2011数学建模A题参考答案

城市表层土壤重金属污染模型初探

摘 要

土壤是人类赖以生存和发展的物质基础。对我国这个人口大国而言，土壤问题显得尤为重要，但随着我国社会经济的飞速发展，土壤污染总体上却呈加剧趋势。本文通过查阅众多文献资料，分析大量数据，探究城市表层土壤重金属污染状况。通过使用Eviews6.0软件，计算数据的统计特征值，测算重金属在土壤表层的污染指数和变异系数，从而得出各重金属元素的空间分布特征。然后，分别采用单因子污染指数法和多因子污染指数法，找出同一区域内的主要污染元素，并给出出主要污染原因。由重金属的空间分布特征、统计特征值及污染原因，分析得出在8种重金属元素中，Cu、Hg、Zn三种元素污染最为明显，故本文在第三部分重点分析三者的传播特征。通过分析Matlab画出的重金属元素污染的分布图，得出重金属元素污染以同心圆的方式向四周传播扩散，而且各点处的重金属元素污染物浓度与该点距污染源的距离成负趋势函数关系的结论。为了避开由于多污染源叠加影响造成的误差，本文按照元素的污染高浓度聚集点，对整个城区进行分块处理，使得每一个污染块中仅含有一个污染源，从而简化模型，构造出污染物浓度与坐标值间的函数关系式Qf(x,y,z)，并通过Cu、Hg、Zn三种元素的数据对函数进行拟合得出参数值，由参数值得出的模型通过了统计中的T检验与F检验，模型拟合度合理，验证了上述模型的正确性及有效性。为了研究地质环境的演变模式，本文提出引入定期收集同一采样点各金属元素浓度的信息，构建浓度与时间、坐标值之间的函数关系，从而缩小之前模型的误差，使其更符合实际规律。

关键词：统计特征值，污染指数，分块，拟合。

一 问题重述

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

现要求通过数学建模来完成以下任务：

(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

二 问题分析

针对问题一，为了给出元素的空间分布及不同区域的污染程度，需要知道八种元素在各功能区的统计特征值及各功能区中各元素的浓度特征值，进而通过因子分析法分析不同区域重金属的污染程度。

针对问题二，通过分析各区域不同元素的污染程度，确定金属元素对土壤污染的主要原因。

针对问题三,为了建立传播模型，需要通过分析Matlab画出的金属元素分布图，采用分区拟合的方式，建立元素浓度与位置的函数关系，再由函数关系求解污染源的位置。

针对问题四，为了优化所建模型，构建地址环境的演变模式，需要收集有关浓度与时间的信息，构建更为合理的信息。

三 假设条件

（1）假设每个采样点的数据都能够全面的反应其所在1平方公里网格内的重金属浓度信息。

（2）假设测量数据基本准确。 （3）假设各元素的浓度互不影响。

（4）假设金属元素浓度越高的地方越接近污染源。

四 符号说明

Pi：重金属的污染指数，为重金属污染物浓度的平均值与背景值的比值，它反映

了重金属的污染程度，

Pi值越大，污染程度越高；

Pi2：同一区域内各重金属污染指数的算术平均值； Pi(mas)Pn：同一区域内各重金属污染物污染指数的最大值；

：内梅罗污染指数；

Ti：重金属的变异系数，为重金属污染物浓度的平均值与背景值的比值，它反映

了重金属污染物的分散程度，Ti值越大，污染物分布的越不均匀；

五 模型的建立与求解

5.1重金属元素的空间分布

通过使用Eviews6.0软件，对附件中的数据进行分析处理，得到8种重金属元素在各区域内的污染物浓度的各统计特征值，主要包括：最大值、均值、标准差、污染指数、变异系数等，见附录1。

8种重金属元素的统计特征值表明，它们在各区域的污染物浓度的平均值和中位数都超过了当地的土壤背景值，由此可知本城区的土壤已经受到了不同程度的污染。其中以Hg和Zn最为显著，Hg在生活区的污染指数为27.53，污染平均值高达953.66μg/g，它对交通区的污染程度也不可小觑，变异系数为487.95%，污染分布极其不均。Zn对于城区的污染主要体现在生活区、工业区和交通区，污染指数分别为7.27、3.84、3.52。Cd和Cr对土壤污染的分布相似，都集中在生活区和交通区，其中Cd在山区的变异系数最大，分布最为不均。Se、Ni，Pb对于城区的污染相比于其他重金属元素不是特别显著，但是不可否认的是它同样是土壤污染的重要因素。Cu对于生活区土壤的污染程度比Hg低，但却远远高于Se、Ni，Pb等元素。 5.2不同区域的污染程度

