2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题 城市表层土壤重金属污染分析（二维三次插值拟合）

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：

(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

附件1. 取样点位置及其所属功能区

编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x(m) 74 1373 1321 0 1049 1647 2883 2383 2708 2933 4233

y(m) 781 731 1791 1787 2127 2728 3617 3692 2295 1767 895

海拔(m) 5 11 28 4 12 6 15 7 22 7 6

功能区 4 4 4 2 4 2 4 2 4 4 5

1 2 3 4 5

功能区 生活区 工业区 山区 交通区 公园绿地区

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 4043 2427 3526 5062 4777 5868 6534 5481 4592 2486 3299 3573 4741 5375 5635 5394 5291 4742 4948 5567 7004 7304 7048 8180 9328 9090 8049 8077 8017 6869 7056 7747 8457 9460 9062 9319 10631 10685 10643 11702 11730 11482 1895 3971 4357 4339 4897 4904 5641 6004 4603 5999 6018 6213 6434 8643 7965 8631 7349 7293 7293 6782 6226 5230 4600 4496 4311 5365 5439 6401 7210 7286 8348 8260 8991 8311 7639 6799 6472 5528 4472 4480 5532 6354 14 2 7 5 8 16 6 0 6 2 4 5 5 15 29 12 10 9 6 7 11 10 24 15 24 20 18 29 39 18 37 49 21 45 45 49 57 34 45 71 54 61 1 1 4 4 1 4 1 4 1 1 4 1 5 1 4 4 4 2 2 2 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 10700 10630 11678 11902 13244 12746 12855 13797 14325 15467 12442 13093 13920 14844 16569 16387 16061 15658 14298 14177 15092 12778 17044 17087 17075 17962 18413 19007 18738 17814 18134 17198 17144 18393 19767 21006 21091 22846 23664 22304 21418 21439 8184 8774 8618 7709 7056 8450 8945 9621 8666 8658 4329 4339 5354 5519 6055 6609 7352 7594 7418 6684 6936 5799 10691 11933 12924 12823 11721 11488 10921 10707 10046 9810 9081 9183 8810 8819 9482 9149 9790 10527 10721 11383 50 29 17 30 37 21 18 18 23 17 65 56 79 62 78 44 28 24 36 35 32 93 93 43 25 25 88 84 53 64 41 37 20 26 46 55 43 69 46 40 35 45 4 4 4 4 4 4 4 4 3 1 4 4 4 1 1 5 5 4 1 4 5 4 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 1 4

96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 20554 20101 21072 20215 18993 19968 21766 22674 22535 25221 26453 26416 27816 25361 24065 25998 27177 26424 26073 24631 24702 25461 24813 26086 26015 27700 27696 27346 26591 27823 27232 24580 24153 22965 23198 24685 28654 24003 21684 22193 17079 15255 11228 10774 10404 9951 12371 12961 12348 12173 11293 5795 5577 6508 5581 6423 7353 7032 7771 8639 8807 9422 9522 9834 10799 11094 12078 11609 11621 13331 13715 14737 14482 13319 12450 13535 13523 14278 8755 15286 13101 12185 5894 5110 43 40 32 31 78 42 67 52 54 27 11 14 11 49 104 51 17 8 38 76 62 68 46 53 57 165 169 100 126 189 150 107 71 78 62 98 23 90 114 79 81 110 4 4 4 4 3 3 4 2 3 4 1 1 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3

138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 15007 3518 3469 3762 3927 4153 3267 4684 5495 5664 5541 5451 4020 4026 5101 5438 5382 5314 5503 5636 6605 7093 7100 6837 7906 8045 8394 8403 8079 9663 9469 9178 9095 10225 10210 10340 11557 11415 11649 12734 12696 12400 5535 2571 2308 2170 2110 2299 793 1364 1205 1653 2093 2757 2990 3913 4080 3994 3012 2060 1127 133 374 1381 2449 3490 3978 3052 2035 1075 0 1288 2286 3299 3975 3821 2789 1764 1581 2585 3515 4015 3024 2060 70 59 52 30 27 73 0 37 9 13 26 92 27 13 13 10 50 40 6 17 6 45 89 28 22 39 27 6 16 3 15 42 26 19 19 7 7 12 27 43 27 13 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 1 2 1 4 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 2 4 4

