初中数学经典几何题与答案_附知识点与结论总结

经典难题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） C E

G

A B

D O F

2、已知：如图，P是正方形ABCD点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） A D P C B

3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、

CC1、DD1的中点．

A D

求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） D2 A2 A1

D1

B1

C1

B2 C2

B C

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC

的延长线交MN于E、F．

F 求证：∠DEN＝∠F． E

N C D 经典难题（二）

A M B

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM； A （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

O

· H E

B C M D

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q． G E 求证：AP＝AQ．（初二） O · C

B D

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆，则由此可得以下命题： M N Q P A 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． E C 求证：AP＝AQ．（初二）

A Q M · N P

· O B

D 4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．

D 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二） G C E

经典难题（三） P F

A B Q 1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二）

D A

F

B C E

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF．（初二）

A D F

B C

E 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二） A D F

B P C E 4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

A

O D B P

经典难题（四） E F

C 1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数．（初二）

A P 2、设P是平行四边形ABCD部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二） B A C D

P

3、设ABCD为圆接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三） B A C

D

B C

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二） A F D 经典难题（五）

B 1、设P是边长为1的正△ABC任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．

P E C A

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD的一点，求PA＋PB＋PC的最小值． P

B A C D P B 3、P为正方形ABCD的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

A P C D

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，A ∠EBA＝200，求∠BED的度数．

C B

D E B 1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得

经典难题（一）

C EOGOCO==,又CO=EO，所以CD=GF得证。 GFGHCD

2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形

3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点， 连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，

1110

由A2E=12A1B1=2B1C1= FB2 ，EB2=2AB=2BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=90和

∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

经典难题（二）

1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,

又∠F=∠ACB=∠BHD，

可得BH=BF,从而可得HD=DF，

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，

从而可得∠BOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

ADACCD2FDFD 由于，

ABAEBE2BGBG 由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。

4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=

EG2FH。

由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。 从而可得PQ=

AI2BI=

AB，从而得证。 2

经典难题（三）

1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。

2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH，

可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，

又∠FAE=900+450+150=1500，

从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠EPF=

X=YYZXZ，可得YZ=XY-X2+XZ，

即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF ，得证 。

经典难题（四）

1. 顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。 所以∠APB=1500 。

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等）。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。

3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：

BEAD =，即AD•BC=BE•AC， ①

BCAC 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

ABDE=，即AB•CD=DE•AC， ② ACDC 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。

4.过D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由S

ADE=

SABCD2=SDFC，可得：

AEPQAEPQ=，由AE=FC。 22 可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。

经典难题（五）

1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小L= ；

（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP，

推出AD>AP ① 又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④

由①②③④可得：最大L< 2 ； 由（1）和（2）既得：≤L＜2 。

2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。

既得AF=14(321)2 = 23= 423 2 =

2(31)2(31) = 22622 。

=

3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：

既得正方形边长L = (222)2(22)a = 5222a 。

4.在AB上找一点F，使∠BCF=600 ，

连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，

可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。

推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ，

既得：∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。

附：平面向量复习基本知识点及经典结论总结

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB)； |AB|（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三

AC共线； 点A、B、C共线AB、（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。 如下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若ab,bc，则ac。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；（3）坐标表示法：在平面建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝

x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标

相同。

3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面的两个不共线向量，那么对该平面的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。如（1）若

13a(1,1),b(1,1),c(1,2)，则c______（答：ab）；

224、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1aa,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，a0，注意：a≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAa,OBb，

AOB0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，

b反向，当＝

时，a，b垂直。 2（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量

|a||b|cos叫做a与b的数量积（或积或点积），记作：a•b，即a•b＝abcos。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________（答：－9）；

（3）b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。如已知|a|3，

|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______（答：

12） 5（4）a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。

b，（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，其夹角为，则：①aba•b0；

②当a，b同向时，a•b＝ab，特别地，aa•aa,aa；当a与b反向时，

222a•b＝－ab；当为锐角时，a•b＞0，且a、 b不同向，ab0是为锐角的必要

b不反向，ab0是为钝角的必要非充非充分条件；当为钝角时，a•b＜0，且a、分条件；③非零向量a，b夹角的计算公式：cosa•bab；④|a•b||a||b|。如（1）