城市的功能分区，为我们研究不同重金属元素对土壤的污染提供了又一思路。同一区域重金属的污染数值见附录二2。在此，本模型分别采用单因子污染指数法和多因子污染指数法分析不同区域的重金属污染程度。

5.2.1单因子污染指数法

分析不同区域各种重金属元素污染物的污染指数，分别得出各区域各种重金属元素的污染程度，并绘制成图表，如图1-5所示。生活区重金属元素分布302520151050As2.08Cd3.87Cr3.81Cu13.24Hg27.45Ni1.9Pb3.75Zn7.27系列1 图1 生活区各重金属元素污染程度 工业区重金属元素分布43.532.521.510.50As1.17Cd2.49Cr1.64Cu3.82Hg2.26Ni1.19Pb1.97Zn3.84系列1

图2 工业区各重金属元素污染程度 山区重金属元素分布32.521.510.50As1.42Cd1.73Cr1.28Cu1.9Hg2.59Ni1.21Pb1.45Zn1.51系列1 图3 山区各重金属元素污染程度 交通区重金属元素分布14121086420As1.59Cd2.77Cr1.87Cu4.71Hg12.77Ni1.43Pb2.05Zn3.52系列1

图4 交通区各重金属元素污染程度 公园绿地区重金属元素分布3.532.521.510.50As1.74Cd2.16Cr1.41Cu2.29Hg3.29Ni1.24Pb1.96Zn2.24系列1

图5 公园绿地区各重金属元素污染程度 从图1-5可以观察到Hg对于生活区土壤的污染,污染系数高达27.45，呈强度污染。同样，在生活区Cu对于土壤的污染也占据一席之地，污染指数为13.24。工业区中，Cu和Zn是主要的重金属污染元素，污染指数分别为3.82和3.84。Hg在交通区，山区，公园绿地区都是主要的污染元素，污染指数分别为2.59、12.77和3.29，此外Cd对于山区和公园绿地区的污染也大为严重，污染指数为1.73和2.16。 5.2.2 多因子污染指数法

考虑到现实生活中常常是多种污染物同时污染一个区域的土壤现象，单因子评价难以说明它们的整体污染状况，这时就需要采用多因子评价办法。为此引入内梅罗污染指数计算公式：

Pn=Pi2Pi(mas)22 经计算，绘制出5个功能区8种金属元素的平均污染综合指数图，如图6所示。

该城区各功能区污染指数252015平均污染综合指数1050生活区20.20208778工业区3.164182853山区2.173103912功能区交通区9.428915674公园绿地区2.73777296系列1

通过数据可以看出，在本城区内生活区和交通区的重金属污染最为严重。其中，生活区的平均污染综合指数高达18，交通区为7 5.3重金属污染原因 通过上文可知生活区和交通区的重金属污染非常严重。生活区中, Hg对土壤的污染最为显著，主要是随着城市工业化的迅速发展，工业生成的Hg废水涌入河道，使城市污水中含有的许多重金属离子，随着污水灌溉而进入土壤。在分布上，往往是靠近污染源头和城市生活区、工业区的土壤污染严重。此外大气汞的干湿沉降也可以引起土壤中汞的含量增高。大气汞通过干湿沉降进入土壤后，被土壤中的粘土矿物和有机物的[3]

吸附或固定，富集于土壤表层，或为植物吸收而转入土壤，造成土壤汞的浓度的升高。不容忽视的是城市的生活垃圾，也对土壤有严重的污染，因为周围的土壤会受到垃圾的放射影响。

交通区中的Hg、Zn、Cd和Pb污染分别是当地背景值的12.77、3.52、2.77和2.05倍，原因是由于公路等交通干线两侧的土壤常年受到含铅汽油的燃烧和汽车尾气的沉降，以及汽车汽车轮胎磨损产生的含锌粉尘等。它们成条带状分布，重金属污染强度以公路等线路为轴向两侧逐渐减弱；随着时间的推移，公路两侧土壤受重金属污染具有很强的叠加性[3]。在工业区Cu和Zn是主要的重金属污染元素，污染指数分别为3.82和3.84。它们的平均值都远远大于当地的背景值。可见工业区在开采和使用重金属的过程中，都会或多或少的对土壤造成污染，工业“三废”的排放主要是Zn，一个城市的重工业。