180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 12591 13765 13694 13855 14862 14896 15387 15810 16032 15801 15087 16872 17734 16823 17008 17203 17005 16947 16301 17904 18303 18438 18556 18954 18012 19072 20282 21475 21450 20261 19569 19411 19501 20582 19909 21018 22176 23359 23238 22624 21703 5006 1063 1353 2357 3345 2524 1603 729 2307 3061 3966 3512 2798 3629 4207 4775 6218 7212 7487 8299 8287 7385 6539 5588 4874 4414 8519 8590 8540 7555 7586 7348 6934 6091 6548 5300 5764 5492 5325 6502 4818 6591 8846 18 15 33 79 28 4 8 8 35 115 69 10 14 67 82 40 33 41 24 25 39 22 15 4 20 36 57 85 58 29 70 28 9 13 3 9 25 28 169 27 65 6 1 4 4 1 1 2 1 1 4 3 5 4 4 5 3 1 4 2 1 1 5 4 5 4 4 4 4 3 4 3 3 3 4 5 4 4 4 3 3 3 3 2

222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 5734 6395 7405 8446 7612 7912 8866 9296 9475 9212 8629 7776 8622 9237 8307 7106 6423 7458 8904 10547 10398 10395 11529 11563 11646 12641 14000 14207 14065 12734 12727 14173 15467 15140 15198 15248 16428 16289 16267 16440 16440 15412 9659 10443 10981 11200 11938 12840 13143 13102 12000 11305 12086 10613 10638 9872 9726 9467 8831 8920 8868 9591 10360 11203 11243 10298 9381 9560 8970 9980 10987 10344 7691 11941 12080 11101 10100 9106 9069 10072 11058 12068 13232 12982 3 4 6 4 2 1 3 9 9 5 1 9 4 28 14 44 40 36 24 32 0 8 16 12 14 11 14 14 25 32 32 14 23 30 28 16 20 43 60 47 24 21 4 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 4 4 4 1 4 4 2 2 2 2 4 3 4 5 1 2 4 4 1 1 4 4 2 4

264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 14269 13277 13175 12153 11958 10800 10022 9333 9277 11121 10856 12644 12625 9036 10599 12632 14405 14074 14262 14624 16629 18470 20591 20983 20177 19041 18906 18467 17414 15748 15517 16607 15952 22605 23146 22046 23785 25981 27380 25021 23325 26852 12877 13204 12238 12336 13313 13282 12204 14631 16148 16432 14727 14943 16259 17538 17980 17949 18032 16516 15129 14004 14481 14411 13549 15862 17642 15769 16346 17001 15476 15728 17034 17365 18397 14301 15382 17634 17643 18051 18202 16290 16701 16114 27 19 31 16 13 9 5 4 18 23 41 43 66 3 11 33 152 124 66 25 41 59 42 93 276 90 173 308 97 56 77 155 103 93 153 171 194 173 136 104 105 225 4 4 4 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 4 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 3 3 4 4 5 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3

306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319

17981 14482 14318 10352 9095 10510 13954 10142 17765 6924 4678 6182 5985 7653 18449 12692 13569 17133 16414 15314 5615 1662 3561 5696 3765 2005 2567 1952 93 20 30 31 29 19 61 8 8 7 40 25 44 48 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

B题 交巡警服务平台的设置与调度

“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：

（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。

如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速

搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。

附件1：A区和全市六区交通网络与平台设置的示意图。

附件2：全市六区交通网络与平台设置的相关数据表（共5个工作表）。

附图1：A区的交通网络与平台设置的示意图

附图2：全市六区交通网络与平台设置的示意图

说明：

（1）图中实线表示市区道路；红色线表示连接两个区之间的道路；

（2）实圆点“·”表示交叉路口的节点，没有实圆点的交叉线为道路立体相交； （3）星号“*”表示出入城区的路口节点；

（4）圆圈“○”表示现有交巡警服务平台的设置点； （

5）圆圈加星

全市路口节点标号

1

路口的横坐标X

413 403 383.5 381 339

路口的纵坐标Y

359 343 351 377.5 376

路口所属区域

A A A A A

发案率(次数)