已知a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值围是______（答：； 或0且）

6、向量的运算： （1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设ABa,BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；

②向量的减法：用“三角形法则”：设ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)_____

4313（答：①AD；②CB；③0）；

（2）坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：

①向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。如（1）已知点A(2,3),B(5,4)，

C(7,10)，若APABAC(R)，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上

（答：

1）； 2②实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3),B(1,5)，且AC则C、D的坐标分别是__________（答：(1,1AD3AB，AB，

311； ),(7,9)）

3④平面向量数量积：a•bx1x2y1y2。如已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）若x＝

3，求向量a、c的夹角；（2）若x∈[,]，函数

84311； f(x)ab的最大值为，求的值（答：(1)150;(2)或21）

22⑤向量的模：|a|xy,a|a|2x2y2。如已知a,b均为单位向量，它们的夹

222角为60，那么|a3b|＝_____（答：13）；

⑥两点间的距离：若Ax1,y1,Bx2,y2，则|AB|x2x1y2y122。如如

图，在平面斜坐标系xOy中，xOy60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OPxe1ye2，其中e1,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）xyxy10）；

22结合律：abcabc,abcabc，（3）a•ba•ba•b；分配律：aaa,abab，ab•ca•cb•c。如下列命

7、向量的运算律：（1）交换律：abba，aa，a•bb•a；(2)

题中：① a(bc)abac；② a(bc)(ab)c；③ (ab)|a|

222|a||b||b|；④ 若ab0，则a0或b0；⑤若abcb,则ac；

⑥aa；⑦

222aba2ba；⑧(ab)2ab；⑨(ab)2a2abb。其中正确的是

2222______（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)(a•b)c，为什么？

a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2＝0。8、向量平行(共线)的充要条件：

如(1)若向量a(x,1),b(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）；

9、向量垂直的充要条件：abab0|ab||ab| x1x2y1y20.特别地(ABABACAC)(ABABACAC)。如(1)已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，

则m （答：

3）； 2 10.线段的定比分点：

（1）定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实

PP2，则叫做点P分有向线段PP数 ，使PP112所成的比，P点叫做有向线段PP12的

以定比为的定比分点；

（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时>0；当P点在线段 P1P2的延长线上时<－1；当P点在线段P2P1的延长线上时10；若点P分有向线段PP12所成的比为，则点P分有向线段P2P1所成的比为

1。如若点P分37AB所成的比为，则A分BP所成的比为_______（答：）

43（3）线段的定比分点公式：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段PP12所成

x的比为，则yx1x21，特别地，当＝1时，就得到线段P1P2的中点公式

y1y21x1x2x2yy1y2。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意义，2即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点

1和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MPMN，

37则点P的坐标为_______（答：(6,)）；

3xxh11.平移公式：如果点P(x,y)按向量ah,k平移至P(x,y)，则；曲线yyk（1）函数按向量平移与f(x,y)0按向量ah,k平移得曲线f(xh,yk)0.注意：

平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量（－８，３））；（2）a把(2,3)平移到(1,2)，则按向量a把点(7,2)平移到点______（答：

函数ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1，则a＝________（答：(4,1)）

12、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

b同向或有0|ab||a||b| （2）||a||b|||ab||a||b|，特别地，当a、 b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；当a、 b不||a||b|||ab|；当a、共线||a||b|||ab||a||b|(这些和实数比较类似).

（3）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则其重心的坐标为

xxxyy2y3G123,1如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，。

33-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：(,)）；

②PG1(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地PAPBPC0P24333为ABC的重心；

③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；

④向量(ABAC)(0)所在直线过ABC的心(是BAC的角平分线所在直

|AB||AC|线)；

⑤|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的心；

1MP2，（3）若P分有向线段PP点M为平面的任一点，则MPMP12所成的比为，

1MP1MP2； 特别地P为P1P2的中点MP2（4）向量PA、、B、C共线存在实数、使得 PB、 PC中三终点APAPBPC且1.如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点

A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中1,2R且121,则点

C的轨迹是_______（答：直线AB）