一.知识总结
1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）
(1)
(2)奇函数
在原点有定义
为奇函数;为偶函数;
(3)任一个定义域关于原点对称的函数个偶函数之和
一定可以表示成一个奇函数和一
即
（奇）（偶）.
2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)
(1)定义:区间上增函数,若
(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.
3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)
上任意两个值时有
,若,称
时有为
上减函数.
,称
为
满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.
二.例题精讲
【例1】已知定义域为的函数
(Ⅰ)求
(Ⅱ)若对任意的
,不等式
取值范围.
解析：（Ⅰ）因为
是奇函数，所以
=0，
是奇函数.
的值;
恒成立,求的
即
又由f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
即 ： 整理得
，
，
上式对一切均成立，
从而判别式
【例2】设函数
表示和,并求
解：依题意有
而
在处取得极值－2,试用
的单调区间.
故 从而
解得
。
令 由于
，得在
或处取得极值，
。
故
，即。
（1） 若，即，则当时，；
（2） 当
时，；当时，；
从而的单调增区间为；
单调减区间为
若，即，同上可得，
的单调增区间为；单调减区间为
【例3】(理)设函数
成立,求实数的取值范围.
(文)讨论函数
（理） 解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax．
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．
,若对所有的,都有
的单调性
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea
－1
－1，
当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]． （文）解：设
，
则
∵
∴
，
当
时，
当
时，
当
时，
为常量，无单调性
，则
为减函数
，则
为增函数
，
，
【例4】(理)已知函数 (Ⅰ)若
(Ⅱ)若
,且
=4,试证:
.
,讨论函数
,其中的单调性;
为常数.
(文)已知求
的表达式.
为定义在上的奇函数，当时，，
（理）
（文）解：∵
为奇函数， ∴
当
∵
为奇函数 ∴
∴
时，
∴
三.巩固练习
1.已知值范围是( ) A.
B.
C.
是上的减函数,那么的取
D.
2.已知是周期为2的奇函数,当
则( )
时,,设
A.
3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A.
B. C. D.
B. C. D.
4.若不等式( )
对于一切(0,)成立,则的取值范围是
A.0 B. –2 C.- D.-3 5.设 A. C.
6.已知定义在上的奇函数为( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
7.已知函数于直线
对称,记
的图象与函数
（.若
且
）的图象关在区间
上
满足
,则
的值
是偶函数 D.
是偶函数
是奇函数 B.
是奇函数
是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
是增函数,则实数的取值范围是( )
A.
8.(理)如果函数
增函数,那么实数的取值范围是( )
在区间
上是
B.
C.
D.
Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
9.对于上可导的任意函数 A.D.
10.已知
A.
B.
C.
11.已知函数
,若
12.已知函数
时,
是定义在,则当
13.
是定义在上的以3为周期的偶函数,且
=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是
( )
,则方程
上的偶函数. 当时,
. 为奇函数,则
. D.
,则( )
B.
C.
,若满足
,则必有( )
Ｄ.
A.5 B.4 C.3 D.2
14.下列函数既是奇函数,又在区间 A.
上单调递减的是( )
B. C. D.
15.若函数
, 则该函数在
A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值
16.若函数
在区间
则的取值范围是( )
A.
B.
C.
17.设
是定义在上的奇函数,且
的图象关于直线 D.
内单调递增,上是( )
对称,则
18.
设,.
(Ⅰ)试判断函数
(Ⅱ)试求方程证明你的结论.
19. (理)已知
(1)当为何值时,
,函数
的奇偶性;
函
数
在
______.
上满足
,且在闭区间［0，7］上,只有
=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并
取得最小值？证明你的结论;(2)设在
[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.
(文)已知象关于直线且 (1)求
的解析式;(2)求
的单调区间;(3)若
的最大值为
.
为偶函数且定义域为对称,当
时,
,
的图象与
的图
,为实常数,
12,求.
20.已知函数
处的切线方程为
(1)求函数
的解析式;(2)求函数
21.已知向量
若函数
在区间（－
的单调区间.
的图象过点（0,2）,且在点.
1,1）上是增函数,求的取值范围.
22. (理)已知函数
,
,
.若
,且
存在单调递减区间,求的取值范围.
(文)已知函数
间
巩固练习参考答案
1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7.
在
上是增函数,求实数的值.
上是减函数,且在区间
D 8. B 9. C 10. A 11. a= 12. -x-x4 13.
B 14. D 15. A 16. B 17. 0
18 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数
,
从而知函数
不是奇函数,
的对称轴为
由 从而知函数 故函数
, 的周期为是非奇非偶函数;
又
,
(II)由
(II) 又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数 在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解, 所以函数
19. (理) 解：（I）对函数
求导数得
令
得［
+2(1－)－2］
=0从而
在[-2005,2005]上有802个解.
+2(1－)－2=0
解得
当 变化时，
、
的变化如下表
+ + 递增 0 极大值 － 递减 0 极小值 递增 ∴在=处取得极大值，在=
处取得极小值。
当≥0时，<－1,在数,
上为减函数，在上为增函
而当时=
.
时，
，
当x=0时，
所以当
取得最小值
（II）当≥0时，
即
于是
在上为单调函数的充要条件是
，解得
，
，
，
在[-1，1]上为单调函数的充要条件是
即的取值范围是
(文)解: (1) 先求
设
是
在
上的解析式
上的一点,
则点
关于
的对称点为
所以
得
再根据偶函数的性质, 求当
上的解析式为
.
且
所以
(2) 当
时,
因
时, 所以
因, 所以 所以
在
, 所以而.
上为减函数.
当时, 所以
因
,
因所以, 所以
, 即
所以在上为增函数
(3) 由(2)知
在
上为增函数，在
又因
为偶函数, 所以
所以
在
上的最大值
上为减函数,
由
20.解：（Ⅰ）由 所以 知
由在
得.
的图象经过P（0，2），知d=2，
处的切线方程是
，
故所求的解析式是 （Ⅱ） 解得 当 当
故 在
21. 解法1：依定义
内是减函数，在
内是增函数，
内是增函数.
故要使
.
解法2：依定义
开口向上的抛物线，
在区间（－1，1）上恒成立
的图象是开口向下的抛物线，
22. (理) 解：
，
则 所以
因为函数h(x)存在单调递减区间，
<0有解.又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax+2x－1为开口向上的抛物线，ax+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1 , 当 时 , , , 22 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容