说明：

（6）附图2中的不同颜色表示不同的区。

1.7 2.1 2.2 1.7 2.1

”表示在出入城区的路口处设置了交巡警服务平台； *2

3 4 5

A列：是全市交通网络中路口节点的标号（序

B列：路口节点的横坐标X，是在交通网络中

C列：路口节点的纵坐标Y，是在交通网络中D列：路口节点所属的区

6 7 8 335 317 334.5 383 362 353.5 A A A 2.5 2.4 2.4 E列：各路口节点的发案率是每个路口平均每

地图距离和实际距离的比例是1:100000,即19 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

333 342 282 325 247 301 219 316 225 270 280 292 290 335 337 328 415 335 432 371 418 374 444 394 251 277 234 271 225 265 212 290 227 300 256 301 250.5 306 243 328 246 337 314 367 315 351 326 355 327 350 328 342.5 336 339 336 334 331 335 371 330 371 333 388.5 330.5 411 327.5 419 344 411 343 394 346 342 342 342 348 325 372 315 374 342

372

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

2.1 坐标的长度单位为毫米 1.6 2.6 2.4 2.2 2.5 2.1 2.6 2.5 1.9 1.8 1.9 1.4 1.4 2.4 1.1 1.6 1.2 0.8 1.3 1.4 2.1 1.6

1.5 案发地P点的标号：32 1.4 1.7 1.4 1.1 0.1 1.2 1.4 1.7 1.4 1.4 1.7 1.1 1.4 1.2 1.6 1.4 1.2

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93

345 382 348.5 380.5 351 377 348 369 370 363 371 353 354 374 363 382.5 357 387 351 382 369 388 335 395 381 381 391 375 392 366 395 361 398 362 401 359 405 360 410 355 408 350 415 351 418 347 422 354 418.5 356 405.5 364.5 405 368 409 370 417 364 420 370 424 372 438 368 438.5 373 434 376 438 385 440 392 447 392 448 381 444.5 383 441 385 440.5 381.5 445 380 444 360 140

130

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B

1.1 0.8 0.6 1.4 0.9 1 0.5 0.8 1.1 0.9 0.7 0.6 1.2 1.4 0.8 0.7 0.8 0.8 0.9 1.1 0.9 1.1 0.8 0.9 1.1 0.8 1.1 0.8 0.8 0.8 0.8 1.4 1.1 0.9 1 1.2 1.4 1.1 0.9 1.4 0.9 0.9 0.8 1.6

94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137

145 118 160 96 142.5 71 150 70 186 145 158 73.5 121 68 157 145 158 138.5 159 135 133 114 137.5 113 144 112 139 117 144.5 115 151 113 151.5 118 150 111 158 118 159 109 164 108.5 163 105 149 99.5 143 102 137 103 131 103 130 100 127 102 125 98 129 96 130 90 124 90 136 96 136 90 142 96 148 96 142 91 147 91 128 71 136.5 76 142 79 147 81 154 86 148.5

74.5

B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

1.6 1.6 2.1 1.8 1.6 2.6 2.6 1.1 0.9 0.5 0.7 0.4 0.8 0.2 0.8 0.6 0.9 0.8 1.1 0.8 0.4 0.7 1.2 0.8 0.9 0.5 0.6 0.6 0.8 0.9 0.4 0.7 1.1 0.8 0.8 0.7 0.6 0.7 1.2 0.8 1.1 0.8 0.9 1.1

138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181

140 70 140 63 137.5 63 138 59 143 63 151 69 153 63 143 60 143 57 143 51.5 160 65 162 59 141 49 143 40 151 44 150 33 164 124 171 125 165.5 139 181 131 176 141 170 140 168 145 166 150 176 145 180 149 183 145 202 131 137.5 462 167 399 376 400 210 390 263 445 284 409 278.5 425 295 382 299 444 362 443 410 408.5 395 520 277 496 235 465 200 466.5 167