5.3模型的建立与求解

5.3.1重金属污染物的空间分布特征

从前文的分析结果可知， Cu，Hg，Zn三种重金属元素对本城区的污染最为严重，因此要重点研究这三类元素的分布特征。题目中的数据已经给出了各采样点的空间位置和对应的污染物浓度值，可以用这两组数据模拟出不同元素在本城区的污染程度分布图。通过分析附表中的数据，发现有某些采集点处的污染物浓度值与其相邻采集点的浓度值相差非常大，可能是由于数据采集时的某些人为因素所致，为使求解更加精确有效，

首先要将这些数据剔除。此外，对于污染物浓度值低于背景值的采集点，可以认为是还没有被污染的地点，也可排除。将删除后的数据用Matlab软件进行绘制，得到Cu，Hg，Zn三种重金属元素在本城区的污染程度的分布图，如图1-3所示。需要说明的是，考虑到所给数据中海拔一值的变化幅度相对不是很大，为了使图像更加直观，在拟合的过程中将其忽略（在建立的模型中保留）。

18000160001400012000150 250200y(m)1000080006000400020000 0100500-500.511.5x(m)22.5x 104

图1 Cu的污染分布图

1800016000140001200120001000080006000200400020000 00-200-4000.511.5x(m)22.5x 104 1800160014001000800600400y(m)

图2 Hg的污染分布图

18000160001400012000 2000150010005000-500y(m)1000080006000-1000400020000 0-1500-20000.511.5x(m)22.5x 104

图3 Zn的污染分布图

从图1-3中可以看出，Cu，Hg，Zn三种重金属元素均在本城区内出现了几个污染物高浓度的聚集点，且浓度按同心圆方式逐层降低，离中心位置越远的点浓度越低。 5.3.2 模型建立

为了克服两个污染物高浓度聚集点间的叠加效应和计算的简化，可以将城区按照聚集点的位置分块讨论，每块仅含有一个污染物高浓度的集点（即污染源）。具体阐述如下：

通过图1、图2、图3可以知道Cu、Hg、Zn三种元素在城区中高浓度分布点的个数及大概位置，再利用Excel附件中的数据可以找出相应高浓度点的坐标，因为随着离污染源距离的增大元素浓度下降，也就可以认为浓度越高的点越靠近污染源，进而可以认为在高浓度点附近必然存在污染源，为了克服两个污染物高浓度聚集点间的叠加效应和计算的简化，需要以上述高浓度点为中心分区拟合模型，使得每个区内仅有一个污染源。可以在两个高浓度间选取浓度相对较低的点连成的线作为两个区域的分界线，理论依据在于随着离污染源中心距离的增大，污染源对该点的影响减弱，所以可以认为浓度相对较低的点是分别受两边影响都小，可以作为分界点；亦可以取两个高浓度点间距离的一半作为半径，分别以两个高浓度点为圆心作圆，每个圆就是一个区；但并不是每一个区域都是圆形，可以根据图1、图2、图3中浓度分布图，适当调整区域形状，使其更符合实际浓度分布规律。通过以高浓度点为中心对区域进行分区处理，有效地减小由于多污染源重叠影响造成的误差。

考虑到各采集点处的污染物浓度值与它到污染源的距离呈相反的变化趋势，离污染源越近的地点污染浓度值越高，越远则越低，于是在各区内建立以下模型。

Qik(xai)(ybi)(zci)di222 （1）

其中，k,di为常数，Qi为第i个污染块内某一点(x,y,z)处的污染物浓度，(ai,bi,ci)为该污染块内污染源的位置坐标。

为了使下文数据处理更加简便，做变换

k(xa)2(yb)2(zc)2d （2） 2Q等价于

1222AxByCzDxyExzFyzGxHyIzJ （3） 2Q其中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J由a,b,c,d确定。

以Cu元素为例，来说明如何利用模型（3）确定污染源的位置。从图1中可以看出，Cu在区域G{(x,y,z)5291x26416,374y17949,3z171}内仅出现一个污染物高浓度聚集点，可以把它划分成一个污染块进行处理。通过eviews软件用区域G中的采集点对式（3）进行，得到：

Q=（0.001436036703481.00856957096*1011x22.63849379707*108y27.14506434198*106z24.28535660025e10xy1.145550488*106yz2.14139363895*109zx2.06099165055*107x2.57168458556*106y 4.68121171586*10z）5-12 （4）

(x,y,z)G

上式即为Cu元素在G区域内关于坐标的传播函数。

由此传播函数，将附件一中筛选后的采样点的坐标值代入（4）式，得到模型函数值（见附件），模型拟合结果分别通过了统计中的T检验与F检验，模型函数值与测量值的拟合效果如图4：

