4k 2 )  2(1  2k) 1 4k 2

 2 1 4k 2  4k

1 4k 2≤ 2 2 ，

当 2k  1，即当k  1

时，上式取等号．所以 S 的最大值为2 2

2 ．························· 12 分

解法二：由题设， BO  1， AO  2 ．

设 y1  kx1 ， y2  kx2 ，由①得 x2  0 ， y2   y1  0 ， 故四边形 AEBF 的面积为

S  S△BEF  S△AEF

 x2  2 y2 ····································································································· 9 分

(x2 

2  2 y2 ) x2  4 y2 

2 2  4x y 2 2 ≤ 2(x2 2  4 y2 2 )

 2 2 ，

当 x2  2 y2 时，上式取等号．所以 S 的最大值为 2 2 ．········································ 12 分 22．解：

(x)  (2  cos x) cos x  sin x( sin x) 2 cos x 1 (2  cos x)2 （Ⅰ） f ．·························· (2  cos x)2

····2 分

当 2kπ 

2π  x  2kπ  2π （ k  Z ）时， cos x   1

，即 f (x)  0 ；

2π

3

 x  2kπ  4π

3 2

当 2kπ （ k  Z ）时， cos x   1

，即 f (x)  0 ．

3 3 2

10

因此 f (x) 在每一个区间

2kπ 

2π ，2kπ  2π  （ k  Z ）是增函数，  

3 3 





f (x) 在每一个区间

2kπ  2π ，2kπ  4π  （ k  Z ）是减函数．····························· 6 分

 3 3  



（Ⅱ）令 g(x)  ax  f (x) ，则

g(x)  a 2 cos x 1 (2  cos x)2

 a 2 2  cos x 3

(2  cos x) 2

 1

2

 3 2 cos x 1 1 3   a  ．  3

故当 a ≥ 1

时， g(x) ≥ 0 ．

3

又 g(0)  0 ，所以当 x ≥ 0 时， g(x) ≥ g(0)  0 ，即 f (x) ≤ ax ．························ 9 分当0  a  1

时，令 h(x)  sin x  3ax ，则 h(x)  cos x  3a ．

3

故当 x 0，arccos 3a 时， h(x) 

0 ．因此 h(x) 在0，arccos 3a 上单调增加．

故当 x  (0，arccos 3a) 时， h(x)  h(0)  0 ， 即sin x  3ax ．

于是，当 x  (0，arccos 3a) 时， f (x) 

sin x  sin x  ax ． 当 a ≤ 0 时，有 f  π   1  0≥a  π

2  cos x 3

．

 2 

2

2 

因此， a 的取值范围是 1，  

．···································································· 12 分

 3



11