462

B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C C C

0.6 0.7 0.8 0.4 1.1 0.8 1.1 0.7 0.6 0.8 1.1 0.6 0.4 0.8 0.5 0.1 0.6 0.7 1.1 1.4 1.6 0.8 0.6 0.8 0.6 0.7 1.1 1.1 2.6 2.2 1.4 2.6 2.2 1.9 2.2 2 2.6 2.2 2.1 2.2 1.7 2.2 1.9 2.4

182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225

225 443 400 447 414 422 424 400 411 396 420 401 403 404 376 406 380 404 377 424 374 424 370 423 368 427.5 374 431 365 448 356 450 358 459 354 495 357 513 359 528 347 553 261 537.5 270 514 313 511.5 324 511 333 511 334 497 323 497 312 498 317 451 316 448 315.5 444 316 434 318 412 291.5 415 284 425 281 421 299 434 302 451 305 457 281 458.5 274 448 273.5 444 267

446

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

2.4 1.2 1.4 1.2 1.4 0.8 1.2 0.9 0.8 0.8 0.8 0.4 0.9 1.2 1.4 1.4 1.2 1.1 1.2 0.4 0.5 0.8 1.4 0.4 0.8 0.7 0.8 0.7 1.1 1.1 0.8 0.7 0.9 1.2 1.4 1.4 1.6 1.4 1.4 1.2 1.1 0.8 0.9 1.1

226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269

270 440 275 422 276 419 270 415 276 405 288 403 293.5 392.5 296 387 303 386 298.5 378 293 376 296 372 276 352 250 350 247 384 262 399 269 397 276 402 282 398.5 282 386.5 273 389 276 361 138.5 378 155 396 163 390 173 364 183 370 238 382 213 412 189 413 210 433 201 434 150 400 135 395 143 407 142 414 140 430 121 432 109 441 138.5 442 167 442 168 435 184 440 194

442

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

0.9 1.1 1.2 0.8 1.4 1.4 1.4 1.1 1.4 1.6 1.2 1.7 1 1.4 1.2 1.4 1.2 1.3 1.2 1.1 1.2 1.1 0.8 1.2 1.5 1.2 1.2 0.7 0.8 1.1 0.9 0.9 1.2 1.2 1.1 0.8 1.1 0.9 0.5 1.2 1.6 1.4 1.2 0.9

270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313

200 442 212 443 220 443 246 444 246 455 252 458 257 460.5 255.5 466 249 464 247 469 254 472 251.5 477 259 478 261 470 255 494 240 495 241 514 236 514 235 496 232 487 235.5 486.5 245 474 225 457.5 225 451 219 451 219 462 228.5 472 213 481 211 487 208.5 496 206 507 206 515 200 514 200 507 200 497 200 484 206 466 194 466 184 463.5 184 475 193.5 475 193 484 184 484 184

496.5

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

1.4 1.6 1.7 2.1 1.4 1.2 1.5 1.2 1.1 0.8 0.7 1.1 0.8 0.4 1.4 1.4 0.8 0.7 0.7 0.8 0.8 1.2 1.4 1.6 1.4 1.2 1.6 1.4 1 1.2 0.8 1.2 0.7 1.2 1.3 1.4 1.4 1.4 1.5 0.8 0.7 0.9 0.6 0.8

314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357

192.5 496.5 192 507 192 514 170 516.5 168 507 167 495.5 101 343 91 355 70 377 46 371 56 424 20 442 74 326 76 302 15 240 28 161 34.5 164.5 30 181 27 206 42 242 30 246 31 254 39 254 50 289 72 288 60 246 95 299 81 297 80 287 67 314 21 330 36 360 76 344 97 339 103 337 104 341 97 345 89 345 81 344.5 81 350 89 350 92.5 351.5 88 353 81.5

353

C C C C C C D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D

0.7 0.9 0.8 0.6 1.1 1.4 2.4 1.7 2.5 2.4 2.1 2.2 2.6 2.1 2.6 0.4 0.1 0.6 0.2 1.4 1.6 1.1 1.2 0.7 1.1 0.7 1.4 1.6 1.4 1.7 1.1 1.2 0.8 2.4 1.2 1.1 1.6 0.8 0.8 0.4 0.7 1.1 1.4 0.9