4,0003,5003,0002,5002,0001,5001,0005000255075100L125E150175200（图4）

其中F为附件中给出的测量值，M为模型函数值，由图可知两者拟合效果较高，有效地证明了上述模型的正确性与合理性。

由图1、图2、图3可以大概确定Cu、Hg、Zn污染源的个数，进而进行分区处理，再按上述同样地方法可以得到该城区中其他的污染源及相应金属元素传播模型。如下：

(x,y,z)H H{(x,y,z)|0(x,y,z)JJ{(x,y,z)|6395（x,y,z）M M{(x,y,z)|18738N(0.0000505463182901-4.59871567388*10-12x2+3.92975867835*10-12y2+9.55692080762*10-9z2- 4.17332787605*10-12xy+5.64049338813*10-10yz+2.68406838522*10-10zx+0.0000000636033120332x-0.0000000319921952321y - 0.0000041749890441z)12

(x,y,z)N N{(x,y,z)|0(x,y,z)P P{(x,y,z)|23835.3.3 确定污染源

对（4）分别对x,y,z求偏微分得到（4）的极值点，即为G区域Cu污染源的坐标O，坐标

为：

O(11747,107,7)

从图1中可以看出，在图形靠近原点的地方有一个金属浓度较高的点，在其附近可能存在一个污染源，而计算出的污染源O的坐标y为负值，是一个在第四象限的靠近原点的污染源，符合实际规律及函数推断，也证明了模型的正确性与合理性。

用同样地方法，对其他五个区域的传播函数求解得出其他五个污染源位置，分别为： H区Cu污染源 J区Hg污染源 （4100.1,4837,25.6）（23223,9934,70）M区Hg污染源 N区Hg污染源 （8514.8,96.4,13.1）（9240,905,243）P区Zn污染源 （2674,5072,1197） 六 模型的评价和创新

6.1创新之处

（1）在不考虑海拔的情况下，分别利用各种重金属元素的污染浓度值与采样点的空间坐标值绘制成图（见图1、图2 、图3），从图中找到污染最为严重的地方，并以此为中心进行分块，各污染块内只有一个污染源，达到分解进而简化问题的目的，减少不同污染源的相互叠加产生的误差。

（2）在拟合函数的过程中，筛选并且剔除了一些不合理的数据，其中包括将各元素的采集点中浓度低于当地土壤背景值的点删去，以及将个别孤立的突兀的浓度极高的点删去，进而提高函数拟合的精度。

（3）本模型在构建过程中，从实际传播特征出发，猜想传播函数，使得函数接近实际规律，再利用海量数据对模型进行拟合与修正，从而提高模型与实际规律的吻合度。

6.2不足之处

（1）在模型的构建过程中，由于无法直接得到浓度与坐标之间的函数图像，只能从

理论上分析得出距离与浓度之间存在减函数的关系，进而直接构造关于距离的减函数表达式，再进行拟合，这样会使得模型的误差率过高。

（2）本文只给出了采集点的坐标值和对应的污染浓度值，虽然已经建立出了一个较合理的模型，但是由于可用分析数据的单一，必然会使所得结论的误差偏高，还有待补充数据种类，加以改进。 6.3模型新建

为了更好的研究城市地质环境的演变模式，需要定期收集同一个采样点的金属污染浓度值，进而分析浓度随时间的变化关系；还需要收集当地的水文信息，因为以水为载体的传播方式是重金属元素传播的重要方式；当地主要的污染性企业、居民区的主要污染物；当地的土壤土质结构及相关信息。

在有了上述信息后，就可以大致确定污染源的位置，进而构建浓度与时间、位置的函数关系，具体阐述：浓度与距离之间存在减函数关系，同时，随着时间的推移，每个测量点会由于金属元素的积累而使得浓度逐渐升高，即浓度随时间成增函数关系。故可构造以下模型：

Qkf(t)(xa)(yb)(zc)d222

其中f(t)及a,b,c,d,k的值可由收集到的具体信息进行函数拟合求出具体的参数值，进而得出函数模型。

由上述模型可以得出每个采样点的元素浓度，进而分析出当地土质中重金属元素污染物浓度的演变特征

参考文献：

[1]黄璜、南忠仁等《金昌市城区土壤中金属空间分布及潜在生态危害评价》，《环境监测管理和技术》（21卷第5期）31—33页，2009年10月

[2]李梦红、黄现民等《新泰市农田重金属污染现状及评价》，《安徽农业科学》（37卷第31期）2009年

[3]扬州大学环境科学和工程学院 《重金属对植物的危害之课程学习指南》http://jpkc.yzu.edu.cn/course/zwyyx/0501kcrr_09.asp