358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401

87 359 84 361 76 355 58.5 370 34 306 38 418.5 61 425 57 429 60 433 85 369 107.5 362 131 366.5 170 342 174 340 232.5 264 202 223 241 210 235 197.5 228 173 214 164 278 196 267 168 90 167 123 177.5 143 153 192 264 145 285 133 255 90 198 21 15 60 68 70 84 27 149 62 143 58 176 58 160 72 163 70 176.5 90 178 115 168 115 177.5 123 168 123 164 123

155

D D D D D D D D D D D D D D E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

1.1 0.9 0.8 0.6 0.1 1.4 1.4 1.6 1.4 1.9 1.4 1.2 1.2 1.5 2.4 1.9 2.4 2.6 2.6 2.6 2.6 2.4 1 1.1 1.9 2.6 2.4 2.4 1.7 1.1 0.8 0.2 1.6 0.9 1.4 0.6 0.7 0.7 0.8 0.6 0.8 0.7 0.6 0.7

402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445

143 164 144 168 149 177 128 178 128 188 164 194 156 177 168 177 156 169 167 168 172 167 167 164 160 164 163 153.5 186 168 269 133 295 112 302 112 316 141 278 143 284 173 257.5 170 239 198 241 198 246 199 246.5 202 240 202 236 201 231 199 232 206.5 239.5 207.5 242 206 235 209.5 237.5 212 246 208 200 194 170 222 59 189 72 189 90 187.5 74 198 60 196 90 211 151

236

E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

0.9 1.2 0.9 0.9 1.5 1.7 0.8 1.1 0.8 0.8 0.9 0.2 0.7 1.2 1.6 1.6 1.1 1.4 1.6 1.7 1.4 1.9 0.4 0.3 0.6 0.4 0.4 1.1 0.1 0.6 0.5 0.2 0.4 0.1 0.4 1.1 1.6 0.8 0.9 0.6 0.7 0.4 1.6 1.4

446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489

160 244 90 222 129 248 142 265 152 255.5 155 258 163 258 171 258 171 252.5 171 247 214 235 244 238 268 237 259 255 188 261 184 253 171 263 171 268 163 268 154 268.5 151 275 148 274 162 277.5 177 281 187 284 155 316 159 292 125 267 107 285 382.5 267 373 250 330 219 400 247 441 442 417 312 332 246 321 275 403 140 420 269 455 335 295.5 238 294 244 316 300 308

257.5

E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E F F F F F F F F F F F F F F F

1.5 0.8 1.7 2.1 1.1 0.6 0.8 1.1 0.4 1.2 1.1 1.1 1.1 1.1 1.4 1.2 1.1 0.8 0.9 0.7 0.4 1.5 1.5 0.7 1.4 1.6 1.8 1.8 1.6 2.4 1.9 0.8 2.3 1.7 1.5 1.9 1.7 2.1 2.4 1.9 1.4 1.1 1.5 1.2

490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533

327 255 316 236 314 230 313 223 317 215 318.5 222 320 229 326.5 227.5 325 220 323 213 329 212 332 226 334 210.5 346 209 342 200 356 202 358 195 345 194 348 188 357.5 188 359 159 404 161 403 202 379 202 386 213 373 213 363 212 362 218 354 216.5 348 215 349 222 353 223 371 224 371 218.5 375 219 388.5 218 405 213.5 389 224.5 388 233 353 229.5 334 232 336 239 352 247 353

236

F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

0.8 1.4 0.9 0.6 0.2 0.3 0.5 0.7 0.6 0.4 0.7 0.7 0.6 0.7 0.8 0.7 0.6 0.4 0.4 0.6 1.1 1.2 0.8 0.7 0.8 0.6 0.4 0.8 0.6 0.9 0.7 0.8 0.8 0.6 0.4 1.1 0.8 0.9 0.6 0.8 0.7 1.1 1.2 0.6

534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577

362.5 236 370 236 388 237 395.5 237.5 395 233 408.5 227 430 237 450 268 394 254 387 250 383 250 369 249.5 367.5 249 362 249 350 251 348 255 355 265 367 265 367 257.5 375 258 376 260 381 260 378 266 380 270.5 371 284 356.5 281 338 297 372 307 398 308 392 277 382.5 276 396 270 411 291 424 297 435 319 434 307 430 295 441 309 470 342 468 432 455 361 453 400 425 433 462