附录： 附录1

As元素在不同区域内的分析

区域 1生活区 2工业区 3山区 4交通区 5公园绿地区 最大值 最小值 中位数 标准差 平均值 变异系数 背景值 污染指数 21.87 8.50 30.13 30.13 11.68 3.30 1.77 1.77 1.61 2.77 6.25 3.79 4.59 5.36 6.26 3.93 1.48 3.71 3.24 2.02 7.48 4.21 5.10 5.71 6.26 52.45% 35.15% 72.75% 56.74% 32.27% 3.6 3.6 3.6 3.6 3.6 2.08 1.17 1.42 1.59 1.74

Cd元素在不同区域的数值

区域 1生活区 2工业区 3山区 4交通区 最大值 最小值 中位数 标准差 平均值 变异系数 背景值 污染指数 1213.50 751.20 1619.80 1619.80 90.50 70.90 40.00 50.10 447.25 281.54 304.65 162.97 151.85 249.74 304.65 243.39 502.97 323.83 224.95 360.01 55.98% 50.33% 111.02％ 67.61% 130 130 130 130 3.87 2.49 1.73 2.77

Cr元素在不同区域的数值

区域 1生活区 2工业区 3山区 4交通区 5公园绿地区 最大值 最小值 中位数 标准差 平均值 变异系数 背景值 污染指数 920.84 306.02 173.34 920.84 96.28 29.07 15.32 17.46 15.32 16.31 74.03 44.91 36.23 44.02 41.00 166.97 45.24 22.13 81.61 14.84 118.16 50.79 39.60 58.05 43.63 141.31% 89.07% 55.88％ 140.59% 34.01% 31 31 31 31 31 3.81 1.64 1.28 1.87 1.41

Cu元素在不同区域的数值

区域 1生活区 2工业区 3山区 4交通区 5公园绿地区 最大值 最小值 中位数 标准差 平均值 变异系数 背景值 污染指数 1213.50 751.20 1619.80 1619.80 1024.90 90.50 70.90 40.00 50.10 97.20 447.25 281.54 304.65 162.97 151.85 249.74 304.65 243.39 197.00 235.84 502.97 323.83 224.95 360.01 280.54 55.98% 50.33% 111.02％ 67.61% 84.07% 130 130 130 130 130 3.87 2.49 1.73 2.77 2.16

Hg元素在不同区域的数值

区域 1生活区 2工业区 3山区 4交通区 5公园绿地区 最大值 最小值 中位数 标准差 平均值 变异系数 背景值 污染指数 16000.00 900.00 16000.00 1339.29 16.00 8.57 8.57 10.00 169.00 3081.35 953.66 45.50 146.88 30.00 261.59 54.00 224.28 78.98 90.52 114.99 323.11% 185.97% 288.99％ 487.95% 195.04% 35 35 35 35 35 27.45 3.82 2.59 4.71 2.29 1714.29 9.64 54.00 2180.27 446.82

Ni元素在不同区域的数值

区域 1生活区 2工业区 3山区 4交通区 5公园绿地区 最大值 最小值 中位数 标准差 平均值 变异系数 背景值 污染指数 142.50 40.05 74.03 142.50 29.10 10.40 6.19 5.51 6.19 7.60 19.80 14.15 13.00 16.63 14.50 19.49 6.12 9.79 11.79 4.97 23.37 14.69 14.94 17.62 15.29 83.40% 41.66% 65.53％ 66.91% 32.50% 12.3 12.3 12.3 12.3 12.3 1.9 1.19 1.21 1.43 1.24

Pb元素在不同区域的数值

区域 1生活区 最大值 最小值 中位数 标准差 平均值 变异系数 背景值 污染指数 472.48 29.09 94.62 96.14 116.22 82.72% 31 3.75 2工业区 3山区 4交通区 5公园绿地区 133.72 227.40 181.48 227.40 22.73 19.68 22.01 26.89 59.19 33.49 58.42 40.18 25.11 33.30 32.53 45.84 60.96 44.81 63.53 60.71 41.19% 74.31％ 51.20% 75.51% 31 31 31 31 1.97 1.45 2.05 1.96

Zn元素在不同区域的数值

区域 1生活区 2工业区 3山区 4交通区 5公园绿地区 最大值 最小值 中位数 标准差 平均值 变异系数 背景值 污染指数 2893.47 3760.82 1389.40 3760.82 1389.39 46.84 32.86 34.39 40.92 37.14 317.20 547.46 143.62 607.79 75.51 165.03 156.61 384.78 95.92 230.92 501.39 264.86 104.50 242.85 154.24 109.19% 229.48% 157.92％ 158.44% 149.71% 69 69 69 69 69 7.27 3.84 1.51 3.52 2.24