437

F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

0.8 1.1 1.2 1.4 1.1 1.5 1.4 0.1 1.4 0.9 1.1 0.8 0.7 0.8 0.6 1.4 1.1 0.8 1.2 1.4 1.1 1.7 1.4 1.2 1.1 1.4 1.2 1.4 1.5 1.1 0.9 1.4 1.2 0.8 0.9 0.7 1.4 1.2 0.2 1.2 0.6 0.6 0.8 1.4

578 579 580 581 582

481 462 440 423 435

457 447 449 448 507.5

F F F F F

0.6 1.2 1.4 1 0.4

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

C题 企业退休职工养老金制度的改革

养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。

我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。

养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。

现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。

附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：

问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。

养老金的计算办法

参加市城镇企业职工基本养老保险社会统筹的人员，达到国家规定的退休年龄，实际缴费年限满15年以上

的，按月计发基本养老金。

按照2005年颁布的《国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定》和《百度百科：养老金》

（http://baike.baidu.com/view/407916.htm）等材料，可以得到养老金的如下计算方法：

职工退休时的养老金由两部分组成： 养老金=基础养老金+个人账户养老金 个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数（数据见表一） 基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1% 本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×本人平均缴费指数 能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资(Average Indexed Monthly Earnings)”指标的计算公式为： x1 Sc1cx21c1c2nxmc1cm (1) 公式(1)中，x1,x2,,xm为参保人员退休前1年、2年、……、m年本人缴费工资额；c1,c2,,cm为参保

人员退休前1年、2年、……、m年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”；n为企业和职工实际缴纳

基本养老保险费的月数合计（可以简单认为等于12m，m为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限）。

xici称为退

休前第i年的缴费指数，i=1,…,m.

参保人员i年度的本人缴费工资xi通过工资指数c1ci得到指数化缴费工资xic1ci，从而使各年度不可比的xi换算为相当于参保人员退休前1年社会平均工资c1水平的、可比的各年度指数化缴费工资xic1ci，各年度指数化缴费工资xic1ci加总再除以参保人员实际缴费月数和n，进而得到本人指数化月平均缴费工资S。由此，该指标能够反映参保人员在整个缴费年限的缴费工资平均水平。

表一：个人账户养老金计发月数表 退休年龄 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 计发月数 233 230 226 223 220 216 212 208 204 199 195 190 退休年龄 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 计发月数 164 158 152 145 139 132 125 117 109 101 93 84 52 53 54 55 185 180 175 170 68 69 70 75 65 56 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

D题 天然肠衣搭配问题

天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

表1 成品规格表

最短长度 3 7 14

为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。表2为某批次原料描述。

表2 原料描述表

长度 根数 长度 根数 长度 根数 长度 根数 长度 根数 长度 根数

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。 公司对搭配方案有以下具体要求：

(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；

(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；

3-3.4 43 7-7.4 24 11-11.4 31 15-15.4 30 19-19.4 52 23-23.4 0 3.5-3.9 59 7.5-7.9 24 11.5-11.9 23 15.5-15.9 42 19.5-19.9 63 23.5-23.9 6 4-4.4 39 8-8.4 20 12-12.4 22 16-16.4 28 20-20.4 49 24-24.4 0 4.5-4.9 41 8.5-8.9 25 12.5-12.9 59 16.5-16.9 42 20.5-20.9 35 24.5-24.9 0 5-5.4 27 9-9.4 21 13-13.4 18 17-17.4 45 21-21.4 27 25-25.4 0 5.5-5.9 28 9.5-9.9 23 13.5-13.9 25 17.5-17.9 49 21.5-21.9 16 25.5-25.9 1 6-6.4 34 10-10.4 21 14-14.4 35 18-18.4 50 22-22.4 12 6.5-6.9 21 10.5-10.9 18 14.5-14.9 29 18.5-18.9 64 22.5-22.9 2 最大长度 6.5 13.5 ∞ 根数 20 8 5 总长度 89 89 89 (3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；

(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；

(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。